cdm124 - Triangles particuliers

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Triangles particuliers
I Triangle isocèle
Définitions :
●
Un triangle isocèle
est un triangle qui a deux
côtés de même longueur.
● Dans un triangle isocèle, le sommet commun aux
côtés de même longueur est appelé le sommet
principal.
● Dans un triangle isocèle, le côté opposé au
sommet principal est appelé la base.
Propriété 1 :
Si un triangle possède 1 axe de symétrie alors il est
isocèle.
Propriété 2 :
Si un triangle est isocèle alors ses deux angles à la base
sont égaux.
Réciproque de la propriété 2 :
Si un triangle a deux angles égaux alors il est isocèle.
Propriété 3 :
Si un triangle est isocèle alors la médiatrice de sa base est aussi bissectrice de
l’angle principal, hauteur et médiane.
Réciproque de la propriété 3 :
Si dans un triangle, deux droites parmi hauteur, médiane, médiatrice et bissectrice
sont confondues alors ce triangle est isocèle.

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II Triangle équilatéral
Définition :
Un triangle équilatéral est un triangle qui a
ses trois côtés de même longueur.
Remarque 1 :
Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie
Remarque 2 :
Un triangle équilatéral est un triangle isocèle particulier.
Propriété 1 :
Si un triangle est équilatéral alors ses trois angles
sont égaux à 60°.
Réciproque de la propriété 1 :
Si un triangle a trois angles égaux alors il est
équilatéral.
Propriété 2 :
Si un triangle a deux angles de 60° alors il est équilatéral.
Propriété 3 :
Si un triangle isocèle a un angle de 60° alors il est équilatéral.
Propriété 4 :
Si un triangle est équilatéral alors les 3 médiatrices, les 3 bissectrices, les 3
hauteurs et les 3 médianes sont confondues.

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III Triangle rectangle
Définitions :
Un triangle rectangle
est un triangle qui possède un angle droit (90°).
Le plus grand côté d’un triangle rectangle est appelé l’hypoténuse.
ABC est un triangle rectangle en A.
[BC] est l’hypoténuse.
[AC] et [AB] sont les côtés de l’angle droit.
Propriété 1 :
Si un triangle est rectangle alors ses deux angles aigus sont complémentaires.
Propriété 2 :
Si on joint un point d’un cercle aux extrémités d’un diamètre alors ce triangle est
rectangle.
Exemple
:
On a tracé un cercle (C) de diamètre
[PB] et placé le point K sur (C).
Démontrer que PBK est un triangle rectangle.
K est un point du cercle de diamètre [PB].
Or si on joint un point d’un cercle aux
extrémités d’un diamètre alors ce triangle est
rectangle.
Donc le triangle PBK est rectangle en K.
Réciproque de la propriété 2 :
Si un triangle est rectangle alors il est inscrit dans un cercle de diamètre
l’hypoténuse.

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Propriété 3 :
Si un triangle est rectangle alors la médiane issue de l’angle droit (relative à
l’hypoténuse) mesure la moitié de l’hypoténuse.
Exemple :
A l’aide du codage et sachant que
RM = 7cm, calculer la longueur ED.
Le triangle REM est rectangle en E avec D le milieu de [RM].
Or si un triangle est rectangle alors la médiane issue de l’angle droit mesure la
moitié de l’hypoténuse.
Donc [ED] mesure la moitié de RM soit 3,5cm.
Réciproque de la propriété 3 :
Si dans un triangle, la médiane relative au plus grand côté mesure la moitié de ce
côté alors ce triangle est rectangle.

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IV Triangle isocèle rectangle
Définition :
Un triangle isocèle rectangle est un triangle qui est à la fois isocèle et rectangle.
Propriété :
Si un triangle est rectangle isocèle alors ses angles à la base sont égaux à 45°.