Examen LCF Juin 2011 Corrigé

!
Université Joseph Fourier - Grenoble I
UE PHY 111 et PHY 112 - Licence L1
Examen de Juin 2011
Lois de Conservation et Fluides
Cette partie de l’épreuve est prévue pour 1 heure. Aucun document n'est autorisé. Une calculatrice est nécessaire.
Ce problème ne comporte pas de calcul compliqué et les 2 parties sont indépendantes.
Une partie de la note portera sur les explications accompagnant les calculs.
A. Pont-canal (! 10 points) Corrigé
On s’intéresse au passage d’un bateau sur un pont-canal comme représenté sur les schémas suivants.
La masse volumique de l’eau est !eau = 103 kg m-3
r
L’accélération de la pesanteur est | g | ! 10 m s-2
!
Figure 1.
!
1. Exprimer le poids « à vide » P v de l’eau se trouvant sur le pont-canal en fonction des dimensions h
(hauteur), l (largeur) et L (longueur) du canal qui passe sur le pont (Figure 2),
r
r
r
On a P v = M g = Veau !eau g = Lhl !eau g
1 pt
!
2. On considère un bateau
immobile (à l’équilibre) situé en amont du pont (Figure 1). Représenter sur
un schéma le poids P du bateau et la résultante des forces de pression exercées par l’eau sur la coque
du bateau A (on! négligera les
! forces de pression dues à l’air). On peut montrer que A est la poussée
!
d’Archimède s’appliquant à la partie immergée du bateau. Expliquer votre schéma.
!
!
!
0,5 pt
A et P sont les seules forces extérieures qui s’exercent sur le bateau, et on a : A + P = 0 puisque le
!
bateau est à l’équilibre.
0,5 pt
3. Exprimer la poussée d’Archimède A en fonction de la masse volumique de l’eau : !eau, du volume V
r
de la partie immergée du bateau, et de l’accélération de la pesanteur g . ! ! !
r
r
On a : A = -!eauV g = !eauV | g | k .
1 pt
!
!
!
!
! !
4. Comment varie le niveau de l'eau lorsque le bateau s’engage sur le pont-canal (Figure 3) ?
Argumentez votre réponse.
Le canal constitue un plan d’eau continu, en amont du pont, sur le pont et en aval du pont. Le volume
immergé du bateau (V) ne change pas, que le bateau se trouve à un endroit ou à un autre du canal. Par
suite, le niveau de l’eau ne varie pas lorsque le bateau passe le pont.
1 pt
5. En déduire le poids « en charge » | P c|, supporté par le pont-canal lorsque le bateau passe sur le pont.
Expliquer.
Comme le niveau d’eau h est constant, et que le poids du bateau est exactement égal au poids de l’eau
déplacée par le volume V (questions
2 et 3), le poids total supporté par le pont-canal est inchangé :
!
| P c| = | P v|.
1 pt
6. Application Numérique : on donne L = 20 m ; l = 3 m ; h = 1,5 m. Calculer le poids « à vide » | P v|.
Puis calculer le poids « en charge » | P c| lorsqu’une péniche de 45 tonnes passe sur le pont.
!
! On a : | P v| = 20 m x 3 m x 1,5 m x 1000 kg.m-3 x 10 m.s-2 = 9.105 N.
0,5 pt
5
!
On a toujours | P c| = | P v| = 9.10 N.
0,5 pt
!
7. Quel est le volume d’eau V déplacé par le bateau sur le pont-canal ?
! La masse d’eau déplacée correspond à la masse de la péniche : MPéniche = 45 tonnes = 45 000 kg.
! |MPéniche| d’où V = |MPéniche| / !eau = 45.103 kg / (1000 kg m-3) = 45 000 m3.
Soit :!!eauV =
1 pt
8. Pour pouvoir transporter des charges plus lourdes, les dimensions d’une péniche peuvent être
adaptées à celles du canal. On considère une grosse péniche dont la coque a des dimensions voisines de
celles du canal (L ! 20 m ; l ! 3 m ; h ! 1,5 m). Indiquer le poids maximum que cette péniche pourrait
avoir pour pouvoir passer sur le pont.
Au maximum, une péniche ‘déplaçant tout le volume d’eau du pont’ pourrait avoir un poids maximal
de | P c| = 9.105 N.
1 pt
9. La péniche est propulsée par un moteur diesel de puissance P = 45 kW et dont le rendement est
r = 50 %. Sa vitesse est constante : v = 10 km/h. Expliquer pourquoi il faut exercer une force pour faire
!
avancer la péniche à vitesse constante.
La force exercée par le moteur permet de compenser les forces de frottements de l’eau.
0,5 pt
10. Calculer la force de propulsion exercée par le moteur.
On a Putile = r x P et Putile = Fpropulsion x v
1 pt
3
Soit : Fpropulsion = rP / v = 0,5 x 45.10 W / (10000 m/3600 s) = 8100 N.
0,5 pt
B. Conduite forcée (! 10 points) Corrigé
On s’intéresse à une conduite forcée cylindrique de rayon R, qui relie l’eau d’un barrage à une turbine
hydroélectrique. La surface SL du lac (à la pression atmosphérique) est supposée très grande devant la
section S = "R2 de la conduite. On considère que l’eau est un fluide parfait de masse volumique !.
Lorsque la vanne est ouverte, la vitesse moyenne de l’eau dans la conduite est constante et elle est
notée v.
1. La vanne en bas de la conduite étant fermée (débit nul), exprimer les pressions aux points A, B et C
qui sont respectivement aux altitudes zA, zB et zC (cf. Figure 5). L’origine de l’axe Oz (orienté vers le
haut) est prise à la hauteur des points C et E (zC = zE = 0).
On a : PA = Patm.
0,25 pt
PB = PA + !g (zA - zB).
0,25 pt
PC = PA + !g (zA - zC) = PA + !g zA.
0,5 pt
2. On ouvre maintenant la vanne. Exprimer le débit volumique Dv et le débit massique Dm de l’eau dans
la conduite, en fonction de v, R et !. À quelle condition le débit volumique Dv est-il constant ?
v étant la vitesse moyenne de l’eau dans la conduite, on peut écrire : Dv = v S = v "R2 (en m3/s) et on
a : Dm = ! Dv = ! v "R2 (en kg/s).
1 pt
Pour que le débit volumique Dv soit constant, il faut que le fluide soit incompressible : ! = cte. 0,5 pt
3. Écrire, sans la simplifier, la relation de Bernoulli entre le point A (à la surface du lac) et le point E (à
la sortie de la conduite forcée, à l’air libre).
# !vA2 + !gzA + PA = # !vE2 + !gzE + PE.
0,5 pt
4. Simplifier cette expression :
- en exprimant les pressions PA et PE
- en comparant les vitesses vA et v = vE
- en remarquant que zE = 0
- On a : PA = PE = Patm.
0,5 pt
- D’autre part, la conservation du débit entre la surface du lac et le bas de la conduite permet
d’écrire :
vA SL = v S d’où vA = v S/SL avec S << SL. On peut donc négliger vA devant v.
1 pt
Il reste : !gzA = # !v2 soit : gzA = # v2
0,5 pt
5. En déduire une expression littérale de la vitesse v en fonction de zA et de g.
On a : v = 2gz A
1 pt
6. Calculer v pour une altitude zA = 200 m.
On a : v = (2 x 10 m.s-2 x 200 m)# = 63,2 m/s.
1 pt
7.!Donner une expression littérale de l’énergie cinétique EC d’un volume V d’eau qui sort de la
conduite au point E.
EC = # mv2 = # !Vv2.
0,5 pt
3
8. Calculer EC pour un volume V = 1 m .
EC = # x 1000 kg.m-3 x 1 m3 x (63,2 m.s-1)2 = 2.106 J.
0,5 pt
9. On place une turbine de rendement r en bas de la conduite. Donner l’expression littérale de la
puissance électrique P que pourrait fournir cette turbine en fonction de r, !, R et v.
La puissance disponible est égale au rendement, fois l’énergie divisée par le temps :
P = r EC / t = # r !Vv2 / t = # r ! Dvv2 = # r ! "R2 v3.
1 pt
10. Calculer P pour r = 75% et R = 25 cm (on a calculé v à la question 6).
P = # r ! "R2 v3 = # x 0,75 x 1000 kg m-3 x " x (0,25 m)2 x (63,2 m s-1)3 ! 18,6 MW.
1 pt
______________________________