TD dynamique du point matériel

TD dynamique du point matériel
Pendule sur un plan incliné
Une masse m considérée comme un point matériel glisse
sans frottement sur un plan incliné, la masse est retenue par un fil
de longueur l inextensible sans masse accroché en haut du plan
incliné. Le fil reste constamment tendu. Le plan est incliné de
l’angle par rapport à l’horizontale. On notera g la valeur absolue
de l’accélération de la pesanteur.
Calculer la période du pendule ainsi constitué.
Pour cela nous proposons de projeter la Relation Fondamentale de
la Dynamique sur la direction u .
Glaçon glissant sur un igloo sphérique
Un glaçon est déposé au sommet de la surface externe d’un igloo sphérique et commence à glisser sans frottement avec une
vitesse initiale v0. Quelle sera la valeur de l’angle lorsque le glaçon décollera ?
On travaillera en coordonnées polaires.
On reliera tout d’abord v à d /dt avant le décollage
Puis on écrira la RFD.
La condition de décollage fait intervenir la réaction du support.
Pour quelle valeur de la vitesse initiale le glaçon décolle-t-il dès le sommet ?
On devra intégrer une fois l’équation du mouvement puis reporter l’expression de d /dt qui en résulte compte tenu des CI dans
l’expression de R pour savoir quand cette dernière s’annule.
Anneau qui glisse sur une hélice sans frottement sous l’effet de son poids
cos
sin
2
xR
yR
b
z
1) il faut trouver la loi horaire (t), on travaillera successivement en coordonnées cartésiennes puis en coordonnées
cylindriques .
ux
uY
uZ
M
ur
u
uz
ux
u
ux
uy
ur
r

2) On se servira enfin de l’expression de l’accélération en fonction du rayon de courbure qui est valable pour toute
courbe de l’espace dont les dérivés sont continues pour déterminer le rayon du cercle osculateur.
²
1
( ²)
²
1
( ²) . . . . 0
²
1
( ²) .
r z N
r z N z
rz
dr
m r r u u zu P R
r dt
dr
m r r u u zu v P v R v mgu v
r dt
dr
m r r u u zu rv r u
r dt .
or sur l'hélice 2
²
1
( ²) . .
²
z z z
r z r z z r z
r
zu mgu rv r u zu
r R z pas
dr
m r r u u zu ru r u zu mgu ru r u zu
r dt
m R u R u ..
2 2 2
²22
²²²
2 2 2 4 ² 2 2
²²
4 ² 4 ²
z z z z
pas pas
u R u u mgu R u pas u
g pas g pas pa
g pas
pas pas pas pas
R R g pas R z g
pas pas
RR
²
4² ²
²4²
si le pas est très grand on retrouve une chute libre
s
pas
R
Anneau sur tige en rotation reliée par un ressort.
Une anneau m peut glisser sans frottement sur une tige ( O , ) inclinée d’un angle alpha sur la verticale. Il est maintenu
par un ressort. ( O , ) tourne à la vitesse angulaire constante 0 autour de Oz. On suppose l0 > m.g/k
1) Etudier l’équilibre relatif de la masse m
2) Quelle est la nature des petits mouvements
autour de la position d’équilibre lorsqu’elle existe ?
3) La modélisation de ce problème
vous semble-t-elle suffisante ?
Anneau glissant sans frottement sur une hélice sous l’effet de son propre poids
Un anneau glisse donc sur une trajectoire hélicoïdale avec une réaction normale à partir d’une position initiale sans vitesse
initiale.
( ) cos( ( ))
( ) sin( ( ))
()
() 2
x t R t
y t R t
t
z t pas
θ(t) diminue dans ce mouvement, déterminer la loi horaire θ(t).
2
. .. . .
22
.. . . . . . ..
2.
- - sin 2 - cos sin 2 sin sin 2 cos
r
a r r r u r r r u r r r u
0
M
H
O
g
u
z

Projectile et ressort, choix du système.
On se propose de savoir de combien il faut comprimer un ressort sans vitesse pour que le point matériel qui le
charge décolle : le système est la bille + le plateau sans masse. Une fois la condition minimale trouvée pour laquelle
le décollage se fait juste en bout de course du plateau, on montrera que
00
2
ini critique eq
mg mg
z l z l
kk
;
On choisira une compression plus forte
i0
ni 3
z mg lk
et on donnera les nouvelles dates et cotes du décollage.
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
²²
( ) ( ) ² ²
²²
( ) cos( ) cos( ) cos( )
cette présentation ets plus élégante
eq
ini ini
d z d z k mg
m mg k z l g z l z z g l z l
dt dt m k
mg mg mg mg mg
z t l A t l z l t l l z t
k k k k k
0
0 0 0
car
² cos( )
ini
ini
mg
lz
k
mg
z l z t
k
Considérons maintenant que le système est le point matériel seul, il est soumis à son poids et à la réaction du
plateau sans masse.
0 0 0
0
on recherche le décolage soit l'annulation de R : ² cos( )
d'après l'étude précédente tant que la bille reste en contact
cos
ini
ini
mz R mg
mg
R mz mg m l z t mg
k
k mg
R m l z
mk 0 0 0
00
00
0
( ) cos( )
0 cos( ) 0
T
a la limite le décolage a lieu en bout de course ressort allongé pour t = ( 1) 0
2
ini
ini
ini
ini
t mg kl mg kz t mg
au décolageR kl mg kz t mg
kl mg kz mg
kl mg kz 00
ni 0 D D
0 0 0 0 0 0
2
3
que zi le décolage a lieu à t en z avec v que nous recherchons
3cos( ) 0 3 cos( ) 0
2
ini critique eq
DD
mg mg
mg z l z l
kk
mg
Supposons l alors
k
mg
R kl mg k l t mg kl mg kl mg t mg
k
0 0 0 0
00
0 0 0 0 0 0
0 0 0
1 3 2 3 2 3
cos( ) 0 cos( ) 2 4 4 8
3 3 3 3
( ) cos( ) cos( )
8 8 4
3
D D D D D
D ini
mg t mg t t t t T
TT
T mg mg T mg mg mg
alors z z t l l z l l l
k k k k k
mg mg mg
l l l
k k k 0 0 0 0 0 0
1 1 1 3 3 1 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
d'autres valeurs de la compression initiale auraient conduit à d'autres cotes de décolage
mg mg mg mg mg
l l l l l l
k k k k k
Il faut comprendre que après l0 le plateau va être freiné par le ressort qui s’oppose à une élongation supérieure à la
longueur à vide tandis que la bille qui n’est pas liée au plateau prend son essort.
O
z
k,l0
m