Annales - Laboratoire d`Astrophysique de Bordeaux

Universit´e Bordeaux 1
Ann´ee universitaire 2007/2008
Semestre 2
CPBx
Physique
Devoir Surveill´e du 11/04/08
Document et calculatrice non-autoris´es
Sujet de J.M. Hur´e et T. Jacq
Dur´ee 1h30
Question de cours (6 points)
On d´efinira clairement les notations introduites, le cas ´ech´eant.
1. Enoncez le principe fondamental de la dynamique pour une particule mat´erielle de masse met de
quantit´e de mouvement ~p soumise `a un ensemble de forces ext´erieures de r´esultante ~ F.
2. Enoncez le th´eor`eme de l’´energie cin´etique (ThEC).
3. Comment se r´e-´ecrit ´eventuellement le ThEC en pr´esence de forces conservatives ? En pr´esence
de forces conservatives et non-conservatives ?
Probl`eme (14 points)
A. On consid`ere une sph`ere Sde masse mse d´eplacant dans l’espace o`u r`egne un champ de gravit´e
~g uniforme (figure 1). On choisit un syst`eme d’axe (Ox, Oy) et une base associ´ee (~ex, ~ey) tels que, `a
l’instant t= 0, Sest en O(0,0), sa vitesse est ~ V0=V0~exavec V0>0, et l’acc´el´eration de la pesanteur
s’´ecrit ~g =−g~eyo`u g > 0. On assimilera la sph`ere `a une masse ponctuelle.
y
0x
champ de gravité
0
V
d
Figure 1
1. Dressez l’inventaire des forces agissant sur S, et montrez que la sph`ere subit une acc´el´eration ~a.
Quelle est-elle ?
1

2. Rappelez, sans d´emonstration, quelle est la nature du mouvement de S.
3. Etablissez l’´equation de la trajectoire de S. Exprimez le temps mis par Spour atteindre l’abscisse
x=d? Quelle est alors son altitude y? Sa vitesse ~v `a cet endroit ?
4. Retrouvez ce dernier r´esultat `a l’aide du th´eor`eme de l’´energie cin´etique.
B. On recommence la mˆeme exp´erience que pr´ec´edemment avec une sph`ere m´etallique de mˆeme
masse mais portant cette fois une charge ´electrique Qet l’on installe dans la r´egion x∈[0, d] un champ
´electrique ~ Euniforme (figure 2), de sorte que la sph`ere subit dans cette r´egion et dans cette r´egion
uniquement, une force suppl´ementaire ~ F=Q~ E.
y
0x
0
V
d
champ de gravité
et champ électrique
Figure 2
5. Dressez l’inventaire des forces agissant sur la sph`ere, et montrez que Ssubit, en g´en´eral, une
acc´el´eration ~a. Quelle est-elle ?
6. Quelle est la nature du mouvement de S, quelle que soit l’orientation du champ ´electrique ?
Expliquez.
7. Comment choisir la charge Qet l’orientation de ~ Epour que Sconserve sa vitesse lorsqu’elle
traverse la r´egion o`u r`egnent les deux champs ? Expliquez.
8. En vous basant sur les r´esultats obtenus en A, trouvez la position et la vitesse ~v ′de Sen x=ddans
le cas particulier o`u ~ E=n×m
Q~g o`u nest un entier relatif, c’est-`a-dire n∈ {. . . , −2,−1,0,1,2, . . .}.
9. Dans les conditions de la question pr´ec´edente, comparez deux-`a-deux les composantes de ~v et de
~v ′lorsque x∈[0, d]. Concluez. Que se passe-t-il pour n=−1 ?
10. Expliquez sommairement comment orienter ~ Esi l’on veut que Spuisse rebrousser chemin ?
11. On pose ~ E=−E ~ex, avec E > 0. D´eterminez la relation en Q,V0,Eet dtelle que Srebrousse
chemin en x=d. Que devient cette relation si l’on veut que Srebrousse chemin en x0< d.
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Universit´e Bordeaux 1
Ann´ee universitaire 2007/2008
Semestre 2
CPBx
Physique — CPI246
Examen du 06/06/08
Document et calculatrice non-autoris´es
Sujet de J.M. Hur´e
Dur´ee 1h30
Probl`eme (14 points)
On consid`ere le dispositif sch´ematis´e ci-dessous constitu´e d’une fine tige (T) homog`ene de bois de
masse Met de longueur L, et deux sph`eres pleines (S), de rayon Ret de centre C, et (S′) de rayon
R′et de centre C’. Les sph`eres sont en plastique, de masse volumique ρ. On fixe (S) au dessus de
la tige `a son extr´emit´e gauche A de sorte que AB ⊥AC; (S’) est plac´ee au dessous de celle-ci `a son
extr´emit´e droite B, avec AB ⊥BC’. Le syst`eme (S)+(S’)+(T) constitue un solide ind´eformable (I) que
l’on peut faire tenir en ´equilibre en posant la tige sur une pointe en O, `a une distance d < L de A (en
O, le syst`eme peut donc pivoter). On place (I) dans un environnement ou r`egne un champ de gravit´e
~g vertical uniforme comme indiqu´e sur la figure.
On choisit un syst`eme d’axe (Ox, Oy, Oz), et une base associ´ee (~ex, ~ey, ~ez).
x
m
m’
Od L−d
C
A
B
R
(S)
(S’)
(T)
C’
R’
y
g
Une infinit´e d’´equilibres sont r´ealisables. On s’int´eresse `a celui qui laisse la tige `a l’horizontale.
1. Exprimez la masse mde (S) et la masse m′de (S′) en fonction de ρ.
2. Rappelez la d´efinition du centre de gravit´e G d’un solide constitu´e de Nsolides de masses Miet
de centre de gravit´e respectifs Gi. Que vaut Ndans le cas pr´esent ?
1

3. Pr´ecisez la position du centre de gravit´e GSde (S) ? GS′de (S’) ? GTde (T) ? D´eterminez leurs
coordonn´ees.
4. En d´eduire les coordonn´ees du centre de gravit´e G de (I).
5. Comment choisir les param`etres m,m′,Met dpour que G se situe pr´ecis´ement sur l’axe Ox ?
sur l’axe Oy ? au niveau de la pointe, en O ?
6. Quelles sont les forces qui s’exercent sur (I) ? Exprimez leur composantes.
7. Rappelez les ´equations qui s’appliquent lors de l’´equilibre du syst`eme ?
8. Exprimez la r´eaction ~ Rde la pointe. D´epend-elle de d? Quelle est son rˆole ?
9. Exprimez le moment ~ MO, somme vectorielle des moments des forces en O. En d´eduire la position
dpermettant au syst`eme de se maintenir effectivement en ´equilibre, la tige restant parfaitement
horizontale. Avez vous d´eja obtenu cette expression ? Concluez.
10. Une mouche de masse µvient se poser sur la tige. Oh, la vilaine! Que peut-il se produire ? A
quel endroit de la tige la mouche peut-elle se poser sans rompre l’´equilibre pr´ec´edent ? Comment
sont alors modifi´ees les forces en pr´esence ? Expliquez.
Exercice (6 points)
A la surface de la Lune, un petit caillou rond de masse m(assimilable `a un point mat´eriel) se d´etache
d’un rocher et roule sans frottement en suivant le relief. Ce d´eplacement `a lieu dans un plan xOy sous
la seule action du poids ~ P=−mg~eydu caillou, g´etant la pesanteur lunaire (environ 6 fois plus faible
que sur Terre).
1. Quelle est l’´energie potentielle de pesanteur de la bille lorsqu’elle se trouve `a une altitude z(on
prendra l’altitude z= 0 comme origine des ´energies) ?
2. Les variations de relief sont tels que l’´energie potentielle de la bille s’´ecrit en fait:
Ep(x) = ax2−bx3
3. Tracez sommairement la courbe Ep(x).
4. Quels sont les positions d’´equilibre de la bille ? Sont-elles stables ? instables ?
5. Le caillou se d´etache du rocher en x0=pa
6b. Dans quel sens se dirige-t-il ? Justifiez.
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Universit´e de Bordeaux
Ann´ee universitaire 2008/2009
Semestre 3
CPIBx
Physique
Devoir blanc du 01/10/08
Document et calculatrice non-autoris´es
Sujet de J.M. Hur´e
Un mobile M, assimilable `a un point mat´eriel de masse met de coordonn´ees cart´esiennes (x, y), se d´eplace
dans le plan xOy selon la loi horaire suivante :
x(t) = a(t−1)
y(t) = b
1 + t
(1)
o`u t≥0 est le temps (mesur´e en secondes) et aet bdeux constantes positives. Le mobile est soumis `a son
poids ~ P=−mg~uy,gd´esignant l’acc´el´eration de la pesanteur terrestre au niveau du sol y= 0, ainsi qu’`a une
seconde force inconnue ~ I.
1. Rappelez la valeur commun´ement admise pour g.
2. O`u se trouve M`a t= 0 ? et `a t= 1 ? et `a t= 2 ? et lorsque t→ ∞ ?
3. Montrez que le mouvement est confin´e dans un demi-plan.
4. Trouvez la trajectoire Tde Mpour t≥0. Quelle est-elle ?
5. Tracez sommairement Tet pr´ecisez le sens de parcours du mobile sur T.
6. Le mobile peut-il atteindre l’abscisse −2a? Si oui, pr´ecisez `a quel(s) instant(s).
7. Exprimez les composantes cart´esiennes ( ˙x, ˙y) de la vitesse instantan´ee ~v(t). Exprimez v(t). Que vaut
v(0) ? et v(1) ?
8. Exprimez les composantes cart´esiennes (¨x, ¨y) de l’acc´el´eration instantan´ee ~a(t). Exprimez a(t).
9. Le mouvement est-il uniforme ? Est-il uniforme selon la direction Ox ?Oy ? Le mouvement est-il
uniform´ement acc´el´er´e ?
10. En d´eduire les composantes de ~ F, r´esultante des forces qui s’exercent sur le mobile `a tout instant.
11. En d´eduire la force inconnue ~ I.
12. Dans quel sens agit ~ I? Y-a-t-il un instant o`u ~ Is’annule ? Est-elle plutˆot motrice ou r´esistante ?
13. Calculez le travail Wde ~ Fentre les instants t= 0 et t= 1.
14. La force ~ Pest-elle conservative ? et ~ I?
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