Droites remarquables
du triangle
178
10
CHAPITRE
CHAPITRE 10 • DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
ACTIVITÉS
1
Carte d’identité
À partir d’un même triangle ABC, et à l’aide d’un logiciel de géométrie, Philippe a réalisé
ces quatre constructions.
Fig. 1 Fig. 2
Fig. 3 Fig. 4
Chapitre10_P178_195 28/06/02 15:12 Page 178
1. Indiquer à quelle figure correspond chacune des affirmations suivantes :
a. « J’ai tracé la droite qui partage l’angle BAC en deux angles de même mesure. »
b. « J’ai tracé la perpendiculaire à (BC) passant par le milieu de [BC]. »
c. « J’ai tracé la perpendiculaire à (BC) passant par le point A. »
d. « J’ai tracé le segment qui joint A au milieu de [BC]. »
2. a. Associer chacun des mots médiatrice, hauteur, bissectrice à l’une des figures.
b. La figure qui n’a pas été sélectionnée à la question apeut être associée au mot
médiane.
En déduire comment on peut définir une médiane dans un triangle.
3. a. Réaliser des constructions du même type que celles de Philippe à l’aide d’un logiciel
de géométrie ou sur papier à l’aide des instruments habituels de géométrie.
b. Illustrer chacune des constructions obtenues à la question aen utilisant l’un des mots
suivants : médiatrice, hauteur, bissectrice ou médiane.
2
Les trois médiatrices
a Médiatrice et distance
Voici une façon de procéder pour construire la médiatrice du segment [AB].
1. Que sait-on :
a. du point d’intersection de la droite (IJ) et du segment [AB] ?
b. des droites (IJ) et (AB) ?
2. Soit M un point quelconque de la droite (IJ). Comparer les distances MA et MB.
b Dans un triangle
1. Tracer un triangle ABC et les médiatrices des côtés [AB] et [AC].
Elles se coupent en O.
2. Pourquoi a-t-on OA OB ? Pourquoi a-t-on OA OC ?
3. Déduire de la question 2que :
a. le cercle de centre O qui passe par A passe aussi par B et par C ;
b. la médiatrice du segment [BC] passe aussi par O.
ACTIVITÉS
CHAPITRE 10 • DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE 179
I
J
A
B
I
J
A
B
La droite (IJ)
est la médiatrice
du segment [AB].
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3
Les trois hauteurs
1. Soit ABC un triangle. Construire la droite perpendiculaire à (BC) qui passe par A,
comme indiqué ci-dessous.
2. On dit que la droite (AI) est la hauteur du triangle ABC issue de A.
Combien y a-t-il de hauteurs dans un triangle ?
3. a. Tracer un triangle ABC tel que BAC 70° et ABC 50° .
Construire toutes les hauteurs de ce triangle. Quelle constatation peut-on faire ?
b. Reprendre la question aavec BAC 120° et ABC 20° .
4
Les trois bissectrices
1. Pour tracer la bissectrice d’un angle, il suffit de construire les sommets d’un losange
à l’aide d’un compas (voir figure 1).
En pratique, on ne construit que des arcs de cercle (voir figure 2).
Fig. 1 Fig. 2
La figure obtenue présente une symétrie. Indiquer laquelle.
2. Construire un triangle ABC et les bissectrices des trois angles ABC, BCA et CAB.
Que constate-t-on ?
3. On note I le point d’intersection des trois bissectrices obtenu à la question 2.
Tracer la perpendiculaire au côté [BC] issue de I. Elle coupe [BC] en M. Procéder de
même pour les côtés [AB] et [AC]. On obtient ainsi les points N sur [AB] et P sur [AC].
4. a. Comparer en les mesurant les longueurs IM, IN et IP.
b. Tracer le cercle qui passe par M, N et P. À la vue du dessin, indiquer si ce cercle
coupe chaque côté du triangle ABC en plusieurs points.
ACTIVITÉS
CHAPITRE 10 • DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
180
B
AC
B
AC
I
O
M
x
y
O
M
x
y
Le résultat de
cette question
est démontré
à l’exercice 63,
p. 194.
Le résultat de
cette question
est admis sans
démonstration.
Chapitre10_P178_195 28/06/02 15:12 Page 180
5
Les trois médianes
1. À l’aide d’un logiciel de géométrie, ou sur une feuille de papier, tracer un triangle
ABC. Placer les milieux M, N et P des côtés [BC], [CA] et [AB] comme sur la figure ci-
dessous.
Tracer les médianes [AM], [BN] et [CP]. Que constate-t-on ?
2. Soit G le point d’intersection des médianes obtenu à la question 1.
a. Recopier le tableau suivant et le compléter à l’aide d’un double décimètre ou du
logiciel de géométrie :
b. Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui paraissent correspondre aux
résultats du tableau précédent :
G est situé aux
3
4
de chaque médiane en partant du sommet ;
G est situé à la moitié de chaque médiane en partant du sommet ;
G est situé aux
2
3
de chaque médiane en partant du sommet ;
G est situé au tiers de chaque médiane en partant du milieu du côté ;
GM
1
3
AG ;
GM
1
3
AM ;
CG
1
2
GP .
ACTIVITÉS
CHAPITRE 10 • DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE 181
GM .......... AG ..........
G
A
M
G
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
GN .......... BG ..........
G
BG
N
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
GP .......... CG ..........
C
G
G
P
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Les résultats de
cette question
sont démontrés
à l’exercice 64,
p.194.
Chapitre10_P178_195 28/06/02 15:12 Page 181
B
O
A
C
(d)
(d’ )
(d’)
Les médiatrices des côtés
d’un triangle sont
concourantes.
Leur point d’intersection
est le centre du cercle
circonscrit à ce triangle.
DONNÉES
(d), (d’) et (d’) sont
les médiatrices des côtés
du triangle ABC.
CONCLUSION
(d), (d’) et (d’) sont
concourantes en un point O.
O est le centre du cercle
circonscrit au triangle ABC.
THÉORÈME
1
Médiatrices
retenir le cours
CHAPITRE 10 • DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
182
La médiatrice d’un segment est la droite
perpendiculaire à ce segment en son milieu.
C’est un axe de symétrie du segment.
EXEMPLE
(AH) est la hauteur du triangle ABC issue du
sommet A.
(CK) est la hauteur du triangle ABC issue du
sommet C.
retenir le cours
DÉFINITION
2
Hauteurs
Dans un triangle, on appelle hauteur une
droite qui passe par un sommet et qui est
perpendiculaire au côté opposé.
DÉFINITION
La médiatrice d’un segment est la droite
constituée de tous les points qui sont à égale
distance des extrémités de ce segment.
PROPRIÉTÉ
B
M
A
(d)
DONNÉES
M est un point de la médiatrice
de [AB].
CONCLUSION
MA MB .
DONNÉES
MA MB .
CONCLUSION
M est sur la médiatrice de
[AB].
CH
K
A
B
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