dynamique du point en référentiel galiléen

dynamique du point en référentiel galiléen
Table des matières
1 lois de Newton 2
1.1 première loi de Newton : principe de l’inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 définitions..................................... 2
1.1.2 principed’inertie................................. 2
1.1.3 référentielgaliléen ................................ 2
1.2 deuxième loi de Newton : relation fondamentale de la dynamique . . . . . . . . . . 3
1.2.1 notiondeforce .................................. 3
1.2.2 énoncé....................................... 4
1.3 troisième loi de Newton : principe des actions réciproques . . . . . . . . . . . . . . 4
2 équation du mouvement 4
2.1 forces macroscopiques usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 forcesdecontact................................. 5
2.1.2 forcesàdistance ................................. 6
2.2 mouvement dans le champ de pesanteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2.1 sansfrottement.................................. 6
2.2.2 avec frottement dans un fluide très visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.3 avec frottement en v2.............................. 8
2.3 mouvement d’une masse accrochée à un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 étude énergétique d’un point matériel 9
3.1 puissance et travail d’une force dans un référentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.1.1 travaild’uneforce ................................ 9
3.1.2 puissanced’uneforce............................... 9
3.2 énergiecinétique ..................................... 10
3.2.1 définition ..................................... 10
3.2.2 théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.2.3 théorème de la puissance cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3 énergiepotentielle .................................... 10
3.3.1 exempledupoids................................. 10
3.3.2 exemple de la tension d’un ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.3.3 force conservative et énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.4 énergiemécanique .................................... 11
3.4.1 Définition..................................... 11
3.4.2 conservation de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.4.3 non conservation de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1

La dynamique est la branche de la mécanique qui relie le mouvement à ses causes. Elle a été déve-
loppée à partir des postulats de Galilée et de Newton. Sa mise en oeuvre nécessite la connaissance
des vecteurs de base en cinématique mais aussi de la notion de masse et de force.
1 lois de Newton
1.1 première loi de Newton : principe de l’inertie
1.1.1 définitions
Dans un référentiel R, on attribue à tout point matériel M de masse m, et de vitesse vM,Run
vecteur quantité de mouvement (ou impulsion), défini par :
pM,R=mvM,R
Dans cette équation, m est la masse inertielle du point matériel, exprimée en kg. La masse inertielle
est une mesure de la résistance qu’oppose le point matériel à la modification de son mouvement.
On peut la mesurer avec une balance, par comparaison avec un étalon.
La masse est une grandeur additive, constante, qui ne dépend pas du référentiel choisi
ni du temps.
La notion de masse n’est pas encore définie clairement. La relativité générale postule que la masse
inertielle et la masse gravitationnelle sont égales.
La quantité de mouvement est exprimée en kg.m.s−1.
1.1.2 principe d’inertie
Un système est isolé s’il n’est soumis à aucune action mécanique de la part de l’extérieur. C’est
évidemment un modèle irréalisable.
Un système est dit pseudo-isolé lorsque les actions exercées sur lui par le milieu extérieur se
compensent.
Il existe des référentiels particuliers, appelés référentiels galiléens, par rapport aux-
quels un point matériel isolé ou pseudo-isolé est en mouvement rectiligne uniforme.
Le principe d’inertie postule l’existence de référentiels galiléens. la définition de ces référentiels
en découle.
1.1.3 référentiel galiléen
Pour qu’un référentiel soit galiléen, il faut qu’à la précision avec laquelle sont menées les
expériences, tout système pseudo-isolé ait un mouvement rectiligne uniforme dans ce référentiel.
a. référentiel de Copernic RC:
A l’échelle des expériences humaines, le référentiel de Copernic est considéré comme la meilleure
approximation de référentiel galiléen.
définition : G, barycentre du système solaire, est l’origine du repère associé au référentiel de Co-
pernic, les trois axes pointant vers des étoiles « fixes » (très éloignées du système solaire).
Remarque 1 : La masse du système solaire étant presque concentrée dans le Soleil lui-même, G est
quasiment confondu avec S, barycentre du Soleil.
Remarque 2 : Lorsque le barycentre du Soleil est l’origine du répère utilisant les même directions
que le référentiel de Copernic, on définit le référentiel « héliocentrique ». Très souvent, à notre
échelle, on confond ces deux référentiels.
Remarque 3 : Il existe une infinité de référentiels galiléens, tous animés par rapport au référentiel
de Copernic d’un mouvement de translation rectiligne uniforme.
2

Ce référentiel est considéré comme galiléen si la durée de l’expérience est courte par rapport à
la période de révolution du système solaire autour du centre de masse de la galaxie (210 millions
d’années ! ! !).
b. référentiel géocentrique RO:
définition : Un repère spatial lié au référentiel géocentrique ROa son origine au centre d’inertie O
de la Terre et ses axes (Ox), (Oy) et (Oz) sont parallèles à ceux du référentiel de Copernic.
Remarque : Sur une année (365,25 jours), ROa un mouvement de translation quasi circulaire
(elliptique) par rapport à RC. Ce n’est pas un référentiel galiléen ! Mais, sur une durée de quelques
jours, le mouvement de ROpar rapport RCest pratiquement rectiligne uniforme.
Sauf indications contraires, on considèrera le référentiel géocentrique comme galiléen pour des
expériences dont la durée est courte par rapport à 365 jpurs.
c. référentiel terrestre RT:
La grande majorité des expériences humaines se font sur Terre sur des durées très inférieures à 1
jour. On définit donc le référentiel terrestre comme tout référentiel lié au sol terrestre. On parle
également de « référentiel du laboratoire ».
Remarque : Comme la Terre tourne autour de l’axe des pôles (rotation de la Terre autour de
son axe) , son centre ayant un mouvement de translation elliptique dans RC(révolution de la
Terre autour du Soleil), le référentiel terrestre n’est pas galiléen mais , pour des expériences :
- de durée de l’ordre de quelques minutes
- « proches » de la Terre et effectuées sur de « faibles »distances,
- ou bien pour des expériences ne demandant pas une très grande précision, le référentiel terrestre
peut être considéré comme galiléen.
1.2 deuxième loi de Newton : relation fondamentale de la dynamique
1.2.1 notion de force
Lorsqu’un système n’est pas isolé, il est soumis à des forces. Une force au sens de la mécanique
est ce qui modifie le mouvement. Elle est représentée dans le référentiel d’étude par un vecteur lié,
c’est-à-dire un vecteur associé à un point d’application.
Toutes les forces peuvent actuellement être séparées en quatre catégories suivant le type d’interac-
tion fondamentale qui les sous-tend au niveau microscopique :
1. l’interaction forte : elle est responsable de la cohésion des noyaux. Elle s’exerce entre hadrons.
Elle est très intense (100 à 1000 fois plus que l’interaction électromagnétique) mais de très
courte portée (10−15m)
2. l’interaction faible : elle intervient dans de nombreux processus de désintégration (elle modifie
donc aussi la matière !). Son intensité (100000 fois) et sa portée (100 fois) sont inférieures à
celles de l’interaction forte.
3. l’interaction électromagnétique : elle est responsable de la majorité des phénomènes à l’échelle
humaine. Elle est décrite par les équations de Maxwell. Elle s’exerce entre deux corps chargés
électriquement, peut être attractive ou répulsive, et de portée infinie.
3

4. l’interaction gravitationnelle : elle concerne tous les corps qui ont une masse (gravitation-
nelle) et est responsable du mouvement des corps célestes. Elle est attractive, de portée infinie
mais d’intensité beaucoup plus faible (1040 fois) que l’interaction électromagnétique.
La mécanique classique postule que les forces dérivant de ces quatre interactions fondamentales ne
dépendent pas du référentiel d’étude.
1.2.2 énoncé
Dans un référentiel galiléen, l’accélération d’un point matériel M de masse m vérifie
ma/Rg=XFext/M
Cette relation peut aussi s’écrire sous la forme
théorème de la quantité de mouvement : XFext/M= (dp/Rg
dt )Rg
Remarque 1 : la première loi de Newton est incluse dans cette deuxième loi.
Remarque 2 :[F] = M.L.T −2donc 1N= 1kg.m.s−2
Remarque 3 : si 2 grandeurs sur les trois de la relation sont connues, on peut alors retrouver la
troisième. par exemple, en spectroscopie de masse, on connaît les forces extérieures et la vitesse
des particules, ce qui permet d’accéder à leurs masses.
1.3 troisième loi de Newton : principe des actions réciproques
énoncé : Les forces d’interaction réciproques qui s’exercent entre deux points matériels M1et
M2sont opposées et ont pour support la droite passant par ces points :
F1→2=−F2→1et F1→2∧M1M2=~ 0
Remarque 1 : ce principe n’est pas vrai dans le cadre de la mécanique relativiste. Il est indis-
pensable en mécanique classique pour étudier des systèmes de plusieurs points matériels.
Remarque 2 : il n’est vérifié que pour des points matériels.
Remarque 3 : il suppose que les interactions se propagent instantanément.
2 équation du mouvement
Pour un problème à un degré de liberté x, la 2eloi de Newton donne
md2x
dt2=Fx, dx dt , t
équation différentielle du 2eordre équivalente à
dx
dt =v
mdv
dt =F(x, v, t)
système de deux équations différentielles d’ordre un.
Ce système admet une solution unique si x(0) et v(0) sont données.
Les systèmes mécaniques ont une évolution unique pour des conditions initiales déterminées (prin-
cipe du déterminisme mécanique). Si on sait modéliser les forces exercées sur un système, on peut,
en résolvant l’équation donnée par la relation fondamentale de la dynamique, prévoir l’évolution
d’un système à partir de conditions initiales données.
4

2.1 forces macroscopiques usuelles
2.1.1 forces de contact
Lorsqu’un point matériel est en contact avec un solide ou un fluide, il existe des actions de contact,
qui sont la conséquence macroscopique des interactions microscopiques électromagnétiques entre
les particules/atomes/molécules qui constituent le point matériel et le solide ou le fluide avec lequel
il y a contact à notre échelle. Ces forces de contact suivent des lois phénoménologiques, c’est-à-dire
déduites de l’expérience et seulement valables dans un certain contexte expérimental : on ne peut
pas, actuellement, calculer les actions de contact à partir des interactions microscopiques dont elles
découlent.
Ces actions de contact comprennent les forces de liaisons et les forces de frottement, directement
appliquées au point matériel.
1. forces de contact sur un solide :
Si on impose au point matériel M de se déplacer en restant au contact d’un solide, ceci a pour effet
de diminuer le nombre de degrés de liberté de ce point matériel (2 pour une surface et 1 seul pour
une courbe). Exemples : bille guidé par un rail, skieur plissant sur une piste, anneau coulissant sur
une tige.
Pour imposer cette restriction au point M, le support exerce une force répulsive, de nature électro-
magnétique, appelée réaction du support ~ R.
−→
R=−→ RT+−→ RN
−→
RNest la réaction normale du support.
−→
RTest la réaction tangentielle ou force de frottement solide.
Remarque 1 : Si −→ RT=~ 0, la réaction est dite sans frottement.
Remarque 2 : la liaison est dite unilatérale si le support repousse M , mais ne peut l’attirer.
Si on fait intervenir la normale unitaire au support en M dirigé du support vers l’extérieur :
−→
R . −→ next =RN≥0.
Remarque 3 : M perd le contact avec S dès que −→ RN=−→ 0.
Tant que le solide modélisé par le point matériel M ne glisse pas par rapport au support :
−→
RT≤f−→ RNoù f est le cœfficient de frottement statique pour le contact solide/support étudié
(donc qui dépend des deux matériaux).
Lorsque le solide M glisse par rapport au support : −→ RT=f−→ RN
2. forces de contact dans un fluide :
On peut considérer deux types d’actions que peut exercer un fluide sur un corps solide :
- l’action des forces de pression (poussée d’Archimède) Elle s’applique au centre d’inertie du fluide
déplacé, est dirigée selon la verticale ascendante, et est égale en norme au poids du (des) fluide(s)
déplacé(s) :
−→
ΠA=−mfluide deplace −→ g
Si la masse volumique du corps est grande devant celle du fluide, la poussée d’Archimède est né-
gligeable devant le poids du corps. Sauf indication contraire, on la négligera.
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