Mention Physique - L2 - Année 2012-2013 Licence de Sciences et Technologies LP 207: Mathématiques pour physiciens 2 TD N◦1 : Indépendance linéaire. Bases. Matrices I. Espaces vectoriels. Indépendance linéaire. Bases, dimension A) a) On considère les suites de p nombres réels X = (x1 , x2 , · · · , xp ). On définit la somme et la multiplication par un nombre réel par (x1 , x2 , · · · , xp ) + (y1 , y2 , · · · , yp ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xp + yp ) λ(x1 , x2 , · · · , xp ) = (λx1 , λx2 , · · · , λxp ) . (1) (2) Montrer que ces suites forment un espace vectoriel. Quelle est sa dimension ? Donnez-en une base. On l’appelle Rp , pourquoi ? b) Soit α et β deux nombres réels fixés. On considère les suites (u1 , u2 , ..., un , ...) définies par la relation de récurrence un = αun−1 + βun−2 et par la donnée de u1 et u2 . Montrer qu’elles forment un espace vectoriel E. Montrer que un est une fonction linéaire de u1 et u2 . Quelle est la dimension de E ? Donner une base de l’espace E. B) a) Rappeler quelle est la relation entre l’intensité ou la charge et la tension aux bornes des 3 éléments de circuit de la figure 1.a. b) Écrire l’équation différentielle satisfaite par la charge du condensateur dans le circuit des figures 1.b, c et d. c) Les solutions de chaque cas forment-elles un espace vectoriel ? De quelle dimension ? Qu’estce qui fixe la solution physique ? 1 Q !Q C I 2 1 2 R I 1 2 L (a) L I L R V L C C C (b) (c) (d) Q Figure 1: Circuits électriques C) Les vecteurs suivants de R2 ou de R3 sont-ils linéairement indépendants ? 1 R ~b = (0, 1) ~a = (1, 0) ~c = (1, 1) ~a = (1, 0, 0) ~b = (0, 1, 0) ~c = (0, 0, 1) ~a0 = (1, 1, 0) ~b0 = (0, 1, 1) ~c0 = (1, 0, 1) ~a00 = (1, 1, 0) ~b00 = (0, 1, 1) ~c00 = (1, 0, −1) D) Pour chacune des équations différentielles suivantes, donner la dimension de l’espace des solutions puis une base de solutions réelles (a) ẍ + 4ẋ + 3x = 0 (b) ẍ + 4x = 0 √ ẍ + 3ẋ + x = 0 (c) E) Quel est le rang du système de vecteurs suivant ? ~a = (1, 1, 0) ~b = (0, 1, 1) ~c = (1, 0, 1) ~a0 = (1, 1, 0) ~b0 = (0, 1, 1) ~c0 = (1, 1, 1) ~a00 = (1, 1, 0) ~b00 = (0, 1, 1) ~c00 = (1, 0, −1) P1 (x) = cos x P2 (x) = sin x P3 (x) = sin 2x Q1 (x) = cos2 x Q2 (x) = sin2 x Q3 (x) = cos 2x II. Matrices A) Quelle est la matrice du changement de base suivant (~e1 , ~e2 ) −→ (~e1 , ~e1 + ~e2 ) (~e1 , ~e2 ) −→ (~e2 , ~e1 ) Écrire comment se transforment les composantes d’un vecteur quand on passe d’une base dans l’autre. B) Calculer les produits de matrices suivants 3 2 −1 0 1 2 2 2 a b 0 1 c d 1 0 0 1 0 2 3 1 0 1 −1 2 0 1 0 3 4 0 1 a b 1 0 c d 0 1 a b 0 1 1 0 c d 1 0 0 1 0 2 3 2 1 0 1 0 1 0 2 C) En mécanique quantique, on rencontre les matrices de Pauli 0 1 0 −i 1 0 σ1 = σ2 = σ3 = . 1 0 i 0 0 −1 (3) (a) Montrer qu’elles sont de trace nulle. (b) Calculer les produits σi · σj pour toutes les paires (i, j). (c) Pour j = 1 par exemple, que valent σj2 , σj3 , · · · , σjn ? (d) Comment calculer eiασ1 ? 2 2 , σ+ σ− , σ− σ+ . , σ− (e) Écrire les matrices σ+ = 21 (σ1 + iσ2 ) et σ− = 12 (σ1 − iσ2 ). Calculer σ+ D) Calculer les combinaisons Ji Jj − Jj Ji pour les matrices 0 0 0 0 0 i J1 = 0 0 −i J2 = 0 0 0 0 i 0 −i 0 0 0 −i 0 J3 = i 0 0 0 0 0 et pour les matrices 0 1 0 1 J10 = √ 1 0 1 2 0 1 0 0 −i 0 1 J20 = √ i 0 −i 2 0 i 0 1 0 0 J30 = 0 0 0 0 0 −1 1 1 0 0 1 0 E) ? Soient les matrices A = 0 1 1 T = 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 3 n Calculer T , T et T pour n entier quelconque. En écrivant A = I + T , calculer An pour n entier quelconque. Calculer l’inverse de la matrice A. Calculer l’exponentielle eA par son développement en série. III. Transformations géométriques ; applications linéaires −→ ~ = − A) Dans l’espace R3 , les transformations suivantes sur le vecteur X OM sont-elles des transformations linéaires 1. rotation d’angle α autour d’un axe passant par le point O ? 2. homothétie de centre O et de facteur f ? −−→ −−→ 3. translation par un vecteur V~ , OM 0 = OM + V~ ? 4. réflexion par rapport à un plan passant par O ? B) Soit la rotation R(α) d’angle α dans le plan autour de l’origine. Écrire la transformation par cette rotation des vecteurs ~e1 , ~e2 d’un repère orthonormé. Écrire la matrice de rotation R(α). Par un raisonnement géométrique, donner l’expression de R(α)R(β) et de R−1 (α), puis vérifier par le calcul matriciel. Que vaut la transposée R(α)T ? 3 C) a) Dans l’espace R2 doté d’une base orthonormée ~e1 , ~e2 , quelle est la matrice de la réflexion par rapport à la droite passant par O et colinéaire à ~e1 ? Que devient cette matrice dans la base f~1 , f~2 obtenue à partir de la précédente par rotation de π/4 ? b) Dans l’espace R3 doté d’une base orthonormée ~e1 , ~e2 , ~e3 , quelle est la matrice de la réflexion par rapport au plan passant par O et engendré par les vecteurs ~e1 , ~e2 ? Même question pour la projection orthogonale sur ce plan. D) 1. Quel est le noyau, quelle est l’image des 3 applications linéaires du A) ? des 2 du C) ? 2. Dans l’espace des polynômes en x de degré inférieur ou égal à 3, on considère l’application D : P (x) 7→ Q(x) = P 0 (x). Est-ce un opérateur linéaire ? Quelle est sa matrice dans la base {1, x, x2 , x3 } ? Quel est le noyau, quelle est l’image de D ? E) Soit le vecteur ω ~ = (α, β, γ) dans l’espace R3 . On considère l’application linéaire qui à un vecteur quelconque ~r = (x, y, z) de R3 associe ~r0 = ω ~ ∧ ~r. L’application est-elle linéaire ? Pourquoi ? Quelle est la matrice de cette application ? Déterminer le noyau et l’image de l’application. IV. Application aux quadripôles électriques Matrices de transfert (ou transmission), d’impédance et d’admittance d’un quadrupôle (ou quadripôle) électrique V2 T11 T12 V1 V1 Z11 Z12 i1 = = i2 T21 T22 i1 V2 Z21 Z22 i2 i1 Y11 Y12 V1 = i2 Y21 Y22 V2 Quelle relation y-a-t-il entre les matrices d’impédance Z et d’admittance Y ? Exemple d’un transformateur, avec des bobinages de self-inductance L1 et L2 et d’inductance i1 i2 M i V2 V1 i1 V1 V’’ 1 L1 L2 i 2 i2 i i1 V’1 1 ’ ’’ i 2 1 i’1 V’2 V2 V’’ 2 V1 i’2 i2 i1 ’ i’’2 i’’1 V2 V 1 i2 ’ V2 i3 ’’ V 3 ’’ Figure 2: Circuit quadripolaire. Transformateur. Quadripôles en série, en parallèle, en cascade mutuelle M , supposés de résistances négligeables. Écrire l’expression de V1 et V2 en fonction de i1 et i2 , puis la matrice d’impédance pour des courants et intensités de fréquence ω. Lois de composition pour des quadripôles en série, en parallèle, en cascade (figure 2). Quelle est la matrice Z, T ou Y qui se prête le mieux au calcul de cette composition, dans chaque cas ? 4