Circuits réactifs du première ordre en régime transitoire.

Cours 4. Circuits r´eactifs
Par Dimitri galayko
Unit´e d’enseignement ´ Elec-info
pour master ACSI `a l’UPMC
Octobre-d´ecembre 2005
1 Circuits RC ´el´ementaires
1.1 Condensateurs dans les circuits de courant continu
Un circuit de courant continu per¸coit un condensateur comme un circuit
ouvert. En effet, un condensateur est un circuit ouvert : par d´efinition, entre
ses ´electrodes il n’y a pas de charges libres. Ainsi, un condensateur raccord´e
`a n’importe quels deux nœuds n’affecte aucunement le fonctionnement du
circuit, comme c’est pr´esent´e figure 1. Ici, la tension aux bornes du conden-
sateur C est ´egale `a la tension sur le r´esistor R3, celle-l`a ´etant calcul´ee sans
tenir compte du condensateur (cf. le cours 1).
E
R1 R2
I
I2
R3
I3
I1
0
C
Fig. 1 – Circuit r´esistif ´etudi´e dans le cours 1, dans lequel on a introduit un
condensateur : tous les calculs restent valables.
Cependant, dans la mesure o`u il existe une tension entre les ´electrodes
du condensateur C (la tension UR3), chacune de ses ´electrodes accumule une
charge dont la valeur absolue est donn´ee par Q=CUR3.
1

2
Le circuit reste dans cet ´etat d’´equilibre tant que les sources d’´energie
ind´ependantes g´en`erent des tensions et des courants constants. Or, si les gran-
deurs g´en´er´ees par les sources ´evoluent dans le temps, ou si survient une modi-
fication de la topologie du circuit (par exemple, une rupture d’une connexion,
un court-circuit entre deux nœuds, une adjonction d’une branche...), les
condensateurs du circuit jouent un rˆole d´eterminant dans les ph´enom`enes
qui se produisent apr`es ce changement.
1.2 Circuit RC ´el´ementaire : d´echarge d’un condensa-
teur
Nous proposons d’´etudier le circuit donn´e par la figure 2.
a) b)
EIR
R
IC
CUC
IC
CUCR
IR
Nœud 1
Fig. 2 – Circuit illustrant le ph´enom`ene de d´echarge d’un condensateur
branch´e sur un r´esistor. a) Circuit complet : `a t < 0 l’interrupteur est ferm´e
(passant), c’est donc un circuit de courant continu classique. L’interrupteur
est ouvert `a partir de t= 0. b) Le circuit apr`es la commutation : la source
est exclue du circuit.
Supposons que l’interrupteur est ferm´e (passant) pour t < 0. Ainsi, le
circuit fonctionne en r´egime de courant continu : pour son analyse le conden-
sateur peut ˆetre n´eglig´e. Ainsi, le courant dans le r´esistor est de E/R, la
tension sur le r´esistor et de E. Le condensateur est donc charg´e `a E.
`
At= 0 l’interrupteur s’ouvre. La source est d´econnect´ee du reste du
circuit. Comment ´evolue la charge du condensateur ?
Aucune source d’´energie ext´erieure ne maintient une polarisation : les
charges oppos´ees des ´electrodes de la capacit´e cherchent donc `a se r´eunir et
`a se compenser. Pour cela elles doivent passer par le r´esistor, car c’est le seul
chemin entre les ´electrodes o`u les charges libres peuvent se d´eplacer.
Si la r´esistance du r´esistor ´etait nulle, la d´echarge serait instantan´ee. Or
un flux de charges est un courant ; l’intensit´e du courant d’un r´esistor est
d´etermin´ee par la tension. Cette tension `a l’instant qui suit la commutation
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(nous l’appellerons t= 0+) est ´egale `a E. Ainsi, le courant de la r´esistance,
qui est ´egalement le courant de d´echarge du condensateur, vaut E/R `a l’ins-
tant t= 0+. Par d´efinition, ce courant est la vitesse avec laquelle ´evolue la
charge du condensateur. Ainsi, cette ´evolution (la d´echarge) ne peut pas ˆetre
instantan´ee.
Que se passe-t-il lorsque t > 0 ? Au fur et `a mesure que le condensateur se
d´echarge, sa tension diminue (Q=CU). Ainsi, le courant dans la r´esistance
diminue ´egalement, en faisant diminuer `a son tour la vitesse de la d´echarge.
La vitesse de la d´echarge est proportionnelle `a la charge
du condensateur.
Cette constatation permet de dire que la loi d’´evolution de la charge est
exponentielle.
D´ecrivons ce processus par les ´equations math´ematiques.
Le courant de la r´esistance est ´egal `a :
iR=uC
R=qC RC .(1)
En mˆeme temps, le courant du r´esistor est ´egal au courant du condensa-
teur pris avec un signe moins (la loi des nœuds) , ce dernier ´etant ´egal `a la
vitesse d’´evolution de la charge :
iR=−iC=−dqC
dt .(2)
En r´eunissant les ´equations (1) et (2) nous obtenons :
1
RC qC=−dqC dt .(3)
C’est une ´equation diff´erentielle lin´eaire et homog`ene du premier ordre1.
De l’analyse math´ematique il est connu que sa solution g´en´erale s’´ecrit comme
suit :
qC(t) = Q0exp(−1
RC t),(4)
o`u Q0est une constante d´efinie par les conditions initiales.
1Nous rappellerons les notions sur les ´equations diff´erentielles lin´eaires dans le cours
suivant.
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Pour d´eterminer Q0, il faut utiliser la connaissance sur l’´etat du circuit `a
l’instant initial , i.e. `a l’instant t= 0+. Nous savons qu’`a t= 0+ la charge
Qvaut :
Q|t=0+ =EC. (5)
Ainsi,
Q|t=0+ =Q0exp(−1
RC 0) = Q0=EC. (6)
Q0est alors la charge initiale du condensateur.
Ainsi, la solution particuli`ere de l’´equation (3) est :
q(t) = Q0exp(−1
RC t).(7)
Le produit RC s’appelle la constante de temps du circuit, il est d´esign´e
par la lettre τ:
τ=RC. (8)
C’est donc l’intervalle de temps en lequel la charge perd efois sa valeur
initiale. Donc, en 2τla charge diminue en e2, etc.
La tension et le courant ´evoluent selon la mˆeme loi :
uC=uR=qC
C=Eexp(−t RC ),(9)
et
iC=dqC
dt=−E Rexp(−t RC ).(10)
La figure 3 pr´esente le graphique de la loi d’´evolution de la charge, de la
tension et du courant dans le condensateur.
Le fait que le courant soit n´egatif signifie que la charge du condensateur
diminue. Ainsi, le sens conventionnel positif du courant de condensateur est
d´efini de sorte `a ce qu’un courant d’intensit´e positive charge le condensateur.
Toutes les grandeurs du circuit tendent vers z´ero d’une mani`ere asymp-
totique, selon la loi exponentielle (donc tr`es rapidement). Ainsi, en pratique,
pass´e un temps suffisamment grand, toutes les grandeurs du circuit peuvent
ˆetre consid´er´ees nulles.
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5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
C
Charge, tension et courant du condensateur
qC(t)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
V
uC(t)
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
-2 -1 0 1 2 3 4
A
time, s
iC(t)
Fig. 3 – ´ Evolution des grandeurs associ´ees au condensateur lorsque celui-ci
se d´echarge : E0= 1V,C= 1F,R= 1Ω.
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