Lois de Probabilité Usuelles On rappelle que C( n k !n k" , !a" ( / x

Lois de Probabilité Usuelles
On rappelle que
Ck
n=n!
k! (nk)!;
 () = R+1
0x1exdx;
(a; b) = R1
0xa1(1 x)b1dx:
Le support est l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable aléatoire ayant une loi donnée.
1/ Lois discrètes
Rappel : l’espérance est obtenue par la formule : EX=Pk2support kP(X=k):
Nom et Symbole Paramètre(s) Support Loi Espérance Variance
Bernoulli B(1; p)p2]0;1[ f0;1gP(X= 0) = 1 p
P(X= 1) = pp p (1 p)
Binomiale B(n; p)n2N
p2]0;1[ ;f0; :::; ngP(X=k) = Ck
npk(1 p)nknp np (1 p)
Poisson P()2R+N P (X=k) = ek
k! 
Géométrique G(p)p2]0;1[ NP(X=k) = (1 p)pk11
p
1p
p2
Binomiale négative BN(n; p)n2N
p2]0;1[ fn; n + 1; :::gP(X=k) = Cn1
k1pn(1 p)knn
pn1p p2
Hypergéométrique H(N; m; n)N2N
(m; n)2 f1; :::; Ng2f0; :::; min (m; n)gP(X=k) = Ck
mCnk
Nm
Cn
N
nm
Nnm(Nn) (Nm) N2(N1)
Multinomiale M(n; p1; :::; pm)n2N
0< pi<1;Ppi= 1 f0; :::; ngm
P(Xi=ki;1im)
=n!
k1!:::km!pk1
1:::pkm
m
si Pki=n
(npi)1ik
var(Xi) = npi(1 pi)
cov (Xi; Xj) = npipj
N.B : La loi multinomiale est une loi vectorielle (associée à la variable (x1; :::; xk)).
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2/ Lois continues
Nom et Symbole Paramètre(s) Support Densité Espérance Variance
Uniforme U[a; b]a < b 2R[a; b]f(x) = 1
ba(a+b)=2(ba)2 12
Normale Nm; 2m2R
22R+Rf(x) = 1
p2exp (xm)2
22!m 2
Exponentielle E()2R+R+f(x) = exp (x)1
1
2
Gamma (; ) (; )2(R+)2R+f(x) = 
 ()x1exp (x)
2
Cauchy Ca2R R f(x) = a
(a2+x2)1 1
Pareto Pa() > 0 [1;+1[f(x) = =x1+
1;  > 1
(1)2(2);  > 2
Weibull W(; ) (; )2(R+)2R+f(x) = 
x1e
 x
!
1 + 1
21 + 2 21 + 1
Béta de 1ère espèce 1(a; b) (a; b)2(R+)2[0;1] f(x) = xa1(1 x)b1
(a; b)a= (a+b)ab
(a+b)2(a++ 1)
Béta de 2ème espèce 2(a; b) (a; b)2(R+)2R+f(x) = xa1
(a; b) (1 + x)a+ba=(b1); b > 1a(a+b1)
(b1)2(b2); b > 2
Lois dérivées de la loi normale
Nom et Symbole Paramètre(s) Support Densité Espérance Variance
Chi-deux 2(n)n2NR+n
2;1 2(Cf au dessus) n2n
Student T(n)n2NRf(x) =
n+ 1
2
pn1
21 + x2
n(n+1)=2
0n
n2
Fischer F(n; m) (n; m)2N2R+f(x) =
n+m
2nm=2mn=2
m
2n 21 + x2
n(n+1)=2m m2; m > 22m2
n
n+m2
(m2)2(m4);
m > 4
Log-Normale LN m; 2m2R; 22R+R+f(x) = 1
xp22exp "(ln xm)2
22#em+2=2e2m+2e21
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