Chapitre 8: Le champ magnétique Exercices

Chapitre 8 : Le champ magnétique
Exercices
E1. En coordonnées cartésiennes, comme à l’exemple 8.3c, l’énoncé de la question implique
que
−→
B=0,6×10−4−→
jT, si 1G=10
−4T.
(a) On donne −→ v=−106−→
km/s et q=e. Aumoyendel’équation8.2,enserappelantque
−→
k×−→ j=−−→ i,onobtient
−→
FB=q−→
v×−→ B=e³−106−→
k´×³0,6×10−4−→ j´=⇒
−→
FB=¡1,6×10−19¢¡−106¢¡0,6×10−4¢³−→
k×−→ j´=9,60 ×10−18−→
iN
Donc FB= 9,60 ×10−18 N, vers l’est
(b) On donne −→ v=−106−→
im/s et q=−e. Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant que
−→
i×−→ j=−→ k,onobtient
−→
FB=q−→
v×−→ B=−e³−106−→
i´×³0,6×10−4−→ j´=⇒
−→
FB=¡−1,6×10−19¢¡−106¢¡0,6×10−4¢³−→
i×−→ j´=9,60 ×10−18−→
kN
Donc FB= 9,60 ×10−18 N, vers le haut
E2. On donne q=−e,−→ v=−106−→
jm/s, −→ FB=3,2×10−15−→ iNet−→ v⊥−→ B.
Comme la force est orientée selon l’axe des xpositifs et qu’elle est perpendiculaire au
champ magnétique, on conclut que le champ magnétique est parallèle à l’axe des z, c’est-
à-dire −→ B=±B−→ k.Si on insère toutes les quantités dans l’équation 8.2, on obtient
−→
FB=q−→
v×−→ B=⇒3,2×10−15−→
i=(−e)³−106−→ j´×³±B−→ k´=⇒
3,2×10−15−→
i=e¡106¢(±B)³−→
j×−→ k´(i)
Comme −→ j×−→ k=−→ i,l’équation (i) permet d’affirmerquelechampmagnétiquedoitêtre
orienté selon l’axe des zpositifs et que
3,2×10−15 =e¡106¢B=⇒B=3,2×10−15
(1,6×10−19)(106)=⇒
B=0,0200 T, selon l’axe des zpositifs
E3. En coordonnées cartésiennes, comme à l’exemple 8.3c, l’énoncé de la question implique
que
−→
B=−0,12 ×10−4−→
kT, si 1G=10
−4T. On donne aussi v=2,7×106m/s à 45◦au
sud (−y)del’est(+x)etq=e. Les composantes de la vitesse sont
v4 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 1
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−→
v=vcos (45◦)−→
i−vsin (45◦)−→ j=¡2,7×106¢³√2
2´−→
i−¡2,7×106¢³√2
2´−→
j=⇒
−→
v=³1,91 ×106−→
i−1,91 ×106−→ j´m/s
Si on insère toutes les quantités dans l’équation 8.2, on obtient
−→
FB=q−→
v×−→ B=e³1,91 ×106−→
i−1,91 ×106−→ j´×³−0,12 ×10−4−→ k´
−→
FB=e¡102¢³1,91−→
i−1,91−→ j´×³−0,12−→ k´(i)
Rappelons que, selon la section 2.5 du tome 1, le produit vectoriel de deux vecteurs
correspond à
−→
v×−→ B=(vyBz−vzBy)−→
i+(vzBx−vxBz)−→ j+(vxBy−vyBx)−→ k(ii)
Si on utilise l’équation (ii), la force magnétique calculée à l’équation (i) est
−→
FB=e¡102¢h(−1,91 (−0,12)) −→
i+(−1,91 (−0,12)) −→ j+(0)−→ ki=⇒
−→
FB=¡1,6×10−19¢¡102¢³0,229−→
i+0,229−→ j´=³3,66−→ i+3,66−→ j´×10−18 N
Lemoduledecetteforceest
FB=q(3,66 ×10−18)2+(3,66 ×10−18)2= 5,18 ×10−18 N
Et, d’après ses composantes, on constate qu’elle est dirigée au nord de l’est .
E4. On donne q=1µC, v=10
6m/s et −→
B=5,00 ×10−2−→
jT, si 1G=10
−4T.
Au moyen de la figure 8.45, on voit que
−→
v1=v−→
i=1×106−→
im/s
Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant que −→ i×−→ j=−→ k,onobtient
−→
FB1=q−→
v1×−→ B=q³1×106−→
i´×³5,00 ×10−2−→ j´=⇒
−→
FB1=¡1×10−6¢¡1×106¢¡5,00 ×10−2¢³−→
i×−→ j´=⇒−→
FB1=0,0500−→
kN
Selon la figure 8.45, on trouve
−→
v2=−vcos (45◦)−→
i+vsin (45◦)−→ j=−¡1×106¢³√2
2´−→
i+¡1×106¢³√2
2´−→
j=⇒
−→
v2=³−7,07 ×105−→
i+7,07 ×105−→ j´m/s
Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant que −→ i×−→ j=−→ ket que −→ j×−→ j=0,on
obtient
−→
FB2=q−→
v2×−→ B=q³−7,07 ×105−→
i+7,07 ×105−→ j´×³5,00 ×10−2−→ j´=⇒
−→
FB2=¡1×10−6¢¡−7,07 ×105¢¡5,00 ×10−2¢³−→
i×−→ j´=⇒−→
FB2=−0,0354−→
kN
D’après la figure 8.45, on obtient
−→
v3=vcos (45◦)−→
i−vsin (45◦)−→ k=¡1×106¢³√2
2´−→
i−¡1×106¢³√2
2´−→
k=⇒
−→
v3=³7,07 ×105−→
i−7,07 ×105−→ k´m/s
2Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4
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Au moyen de l’équation 8.2, en faisant appel à l’équation (ii) de l’exercice 3, on trouve
−→
FB3=q−→
v3×−→ B=q³7,07 ×105−→
i−7,07 ×105−→ k´×³5,00 ×10−2−→ j´=⇒
−→
FB3=q¡103¢³7,07−→
i−7,07−→ k´×³−→ j´=⇒
−→
FB3=q¡103¢h(7,07 (5,00)) −→
i+(7,07 (5,00)) −→ ki=⇒
−→
FB3=¡1×10−6¢¡103¢³35,4−→
i+35,4−→ k´=⇒−→
FB3=0,0354 ³−→
i+−→ k´N
E5. On cherche le champ magnétique −→ B,dont l’orientation conduit aux situations décrites
dans ces deux figures :
L’énoncé de la question indique que °
°
°−→
FB1°
°
°=°
°
°−→
FB2°
°
°et °
°−→
v1°
°=° °−→
v2°
°.
Comme la charge est positive, la direction de la force magnétique est est identique à celle
de −→ v×−→ B.Selon la règle de la main droite, il faut tourner de −→ v1à−→
Bou de −→ v2à−→ Bdans
un plan perpendiculaire à chacun des vecteurs forces. Dans les deux figures, une flèche
indiquelesensnécessairepourobtenir l’orientation adéquate de −→ FB1et −→
FB2.Dans les
deux cas, la rotation s’effectue dans le plan xy.
De plus,
°
°
°−→
FB1°
°
°=°
°
°−→
FB2°
°
°=⇒|q|°
°−→
v1°
°sin θ1=|q|°
°−→
v2°
°sin θ2=⇒θ1=θ2
Ainsi, le champ magnétique ne peut se trouver qu’à mi-chemin entre les deux vecteurs
vitesse pour que l’angle θentre −→ vet −→ Bsoit le même dans les deux cas. Comme −→ v1est
à30◦de l’axe des xpositifs et que −→
v2est orientée selon l’axe des ypositifs, on conclut
que −→ Best dans le plan xy, à60,0◦de l’axe des x
E6. On donne q=−0,25 µCetv=2×106m/s. D’après la figure 8.46, on note que les
composantes de la vitesse sont
−→
v=vcos (45◦)−→ i+vsin (45◦)−→ k=¡2×106¢³√2
2´−→
i+¡2×106¢³√2
2´−→
k=⇒
−→
v=³1,41 ×106−→
i+1,41 ×106−→ k´m/s
v4 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 3
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Le module du champ magnétique est B=0,03 T, mais son orientation est inconnue.
(a) On donne −→ B=B−→ k=0,03−→ kT. Au moyen de l’équation 8.2, en se rappelant que
−→
i×−→ k=−−→ jet que −→ k×−→ k=0,onobtient
−→
FB=q−→
v×−→ B=q³1,41 ×106−→
i+1,41 ×106−→ k´×³0,03−→ k´=⇒
−→
FB2=¡−0,25 ×10−6¢¡1,41 ×106¢(0,03) ³−→
i×−→ k´=⇒−→ FB= 0,0106−→
jN
(b) On donne −→ FB=4×10−3−→
jN. Comme la force magnétique est orientée selon l’axe des y
positifs, le champ magnétique doit se trouver dans le plan xz pour être perpendiculaire
àlaforce.Oncherchel’angleθentre −→ vet −→ Bau moyen de l’équation 8.1 :
FB=|q|vB sin θ=⇒4×10−3=¡0,25 ×10−6¢¡2×106¢(0,03) sin θ=⇒
sin θ=4×10−3
(0,25×10−6)(2×106)(0,03) =0,2667 =⇒θ=arcsin(0,2667)
Les deux solutions de cette équation sont θ=15,5◦et 164,5◦.
Comme −→ FBest orientée selon l’axe des ypositifs et que q<0,−→
v×−→ Best orientée selon
l’axe des ynégatifs. La règle de la main droite implique une rotation de −→ vvers −→ Ben
direction de l’axe des zpositifs de la figure 8.46. Si on choisit la première valeur de θ,en
rappelant que 45◦−15,5◦=29,5◦, alors on en déduit que
−→
Best orienté à 29,5◦de l’axe des zpositifs dans le plan xz, en direction de −→
v
E7. On donne q=−4µC, −→ v=³2,0−→ i−3,0−→ j+1,0−→ k´×106m/s et
−→
B=³2,0−→ i+5,0−→ j−3,0−→ k´×10−2T. Au moyen de l’équation 8.2, en faisant appel à
l’équation (ii) de l’exercice 3, on obtient
−→
FB=q−→
v×−→ B=q¡104¢³2,0−→
i−3,0−→ j+1,0−→ k´×³2,0−→ i+5,0−→ j−3,0−→ k´=⇒
−→
FB=q¡104¢h(−3,0(−3,0) −1,0(5,0))−→
i+
(1,0(2,0) −2,0(−3,0))−→ j+(2,0(5,0) −(−3,0) (2,0))−→ ki=⇒
−→
FB=¡−4×10−6¢¡104¢³4,0−→
i+8,0−→ j+16,0−→ k´=⇒
−→
FB=³−0,160−→
i−0,320−→ j−0,640−→ k´N
E8. On donne q=−2µC, −→ v=³−−→ i+3
−→
j´×106m/s et −→ FB=³3,0−→ i+−→ j+2,0−→ k´N.
Le champ magnétique inconnu ne possède que deux composantes, soit
−→
B=By−→
j+Bz−→ k
Au moyen de l’équation 8.2, en faisant appel à l’équation (ii) de l’exercice 3, on obtient
−→
FB=q−→
v×−→ B=⇒
³3,0−→
i+−→ j+2,0−→ k´=q³−1,0×106−→
i+3×106−→ j´×³By−→ j+Bz−→ k´=⇒
4Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique v4
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³3,0−→
i+−→ j+2,0−→ k´=¡−2,0×10−6¢³−1,0×106−→
i+3×106−→ j´×³By−→ j+Bz−→ k´=⇒
³3,0−→
i+−→ j+2,0−→ k´=³2,0−→ i−6,0−→ j´×³By−→
j+Bz−→ k´=⇒
³3,0−→
i+−→ j+2,0−→ k´=h−6,0Bz−→
i−2,0Bz−→ j+2,0By−→ ki
Lorsque deux vecteurs sont égaux, les composantes doivent être égales. On en conclut
facilement que By=1,0TetBz=−0,5T, c’est-à-dire
−→
B=³1,00−→
j−0,500−→ k´T
E9. On donne q=−e, −→ B=−1,2−→ kTet−→ FB=³−2−→ i+6
−→
j´×10−13 N.
La vitesse inconnue ne possède que deux composantes, soit −→ v=vx−→
i+vy−→ j.
Au moyen de l’équation 8.2, en faisant appel à l’équation (ii) de l’exercice 3, on obtient
−→
FB=q−→
v×−→ B=⇒
³−2−→
i+6
−→
j´×10−13 =q³vx−→
i+vy−→ j´×³−1,2−→ k´=⇒
³−2−→
i+6
−→
j´×10−13 =¡−1,6×10−19¢³vx−→
i+vy−→ j´×³−1,2−→ k´=⇒
³−2−→
i+6
−→
j´=¡−1,6×10−6¢³vx−→
i+vy−→ j´×³−1,2−→ k´=⇒
³−2−→
i+6
−→
j´=¡−1,6×10−6¢hvy(−1,2) −→
i−vx(−1,2) −→ ji
Lorsque deux vecteurs sont égaux, les composantes doivent être égales, ce qui implique
que
vx=−6
(−1,6×10−6)(−1,2) =−3,13 ×106m/s
vy=−2
(−1,6×10−6)(−1,2) =−1,04 ×106m/s
Donc −→ v=³−3,13−→
i−1,04−→ j´×106m/s
E10. On donne q=−e,−→ v=10
6−→
im/s et −→ FB=4×10−14−→ jN.
(a) Sans faire de calculs, on sait que −→ Bdoit se trouver dans le plan xz pour être perpendi-
culaire à −→ FB.Pour en savoir plus, on utilise l’équation 8.2, en faisant appel à l’équation
(ii) de l’exercice 3 :
−→
FB=q−→
v×−→ B=⇒
4×10−14−→
j=q³106−→ i´×³Bx−→ i+By−→ j+Bz−→ k´=⇒
4×10−14−→
j=¡−1,6×10−19¢h−¡106¢Bz−→ j+¡106¢By−→ ki
Lorsque deux vecteurs sont égaux, les composantes doivent être égales, ce qui confirme
que By=0et permet de calculer que
Bz=4×10−14
(−1,6×10−19)(−106)=0,250 T
Il est impossible de déduire quoi que ce soit sur la composante Bxdu champ magnétique,
v4 Électricité et magnétisme, Chapitre 8 : Le champ magnétique 5
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