Modélisation et commande en pleine onde d`une MRV très grande

Modélisation et commande en pleine onde d’une
MRV très grande vitesse
Codrut Visa1, Fadila Himri1, Jean François Antoine2, François Léonard2, GabrielAbba2
Laboratoire de Génie Industriel et de Production Mécanique
1Université Paul Verlaine de Metz, Île du Saulcy, 57045 Metz Cedex, France
2ENIM, Île du Saulcy, 57045 Metz Cedex, France
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected],
[email protected]
Résumé— Cet article présente la modélisation et la com-
mande d’une machine à réluctance variable (MRV) utili-
sée pour entraîner une électrobroche pour l’usinage à très
grande vitesse. La commande en pleine onde de l’action-
neur (MRV) nécessite la connaissance d’un modèle précis et
simple du couple électromagnétique en fonction de l’angle
de commande.
Dans cet article nous proposons et analysons quatre mo-
dèles numériques permettant de caractériser le couple élec-
tromagnétique de l’actionneur.
Les performances des modèles sont évaluées à travers une
commande en boucle fermée. L’asservissement de vitesse
pour une MRV fonctionnant à très grande vitesse est étudié
pour chaque modèle proposé. La commande proposée utilise
un correcteur PI anti-windup.
Mots-clés— modélisation, commande en pleine onde de ten-
sion, machine à réluctance variable (MRV), usinage à grande
vitesse (UGV).
I. Introduction
L’usinage à grande vitesse (UGV) est constamment
confronté à des nouveaux besoins. L’UGV est une tech-
nique d’obtention des pièces par enlèvement de copeaux,
caractérisée par des conditions de coupe particulières. Cette
technique consiste à augmenter notablement les vitesses
de coupe (de 5 à 10 fois supérieures à celles de l’usinage
dit "conventionnel") et de rotation de l’outil (de 10000 à
100000 tr/min) de manière à privilégier l’enlèvement de
matière avec des profondeurs de coupe plus faibles.
L’équipe CEMA du LGIPM a développé deux prototypes
de MRV. Ces MRV sont de type 6/2alimentées avec un
convertisseur asymétrique classique.
Les travaux présentés dans [1] et [2] ont permis d’obtenir
les caractéristiques de fonctionnement jusqu’à une vitesse
de rotation d’environ 150000 tr/min.
L’implantation des commandes proposées dans [2] néces-
site le développement d’un nouveau convertisseur. Ainsi,
avec un convertisseur asymétrique nous proposons d’utili-
ser une commande en pleine onde de tension afin de réaliser
l’asservissement de vitesse de la MRV.
Le caractère fortement non linéaire de la MRV a suscité
de nombreux travaux de chercheurs. La commande pleine
onde de tension ou de courant, la technique de linéarisation
par retour d’état et le mode glissant sont les stratégies de
commande les plus souvent proposées pour contrôler une
MRV.
La commande pleine onde (créneaux de courant ou cré-
neaux de tension) est habituellement utilisée pour une
MRV fonctionnent à grande vitesse [3]. Dans [4], les auteurs
proposent ce type de commande pour une MRV en utilisant
un modèle électromagnétique linéaire par morceaux per-
mettant d’aboutir à une expression analytique du couple
moteur. La même stratégie de commande couplée avec une
commande adaptative a été étudiée dans [5].
La minimisation des ondulations du couple introduites
par la commande en pleine onde a été abordée dans [6].
Des solutions à basse et à grande vitesse sont proposées.
Le démarrage d’une MRV en utilisant une commande en
pleine onde a été analysé dans [7].
La commande par linéairisation par retour d’état a été
étudiée dans [8] pour un problème de poursuite de trajec-
toire en robotique. Cette stratégie de commande a égale-
ment été étudiée dans [9] afin de minimiser les ondulations
du couple.
La commande par mode glissant est proposée dans [10]
et [11]. Dans [11], afin d’obtenir un asservissement de vi-
tesse les auteurs proposent une structure de contrôleur en
cascade (vitesse-couple). La commande proposée dans [10]
est classique, mais son intérêt réside dans la façon de mi-
nimiser les ondulations du couple.
Cette étude permet de voir les différentes stratégies de
commande d’une MRV. Le caractère fortement non linéaire
d’une MRV la rend difficile à contrôler. Pour un fonctionne-
ment à grande vitesse la commande en pleine onde semble
mieux adaptée. La commande par retour d’état linéairisant
permet de bénéficier de tous les avantages des systèmes li-
néaires.
En présence des incertitudes de modélisation la com-
mande par mode glissant s’impose par sa robustesse vis-
à-vis des erreurs de modélisation.
Cet article est organisé comme suit. La MRV est présen-
tée dans le paragraphe II et le principe de la commande en
pleine onde est expliqué dans le paragraphe III. La modéli-
sation du couple électromagnétique en vue de la commande
à partir de mesures réelles sur le moteur est ensuite détaillée
dans le paragraphe IV. Un correcteur PI anti-windup est
synthétisé dans le paragraphe V. Les simulations à très
grande vitesse sont analysées dans le paragraphe VI. En-
fin, les conclusions et les perspectives de cette étude sont
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exposées dans le dernier paragraphe.
II. Présentation de la MRV
La MRV est un moteur électrique composée d’un stator
et d’un rotor. Le stator de la MRV étudiée dans cet article
comporte six dents et le rotor deux dents (figure 1). Autour
de chaque dent statorique est enroulé un bobinage. Le rotor
ne possède aucun enroulement (rotor froid).
Le principe de fonctionnement d’une MRV est celui d’un
électro-aimant. Lorsqu’une phase est alimentée, le rotor
tourne pour se mettre dans la position où le flux créé par le
stator est maximum [3]. Cette position est appelée position
de conjonction. La position opposé où le flux est minimum
est appelée position d’opposition.
Fig. 1
Vue schématique d’une MRV 6/2
L’expression du couple produit par une MRV est obtenue
en utilisant une modélisation énergétique [3]. En négligeant
les pertes Joules dans l’enroulement d’excitation, le bilan
énergétique de la MRV permet d’obtenir l’expression du
couple électromagnétique. Le couple électromagnétique est
donné par :
Cem =∂Wcem
∂θ (1)
où Wcem et θreprésentent respectivement la coénergie élec-
tromagnétique stockée dans le circuit magnétique et la po-
sition du rotor.
Lorsque le circuit magnétique est non saturé, le couple
électromagnétique est donné par :
Cem =1
2
dL
dθ i2(2)
où ireprésente le courant d’alimentation d’une phase.
On remarque que le signe du couple ne dépend pas du
sens du courant. Pour obtenir un couple moteur il faut ali-
menter la phase lorsque l’inductance est croissante et pour
obtenir un couple frein il faut alimenter la phase lorsque
l’inductance décroît.
III. Principe de la commande en pleine onde de
tension
L’électrobroche est conçue pour fonctionner à une vi-
tesse de rotation de 200000 tr/min. A cette vitesse, la dis-
tance entre deux pôles statoriques est parcourue en 50 µs.
Du point de vue implémentation, le système de commande
doit fonctionner avec une période d’échantillonnage de mi-
nimum 10 µs. Pendant chaque période d’échantillonnage,
le système de commande doit acquérir les données de dif-
férents capteurs, calculer la commande et les renvoyer au
convertisseur de puissance.
Pour un système de commande en temps réel le temps dé-
dié aux opérations d’E/S est constant, alors, seul le temps
de calcul de la commande devient non négligeable lorsqu’on
utilise des modèles complexes.
Pour tout système électrotechnique, des limites sont
fixées par la tension d’alimentation, par le courant maxi-
mal acceptable et par l’élévation de température. Dans de
nombreux articles, il a été démontré que le mode d’alimen-
tation en créneaux de courant n’était viable du point de vue
énergétique qu’en basse vitesse. A grande vitesse, le mode
d’alimentation utilisé est le créneau de tension (pleine onde
de tension).
La figure (2) montre le principe d’alimentation en pleine
onde de tension. La vitesse du moteur est contrôlée en ali-
mentant chaque phase entre l’angle d’allumage (ou d’ou-
verture) (θa) et l’angle de fermeture (ou d’extenction)(θf).
θacorrespond à la position du rotor où l’alimentation de
la phase commence et θfcorrespond à l’angle où la ten-
sion −Uest appliquée à la phase afin de démagnétiser la
phase. L’intervalle angulaire θf−θaest appelé angle de
commande.
θaθf2θf−θaθ
+U
−U
tension courant
Fig. 2
Principe de la commande en pleine onde de tension
La commande en pleine onde que nous développons uti-
lise θacomme variable de contrôle. θfest fixé à -20 degrés
afin d’améliorer la démagnétisation des phases et de ré-
duire les ondulations du couple [2]. θasera calculé à partir
du modèle du couple électromagnétique. Plusieurs modèles
du couple seront proposés et analysés par la suite.
IV. Modélisation du couple moteur
Dans la littérature, la modélisation du couple électro-
magnétique est classifiée selon deux grandes familles : les
modèles basés sur des cartographies réalisées à l’aide de me-
sures sur le banc d’essais moteur (modèles statiques), et les
modèles basés sur des lois physiques (modèles dynamiques)
permettant d’accéder aux phénomènes transitoires du mo-
teur. Dans le cadre de ce travail, nous ne considérerons
que les modèles dynamiques permettant d’appréhender les
dynamiques mises en jeu dans le moteur.
A. Modélisation en vue de la commande
La modélisation du couple électromagnétique est obtenue
en utilisant les hypothèses suivantes :
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H1. Le terme Ri est négligeable devant la tension U. Pour
une MRV alimenté en pleine onde de tension, l’équation
électrique d’une phase est :
±U=Ri +dΦ
dt (3)
où Ret Φreprésentent respectivement la résistance d’une
phase et le flux magnétique. Sous cette hypothèse, l’équa-
tion (3) devient :
dΦ
dt =(Upour θa≤θ < θf
−Upour θf≤θ≤2θf−θa
(4)
H2. La vitesse (Ω) ne varie pas durant la période d’alimen-
tation d’une phase. Après l’intégration de l’équation (4) on
obtient :
Φ = 
U
Ω(θ−θa)pour θa≤θ < θf
U
Ω(2θf−θa−θ)pour θf≤θ≤2θf−θa
(5)
H3. En grande vitesse, les pertes ferromagnétiques obligent
de limiter le flux maximum. Le fonctionnement magnétique
peut alors être considéré linéaire et l’inductance ne dépend
que de la position.
Φ = L(θ)i(6)
Sous l’hypothèse H3, la coénergie magnétique peut
s’écrire :
Wcem =Z2θf−θa
θa
Φdi =Z2θf−θa
θa
ΦdΦ
L(θ)(7)
En utilisant les équations (4-7), la coénergie est :
Wcem=U
Ω2
"Zθf
θa
(θ−θa)
L(θ)dθ+Z2θf−θa
θf
(2θf−θa−θ)
L(θ)dθ#
|{z }
Fcem
(8)
Le couple électromagnétique moyen pour une phase est :
Cem−m=Wcem
π
3
(9)
B. Méthodes de calcul du couple
D’après les équations (8) et (9) le couple ne dépend pas
seulement de la vitesse de rotation, de la tension d’alimen-
tation et de l’angle d’allumage mais aussi de l’inductance
de la phase.
La complexité de cette dernière fonction empêche toute
solution analytique du problème. L’intégrale de la coénergie
n’est pas calculable analytiquement du fait de la complexité
de la formulation de L(θ). Plusieurs solutions sont alors
possible pour obtenir un modèle du couple en fonction de
l’angle d’ouverture, de la tension et de la vitesse :
– Approximer l’inductance ou la fonction 1/L par une
fonction continue ou définie par morceaux.
– Approximer l’énergie magnétique par une fonction de
θfet de l’angle de commande.
– Calcul numérique de Fcem (approximer 1/L par une
fonction linéaire par morceaux) puis approximation du
résultat par un modèle analytique.
C. Approximation par morceaux de Lpar polynômes qua-
dratique de la forme aθ4+bθ2+c
Dans ce cas, nous avons choisi d’utiliser trois polynômes
quadratiques afin de modéliser l’inductance. Les coeffi-
cients des polynômes ont été calculés en utilisant la fonction
basic fitting de Matlab. Les résultats obtenus présentent
des fortes discontinuités dans la modélisation de la fonc-
tion couple. En augmentant le nombre des polynômes, les
résultats peuvent être améliorés mais le temps de calcul de
la commande devient également important.
Pour ces raisons nous avons choisi d’utiliser la fonction
1/L plutôt que L.
D. Approximation continue de 1/L par un polynôme en
cos(2θ)
Ce modèle utilise l’approximation de 1/L par un poly-
nôme de la forme acos 2θ2+bcos 2θ+cafin de faciliter
le calcul analytique de la fonction Fcem. Le modèle appro-
ché de 1/L est le résultat d’une optimisation en utilisant
la fonction lsqcurvefit de Matlab. Les coefficients de ce mo-
dèle sont : a=−74.43,b=−130.22 et c= 363.23. Les
courbes de la figure 3 représentent la fonction 1/L donnée
dans [12] et le modèle approché.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
150
200
250
300
350
400
450
θ [deg]
1/L [H−1]
Modèle
Réel
Fig. 3
Modèle polynomial en cos(2θ)de 1/L
La figure (4(a)) représente la fonction du couple calculée
par ce modèle. L’erreur entre le modèle numérique et ce
modèle est donnée par la figure (4(b)).
−100 −80 −60 −40 −20 0
0
10
20
30
40
50
60
0
20
40
60
80
100
θf [deg]
l [deg]
Fcem [rad2H−1]
(a) Fonction du couple
−100 −80 −60 −40 −20 0
0
10
20
30
40
50
60
−4
−2
0
2
4
θf [deg]
l [deg]
Erreur [%]
(b) Erreur fonction du couple
Fig. 4
Fcem par approximation de 1/L par acos 2θ2+bcos 2θ+c
Dans ce cas, l’erreur maximum est d’environ 3% sur l’en-
semble des valeurs.
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E. Modèle approché de la fonction de Wcem
Ce modèle est proche du modèle précédent, il consiste à
approximer la coénergie magnétique en fonction de θfet de
l’angle de commande (l=θf−θa) en ajustant une fonction
approchée sur les résultats exacts.
Ce modèle s’exprime de la façon suivante :
Wcem=U
Ω2
[a lcsin(2θf) + b lcsin(4θf)] (10)
où a=−70.34,b=−24.85 et c= 2.65.
−100 −80 −60 −40 −20 0
0
10
20
30
40
50
60
0
20
40
60
80
100
θf [deg]
l [deg]
Fcem [rad2H−1]
(a) Modèle approché de Fcem
−100 −80 −60 −40 −20 0
0
10
20
30
40
50
60
−5
0
5
10
θf [deg]
l [deg]
Erreur [%]
(b) Erreur du modèle approché
Fig. 5
Fcem par approximation de Wcem
Les courbes de la figure (5(a)) représentent la coénergie
magnétique obtenue en utilisant ce modèle. L’erreur entre
le modèle approché et le modèle numérique est représentée
sur la figure (5(b)) et elle est d’environ 6% .
F. Approximation de la fonction 1/L par une fonction li-
néaire par morceaux
Ce modèle est basé sur l’approximation de la fonction
1/L par une fonction linéaire par morceaux afin de faciliter
le calcul numérique de la fonction couple (Fcem) par la
méthode des trapèzes. Le modèle approché de la fonction
1/L a été obtenu suite à une optimisation en utilisant la
fonction lsqcurvefit de Matlab. Les courbes de la figure (6)
représentent la fonction 1/L donnée dans [12] et le modèle
linéaire par morceaux.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
150
200
250
300
350
400
450
θ [deg]
1/L [H−1]
Modèle
Réel
Fig. 6
Modèle linéaire de la fonction 1/L
La fonction couple obtenue en utilisant le modèle donnée
sur la figure (6) est représentée sur la figure (7(a)). L’er-
reur entre le modèle approché et le modèle numérique est
représentée sur la figure (7(b)) et elle est d’environ 6% .
−100
−50
0
0
10
20
30
40
50
60
−50
0
50
100
θf [deg]
l [deg]
Fcem [rad2H−1]
(a) Modèle approché de Fcem
−100
−50
0
0
10
20
30
40
50
60
−2
0
2
4
6
θf [deg]
l [deg]
Erreur [%]
(b) Erreur du modèle approché
Fig. 7
Fcem par approximation de 1/L par une fonction linéaire
par morceaux
Pour contrôler l’électrobroche nous ne pouvons pas com-
mander le couple mais on peut commander l’angle d’ou-
verture et l’angle de fermeture, c’est à dire les positions
entre lesquelles la phase doit être alimentée. Ainsi, il est
nécessaire de disposer d’un modèle de l’angle d’ouverture
en fonction du couple. Pour en déduire ce modèle, nous
avons fixé l’angle de fermeture à −20 degrés afin de mini-
miser les ondulations du couple [2]. Le modèle choisi est
une fonction polynomiale du 3`eme degré :
θon =a F 3
cem +b F 2 cem +c Fcem +d(11)
Les coefficients de ce modèle sont obtenus par la mé-
thode des moindres carrés : a=−1.25e−7,b= 6.33e−5,
c=−1.54e−2et d=−5.64e−1. Les courbes de la figure
(8) représentent le modèle approché de Fcem et le modèle
donné par l’équation (11).
0 50 100 150 200 250 300 350
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
Fcem [rad2H−1]
θon [deg]
Modèle numérique
Approximation
Fig. 8
Angle d’ouverture en fonction de Fcem pour θof f =−20o
Pour choisir le modèle du couple le mieux adapté à notre
problème nous devons prendre en compte les performances
de l’électrobroche ainsi que celles du système de commande
en temps réel. Il est préférable que le modèle soit simple et
qu’il reproduise au mieux le comportement de la MRV. Vue
la période d’échantillonnage utilisée dans notre cas, il est
évident que le modèle choisi doit être le moins coûteux en
terme de temps de calcul. Les trois premiers modèles pré-
sentés dans ce paragraphe offrent une très bonne précision
mais ils aboutissent à des calculs lourds pour une utilisa-
tion en temps réel. Le dernier modèle, malgré son erreur
de modélisation présente un temps de calcul faible et une
bonne précision.
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V. Asservissement de vitesse d’une MRV 6/2
L’asservissement de vitesse d’une MRV 6/2 très grande
vitesse est réalisé en utilisant une commande en pleine onde
de tension. Le schéma de l’asservissement de vitesse est re-
présenté sur la figure (9). Il comporte trois parties prin-
cipales : la partie informatique, la partie puissance et le
procédé avec les différents capteurs associés.
Fig. 9
Schéma d’asservissement d’une MRV 6/2
– La partie informatique est principalement composée
d’un ordinateur doté de deux processeurs INTEL
XEON avec une fréquence d’horloge de 2.4 GHz. Le
système informatique utilise Linux Temps réel (RTAI)
comme système d’exploitation et deux cartes d’acqui-
sitions afin de réaliser l’interface entre la partie puis-
sance et le procédé. Notre commande est implantée
dans ce système et elle se décompose en trois blocs :
le correcteur, le modèle du couple et un commutateur
permettant de choisir la phase qui sera alimentée.
– La partie puissance est constituée d’un convertisseur
en demi-pont asymétrique commandé en MLI à trois
niveaux de tension.
– La MRV est équipée avec un capteur analogique de
position et un capteur de tension par phase.
Le modèle du couple que nous utilisons permet de linéa-
risé la dynamique mécanique de la MRV. Dans ce cas, la
dynamique mécanique de la MRV est :
JdΩ
dt =Cem −fvΩ−Cr(12)
où J,Ω,fvet Crreprésentent respectivement l’inertie du
rotor, la vitesse de rotation, le coefficient de frottement
visqueux et le couple résistant (couple d’usinage). Pour ce
système, le couple d’usinage se comporte comme une per-
turbation.
La fonction du transfert en boucle ouverte est du 1er
ordre :
HBO(s) = 1
fv+Js (13)
L’asservissement de vitesse sera donc réalisé par l’inter-
médiaire d’un correcteur PI à action proportionnelle sur
la vitesse Ω. Le correcteur fournit un couple moteur (noté
Cem sur la figure (9)) calculé à partir de l’erreur entre la
vitesse de consigne et la vitesse réel de la MRV. En pra-
tique le couple moteur d’une MRV est saturé (pour notre
MRV le couple maximal est de 0.06 Nm [2]). Lorsque le
contrôleur utilisé dans la boucle fermée possède une action
intégrale, la saturation nécessite d’introduire un correcteur
anti-windup permettant de remettre à zéro (reset) l’inté-
grateur lorsque la saturation est active.
Si on appelle κle gain de correcteur et τsa constante
d’intégration, a fonction de transfert du système en boucle
fermée est :
HBF (s) = 1
hJτ
κs2+(fv+κ) κτs + 1i(14)
On remarque que le système se comporte comme un sys-
tème de deuxième ordre de pulsation propre :
ωn=rκ
Jτ (15)
et de facteur d’amortissement :
ζ=(fv+κ)
2rτ Jκ (16)
VI. Résultats des simulations
Afin d’analyser les performances des différents modèles
de couple, l’asservissement de vitesse a été simulé pour
chaque modèle proposé.
L’asservissement de vitesse pour une consigne en éche-
lon de vitesse ne présente pas d’intérêt car la simulation
implique une saturation totale de la commande.
Ainsi nous avons simulé l’asservissement pour une
consigne en rampe de vitesse. Pour une vitesse de réfé-
rence de 150000 tr/min, nous avons choisi un temps d’ac-
célération de 2s et une tension d’alimentation de 150 V.
Les réponses en vitesse du système linéaire équivalent et du
système non linéaire sont représentées sur la figure 10. Pour
la même simulation les formes des tensions et des courants
sont représentées sur la figure (11).
0 0.5 1 1.5 2 2.5
−2
0
2
4
6
8
10
12
14
16 x 104
Temps [s]
Vitesse [tr/min]
Consigne
Système linéaire
Système non linéaire
(a) Courbes de vitesses
1.99 2 2.01 2.02 2.03 2.04 2.05 2.06 2.07
1.4995
1.4996
1.4997
1.4998
1.4999
1.5
1.5001
1.5002
1.5003
1.5004
1.5005 x 105
Temps [s]
Vitesse [tr/min]
Consigne
Système linéaire
Modèle Eq. 6 1/L=f(cos(2θ))
Modèle Eq. 9
Modèle Eq. 10
(b) Détail des courbes
Fig. 10
Réponse en vitesse pour une consigne en rampe
(Ωref = 150000 tr/min, tacc = 2 s)
Durant cette simulation on remarque trois zones dis-
tinctes. La première zone correspond à la phase de démar-
rage du moteur. La réponse en vitesse est typique pour un
système de deuxième ordre de facteur d’amortissement in-
férieur à 1. On remarque, d’ailleurs que pendant la phase
d’accélération en absence de couple d’usinage chaque phase
de la MRV est alimentée pendant approximativement 40
degrés (figure 11(a)). On remarque que pour cette vitesse
la chaque phase doit être commandée lorsque le rotor se
trouve à −60 degrés par rapport à la position de conjonc-
tion, donc en face du précédent pôle statorique. Pour ce
mode de fonctionnement le couple moteur demandé par le
correcteur doit être égal au couple de frottement.
La deuxième zone dure 0.02 s et elle est prévue afin
d’analyser le comportement du système lors d’un impact de
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