Chapitre 5.4 – Le moteur linéaire

Chapitre 5.4 – Le moteur linéaire
Le comportement physique d’un moteur linéaire
Le moteur électrique linéaire est un circuit électrique
constitué d’une pile d’électromotance ε branchée à un rail
en forme de U où il y a une tige conductrice de longueur l
pouvant glisser sur le rail qui ferme le circuit.
I
l
La résistance du circuit est égale à R ce qui permet
l’écoulement d’un courant I par la loi d’Ohm :
∆V = R I
ε
v
Lorsque le circuit est plongé dans un champ magnétique B
perpendiculaire au plan du circuit, tous les côtés du circuit
subissent une force magnétique :
v
v v
Fm = I l × B
I
v
B
v
Fm
ε
Puisque seulement la tige conductrice est mobile, elle subit
une accélération par la 2ième loi de Newton :
v
v
F = ma
v
a
v
L’accélération permet à la tige de gagner de la vitesse v ce
qui génère une électromotance induite ε ind (comme dans le
cas d’un générateur linéaire) :
ε ind = vBl
Selon la loi de Lenz, cette nouvelle différence de potentiel
s’oppose à ce qui l’a créé : la pile ε . Ainsi, le courant
diminue, la force magnétique diminue et l’accélération
diminue par la loi des mailles et la loi d’Ohm :
ε − ε ind − RI = 0
I
v
B
∑ ∆V = ε − ε
ind
=0
⇒
vlim =
ε ind
v
Fm
ε
v
a
v
La tige conductrice atteint une vitesse limite vlim lorsque le
courant est nul. L’électromotance induite ε ind est alors égale
à l’électromotance de la pile et la vitesse limite peut être
évaluée grâce à l’expression suivante :
ε
v
v
I =0
v
B
ε
v
vlim
ε ind
Bl
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Situation 1 : Un moteur linéaire. Un moteur linéaire est
alimenté par une pile dont l’électromotance est égale à 12 V
tel qu’illustré sur le schéma ci-contre. La tige a une longueur
de 0,4 m, une masse de 0,2 kg et une résistance de 3 Ω (le
reste du circuit a une résistance négligeable). Un champ
magnétique uniforme de 0,5 T entre dans le plan du schéma.
On désire déterminer le module de l’accélération de la tige au
moment où on la lâche (vitesse initiale nulle). On suppose que
le frottement entre les rails et la tige est négligeable et que la
gravité n’influence par le mouvement de la tige.
×
×
×
×B
I
E
I
×
I
×
×
Fm
×
×
Évaluons le courant à partir de la loi d’Ohm :
∆V = RI
⇒
(12) = (3)I
⇒
I =4 A
Évaluons la force magnétique appliquée sur la tige :
Fm = I lB sin (θ )
⇒
Fm = (4 )(0,4 )(0,5) sin (90°)
⇒
Fm = 0,8 N
Évaluons l’accélération à partir de la 2ième loi de Newton selon l’axe x :
∑F
x
= ma x
⇒
Fm = ma x
⇒
(0,8) = (0,2)a x
⇒
a x = 4 m/s 2
Situation 2 : La vitesse limite de la tige du moteur linéaire. À la situation 1, on désire
déterminer le module de la vitesse limite atteinte par la tige. (On suppose que le montage
s’étend indéfiniment vers la droite.)
La vitesse limite sera atteint lorsque l’électromotance induite dans la tige s’opposera
complètement à l’électromotance de la pile ( ε ind = ε ) ce qui réduit la force magnétique à
zéro (car I = 0 ). Évaluons la vitesse limite à partir de l’électromotance induite du
générateur linéaire :
ε ind = ε
⇒
vBl = ε
( ε ind = vBl )
⇒
v(0,5)(0,4) = (12)
(Remplacer valeurs num.)
⇒
v = 60 m/s
(Évaluer v)
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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L’équation du mouvement du moteur linéaire
Le mouvement d’une tige d’un moteur linéaire n’est
pas un mouvement à accélération constante de type
MUA, car l’électromotance induite qui nuit à
l’accélération de la tige dépend de la vitesse v de
celle-ci. En considérant cet effet, on peut démontrer1
que la vitesse v(t ) de la tige en fonction du temps
peut être évaluée grâce à l’équation suivante :
l B 
  v
−
t

v(t ) = vlim 1 +  0 − 1e mR 
  vlim 

2
où
I
v
B
v
v
ε ind
v
a
v
Fm
ε
l
2
et
vlim = ε / Bl
v(t ) : Vitesse de la tige (m/s)
v0 : Vitesse initiale de la tige (m/s)
t : Temps écoulé dans le déplacement de la tige (s)
ε : Électromotance de la pile qui pousse la tige (V)
B : Champ magnétique appliqué sur le moteur linéaire (T)
l : Longueur de la tige (m)
R : Résistance du circuit (Ω)
m : Masse de la tige du moteur linéaire (kg)
vlim : Vitesse limite atteinte par la tige (m/s)
Preuve :
Considérons un moteur linéaire stimulé par la présence d’une pile d’électromotance ε dont
la résistance du circuit est R. La tige du moteur linéaire est d’une longueur l et de
masse m. Nous allons négliger l’auto-induction du circuit, car elle est négligeable.
Évaluons le courant qui circule dans le circuit à partir de la loi des mailles en incluant une
électromotrice induite ε ind s’opposant à la circulation du courant :
∑ ∆V = 0
⇒
ε − ε ind − RI = 0
⇒
I=
ε − ε ind
R
(Loi des mailles)
(Isoler I)
Évaluons l’expression de la force magnétique appliquée sur la tige :
Fm = I l B sin (θ )
⇒
 ε − ε ind 
Fm = 
l B
 R 
⇒
Fm =
lB
(ε − vBl )
R
( θ = 90° , remplacer I)
( ε ind = vBl )
1
Il est important de noter que cette équation ne considère par l’auto-induction du moteur linéaire (notion
explorée dans le chapitre 5.6), car elle est négligeable si le champ magnétique constant est très fort.
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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Appliquons la 2ième loi de Newton à notre tige et évaluons notre équation différentielle afin
de déterminer l’expression de la vitesse v(t ) de la tige :
∑ F = ma
⇒
Fm = ma
(Force magnétique)
⇒
lB
(ε − vBl ) = ma
R
lB
(ε − vBl ) = m dv
R
dt
lB
dv
dt =
mR
ε − vBl
lB
−1
dv
dt =
mR
Bl v − ε / Bl
lB
(ε − vBl ) )
R
dv
(a =
)
dt
⇒
⇒
⇒
( Fm =
(Séparer dv et dt
(Factoriser -
l2 B2
dv
dt =
mR
v − ε / Bl
⇒
−
⇒
l2 B2
dv
∫t =0− mR dt = v=∫v v − ε / Bl
0
⇒
−
t
1
)
Bl
(Simplifier)
v
(Poser l’intégrale)
l2 B2
dv
t= ∫
mR
v − ε / Bl
v =v0
( ∫ Adt = A t )
t
v
t =0
⇒
−
l2 B2
v
t = ln v − ε / Bl v
0
mR
(∫
⇒
−
l2 B2
t = ln v − ε / Bl − ln v0 − ε / Bl
mR
(Évaluer les bornes)
⇒
l2 B2
v − ε / Bl
−
t = ln
mR
v0 − ε / Bl
⇒
⇒
−
e
l2 B2
t
mR
=
 A
( ln ( A) − ln (B ) = ln 
B
v − ε / Bl
v0 − ε / Bl
(v0 − ε / Bl )e
−
l2 B2
t
mR
(Appli.l’expo., e ln ( x ) = x )
= v − ε / Bl
−
(Retirer le dénominateur)
l2B2
t
mR
⇒
v = ε / Bl + (v0 − ε / Bl )e
⇒
l B
  v
 − mR t 
0
v = ε / Bl 1 + 
− 1 e

  ε / Bl 

⇒
  v
 − lmRB t 
0
v(t ) = v lim 1 + 
− 1e

  vlim


2
2
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
1
dx = ln x + A + C )
x+ A
(Isoler v)
2
(Factoriser ε / Bl )
2
■
( vlim = ε / Bl et v0 < vlim )
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Situation 3 : La vitesse limite en présence d’une force externe. À la situation 1, on
désire déterminer le module de la vitesse finale limite de la tige lorsqu’elle subit une
force externe constante de 0,2 N orientée (a) vers la gauche; (b) vers la droite.
Dans la situation présente, la force
magnétique appliquée par le courant débité
par la pile de 12 V est orienté selon l’axe x
positif.
Rappel des valeurs :
L = 0,4 m
B = 0,5 T
×
×B
I
E
I
×
×
I
×
x
=0
×
Fm
×
×
R=3 Ω
(a) Évaluons la force magnétique appliquée sur la tige
à l’équilibre (donc à la vitesse maximale) à partir de la
2ième loi de Newton selon l’axe x avec une force
externe orientée selon l’axe x négatif :
∑F
×
⇒
Fm + Fext = 0
⇒
Fm + (− 0,2 ) = 0
⇒
Fm = 0,2 N
I
v
Fext
ε
v
Fm
v
B
Pour que la force magnétique soit orientée dans le sens positif de l’axe x, le courant doit
circuler vers le bas de la tige. Évaluons le courant qui circule dans le circuit pour générer
la force magnétique :
Fm = IlB sin (θ )
⇒
(0,2) = I (0,4)(0,5) sin (90°)
⇒
I =1 A
Évaluons l’électromotance induite dans le circuit à
partir de la loi des mailles et de la loi d’Ohm. Il est
important de rappeler que l’électromotance induite est
de sens contraire à l’électromotance de la pile :
∑ ∆V = 0
⇒
ε pile − ε ind − RI = 0
⇒
(12) − ε ind − (3)(1) = 0
⇒
ε ind = 9 V
I
v
Fext
ε
v
B
ε ind
v
Fm
Évaluons la vitesse limite à partir de l’électromotance induite du générateur linéaire :
ε ind = vBl
⇒
(9 ) = v(0,5)(0,4)
⇒
v = 45 m/s
Référence : Marc Séguin, Physique XXI Volume B
Note de cours rédigée par : Simon Vézina
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(b) Évaluons la force magnétique appliquée sur la tige
à l’équilibre (donc à la vitesse maximale) à partir de la
2ième loi de Newton selon l’axe x avec une force
externe orienté selon l’axe x positif :
∑F
x
=0
⇒
Fm + Fext = 0
⇒
Fm + (0,2 ) = 0
⇒
Fm = −0,2 N
I
v
Fm
ε
v
Fext
v
B
Pour que la force magnétique soit orientée dans le sens négatif de l’axe x, le courant doit
circuler vers le haut de la tige. Évaluons le courant qui circule dans le circuit pour générer
la force magnétique :
Fm = IlB sin (θ )
⇒
(0,2) = I (0,4)(0,5) sin (90°)
⇒
I =1 A
Évaluons l’électromotance induite dans le circuit à
partir de la loi des mailles et de la loi d’Ohm. Il est
important de rappeler que l’électromotance induite est
de sens contraire à l’électromotance de la pile :
∑ ∆V = 0
⇒
ε pile − ε ind + RI = 0
⇒
(12) − ε ind + (3)(1) = 0
⇒
ε ind = 15 V
I
v
Fm
ε
v
B
v
Fext
ε ind
Évaluons la vitesse limite à partir de l’électromotance induite du générateur linéaire :
ε ind = vBl
⇒
(15) = v(0,5)(0,4 )
⇒
v = 75 m/s
En conclusion :
Lorsque la force externe est dans le même sens que la force magnétique générée par
le courant de la pile ⇒
augmentation de la vitesse limite (partie b)
Lorsque la force externe est dans le sens contraire à la force magnétique générée par
le courant de la pile ⇒
diminution de la vitesse limite (partie a)
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