Devoir maison de trigonométrie : Corrigé Troisième 2007/2008 Exercice 1 : 1) 2) Le triangle ABC est équilatéral : il a trois côtés égaux et trois angles égaux. Propriété : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180° 180° Donc : ABC = = 60 ° 3 3) Dans le triangle ABH, rectangle en H, BH cos ABH = AB Nous savons que AB = 6 cm Le triangle ABC étant équilatéral, (AH) est aussi médiatrice du segment [BC]. BC 6 D'où : H est le milieu de [BC]. Alors, BH = = =3 2 2 3 1 Par conséquent : cos = = cos 60° ABH = 6 2 4) a) BAH est un triangle rectangle en H. Propriété : Dans un triangle rectangle, les angles aigus sont complémentaires (=leur somme est égale à 90° ) D'où : BAH = 90° - 60° = 30° b) Dans le triangle ABH, rectangle en H, BH sin BAH = AB On constate que sin BAH = cos ABH autrement dit : cos 60° = sin 30° 5) a) Dans le triangle ACH, rectangle en H, on applique le théorème de Pythagore, AC2 = AH2 + HC2 C'est-à-dire : 62 = AH2 + 32 D'où : AH2 = 36 – 9 = 27 D'où : AH = 27 = 3x 9 = 33 b) 6 = 3. 2 63 d'où: AH = 2 AH 6) Dans le triangle AHC, rectangle en H, sin ACH = AC 6 3 2 D'où : sin 60° = 3 = 6 2 7) En raisonnant comme dans le 4)b) , on montre que cos 30° = sin 60° 3 D'où : cos 30° = 2 sin30 ° tan 30° = = cos 30° 1 2 3 = 2 sin60 = cos 60° ° tan 60° = 3 2 1 2 = 1 2 x = 2 3 3 2 x 2 = 1 1 3 = 3 3 3 Exercice 2 : 1) Dans le triangle EFG, rectangle en F, on applique le théorème de Pythagore : EG2 = EF2 + FG2 EG2 = 52 + 52 = 25 + 25 = 50 D'où : EG = 50 = 2 x 25 = 5 2 90 2) FEG est un triangle rectangle isocèle en F, d'où : = 45° FEG = EGF = 2 5 1 EF 2 3) Dans le triangle EFG, rectangle en F, cos = = = FEG = EG 52 2 2 D'où : cos 45° = 2 2 5 FG 2 Dans le même triangle, sin = = FEG = EG 52 2 Donc sin 45° = cos 45° = 2 2 4) Comme sin 45° = cos 45°, alors tan 45° = 1 D'où le tableau suivant : Angle(en degrés) 30 45 60 sin 1 2 2 3 2 2 3 2 cos tan 2 2 1 2 3 1 3 3