Master Informatique Master Informatique Épistémologie de l’Informatique TRAVAIL d’ÉTUDE & de RECHERCHE Par Maher SLAIMAN Sujet proposé par Richard G. Terrat Le 5ème postulat d’Euclide Novembre 2007 1 Master Informatique LE 5EME POSTULAT D’EUCLIDE proposé par Richard G. Terrat Maher SLAIMAN La deuxième partie concerne la composition de son œuvre « les éléments » et les différents thèmes mathématiques qu’il aborde. RESUME Euclide est un des mathématiciens les plus célèbres de l'Antiquité, connu pour son traité de géométrie "Les Eléments". Cet œuvre regroupe des propositions à prouver, des problèmes à résoudre, des définitions d'objets mathématiques, des axiomes et des postulats, en particulier le fameux cinquième postulat des parallèles, qui affirme que par un point existe une unique parallèle à une droite donnée. Ce postulat est resté longtemps fondateur de la géométrie, Puis les mathématiciens, après Euclide ont essayé de le « démontrer » essayant de le déduire des autres postulats. Ces nombreuses tentatives de démonstration ont marqué trois grandes périodes de l’histoire: l’antiquité, les propositions des arabes ou orientaux ainsi que les essais occidentaux. Les mathématiciens se sont donnés du mal pour résoudre ce 5ème Postulat, mais tous leurs efforts se sont soldés par un échec, ce qui a donné naissance à la géométrie noneuclidienne, et ce ne fut qu'au 19ème siècle par des mathématiciens qui ont découvert tour à tour que la chose est logiquement possible dans un espace courbe. Ils ont ainsi crée les géométries hyperboliques et elliptiques. Dans la 3ème partie, je présente les différents outils de la géométrie d’Euclide, ainsi que les axiomes et postulats dont le 5ème qui a resté un sujet de nombreux débats et controverses. La 4ème partie illustre les nombreuses tentatives de démonstration au cours des différentes périodes de l’histoire. Finalement, et après l'échec des résolutions de ce 5ème postulat, je présente ce 5ème postulat du point de vue des mathématiciens des géométries non euclidiennes. 2. EUCLIDE GREC -330/-275 A l’aube du troisième siècle avant Jésus-Christ, les mathématiques grecques sont à leur apogée. C’est à cette époque que vit Euclide, un des mathématiciens les plus célèbres de l’Antiquité. On ne sait rien de précis sur sa vie ni sur la période précise où il vécut. Tout juste penset-on qu'il étudia à l'école des successeurs de Platon à Athènes, avant de s'établir à Alexandrie, sous l'invitation de Ptolémée II, roi d'Égypte. Il était l'un des premiers mathématiciens de l'école d'Alexandrie. Ce que l'on connait bien d'Euclide, ce sont les ouvrages qui nous sont parvenus signés de son nom, surtout les 13 volumes des Éléments qui sont considérés comme l'un des textes fondateurs des mathématiques modernes. Cet œuvre rassemble toute la connaissance mathématique de l'époque mais a aussi jeté les bases de la pratique scientifique de la pensée en regroupant des propositions à prouver, des problèmes à résoudre, et les définitions d'objets mathématiques, comme la ligne et le point. L'échec des résolutions d'un de ses postulats a donné naissance à la géométrie non-euclidienne. 1. INTRODUCTION Euclide est un des plus grands mathématiciens de l’Antiquité et pourtant on ne connaît pas grand chose de sa vie. L’œuvre phénoménale, « Les éléments », que nous laisse Euclide, servira de base à toute la géométrie pendant plus de 2000 ans. Une vraie encyclopédie, composée de 13 livres, qui aborde des thèmes mathématiques assez variés, regroupant toutes les connaissances mathématiques de l’époque. Les livres 1 à 6, géométrie plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports, le livre 10, la théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe, et enfin les livres 11 à 13 de géométrie dans l'espace. Dans cinq postulats énoncés dans le livre I, Je m’intéresse particulièrement au dernier, dont on déduit le postulat des parallèles: « en un point extérieur à une droite, ne passe qu'une unique droite qui lui est parallèle », puisque ce postulat a toujours semblé moin évident que les autres. Son influence sur le monde scientifique a été considérable, on a ainsi pu retrouver le style et la structure des treize livres dans 'Principia' d’Isaac Newton. Euclide aurait aussi participé, comme beaucoup de mathématiciens de son époque, à la vie politique. Il travailla au Musée d'Alexandrie et y mena de nombreux travaux de recherche. Il mourut vers 265 avant J.C. La première partie de mon exposé commence par un peu d’histoire sur la vie d’Euclide et son œuvre "Les Eléments". 2 Le segment : Le segment est une portion de droite comprise entre deux points. On peut le représenter par un trait droit délimité par deux petits traits aux extrémités. La demi-droite : La demi-droite est la portion d’une droite qui se trouve d’un coté d’un point de celle-ci. Le cercle : Le cercle est l’ensemble des points qui se situe à une même distance d’un point particulier appelé centre. On peut le représenter par un rond avec une croix en son milieu. 3. LES ELEMENTS "Les Eléments" est une compilation du savoir géométrique et reste le noyau de l’enseignement mathématique pendant près de 2000 ans. Il y classe les propositions (propriétés) dans un ordre logique, rassemble de manière rationnelle en allant des plus simples aux plus compliquées les découvertes de ses prédécesseurs et ses propres découvertes. Il est divisé en treize livres. Les livres 1 à 6, géométrie plane, les livres 7 à 9, théorie des rapports, le livre 10, la théorie de nombres irrationnels d'Eudoxe, et enfin les livres 11 à 13 de géométrie dans l'espace. Le livre se termine par l'étude des propriétés des cinq polyèdres réguliers et une démonstration de leur existence. "Les Eléments" est remarquable par la clarté avec laquelle les théorèmes sont énoncés et démontrés en posant des vérités admises sans démonstrations et sur lesquelles se fondent les théories mathématiques : ce sont les axiomes1. La géométrie euclidienne commence avec "Les Eléments" d'Euclide, qui est à la fois une somme des connaissances géométriques de l'époque et une tentative de formalisation mathématique de ces connaissances. Figure 1. Quelques Objets de la Géométrie Euclidienne. Ensuite Euclide a donné la définition suivante des parallèles: (la 35ème définition dans le livre Les Eléments) « Les parallèles sont des droites qui, étant situées dans un même plan, et étant prolongées à l'infini de part et d'autre, ne se rencontrent ni d'un côté ni de l'autre. » L'objet de la "géométrie euclidienne" (appelée plus communément "géométrie plane") est, en principe, l'étude des formes et des propriétés des corps naturels. Sa méthode consistant d'axiomes, de postulats et de définitions, pour déduire un maximum de propriétés des objets considérés, le tout dans un ensemble organisé, était nouvelle pour l'époque. Les objets considérés sont les points, les segments, les droites, les demi-droites, et leurs propriétés d'incidence (la règle), ainsi que les cercles (le compas). Les enjeux essentiels sont l'étude de figures et la mesure. Cette définition met en lumière les points suivants : 1 – Les parallèles sont des droites. 2 – Les parallèles sont dans le même plan. 3 – Les parallèles ne se rencontrent jamais. 4.1. Les Postulats d’Euclide Tout d’abord, un postulat est une proposition mathématique admise sans démonstration, mais susceptible d’être éventuellement démontrée à partir d’axiomes, principes premiers non démontrés mais considérés comme évidents, vrais, universels et communs à tous les domaines mathématiques, et plus généralement à toutes les disciplines de la pensée. 4. LES OUTILS DE LA GEOMETRIE D'EUCLIDE Le premier livre des éléments d’Euclide commence par 35 définitions, postulats de base de la géométrie "euclidienne", et les propositions relatives à la notion de parallélisme. Euclide définit d’abord point, courbe et surface, à partir des notions de mesure de longueur d’aire et de volume, puis le plan et la droite, les angles et les figures … Le raisonnement, fondé sur une déduction logique subséquente aux postulats et aux axiomes, permet de démontrer, par la suite, des énoncés mathématiques sous formes de théorèmes, en cohérence avec l’ensemble de la théorie développée. Le point : Le point est infiniment petit. Il n’a ni épaisseur ni longueur. On le représente généralement par une croix faite au crayon. La droite : La droite est un trait infini sans épaisseur c’est le plus court trajet entre deux points. On peut représenter une droite par un trait de crayon droit. Après avoir défini les notions de point, segment, droite, angle, cercle, droites parallèles, Euclide proposa ses cinq postulats sous forme de « demandes » : 1 Axiome : du grec axioma = j'estime, je crois vrai : conduisant au sens d'irréfutable, d'évident. Un axiome est un postulat. Mais il est de nature plus évidente. 3 Forme originale dans le livre I des Eléments Forme actuelle des postulats (traduite du grec ancien) 1. Conduire une droite Etant donnés deux points A et d’un point quelconque à B, il existe une droite et une seule passant par A et B. un point quelconque. Figure 3. Postulats de parallèles. Tout segment [AB] est 2. Prolonger indéfiniment, prolongeable en une droite selon sa direction, une passant par A et B. droite finie. Pendant des siècles, ce postulat, a fait l’objet de multiples tentatives de démonstration. L’insuccès de ces tentatives a abouti au XIXe siècle, à la remise en cause de l’universalité de ce postulat et à l’élaboration de la géométrie non euclidienne. 3. D’un point quelconque, Pour tous points A et B, (B et avec un intervalle différent de A), on peut quelconque, décrire une construire le cercle de centre A et passant par B. circonférence. 4. Tous les angles droits sont égaux entre eux. 5. TENTATIVES DE DEMONSTRATION4 Tous les angles droits sont égaux entre eux. Ce postulat est resté longtemps fondateur de la géométrie en tant que sciences déductive, en accord avec l’usage qui était fait de la géométrie comme instrument d’exploration, de mesure et de connaissance du monde « sensible ». Puis les mathématiciens, après Euclide, se sont interrogés sur les fondements des mathématiques. C’est ainsi que de nombreux mathématiciens européens, indiens, arabes, tous influencés par l’œuvre d’Euclide, ont essayé de « démontrer » le cinquième postulat d’Euclide, essayant de le déduire des autres postulats. Ces nombreuses tentatives de démonstrations ont marqué trois grandes périodes de l’histoire de ce Postulat : – l’antiquité – les multiples propositions des arabes ou orientaux – les essais occidentaux Ils ont ainsi proposé des énoncés équivalents à ce postulat.5 Table 1. Les postulats d’Euclide. Le cinquième postulat concernant l'unicité de la parallèle menée à une droite d'un point extérieur à cette droite, Ce postulat s'énonce comme suit: 5. « Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs du même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l’infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits. »2 5.1. Les commentateurs grecs Dans ses "Commentaires sur le premier livre des Eléments d'Euclide", le grand philosophe néo-platonicien Proclus (410-485) se propose de montrer le cinquième postulat à partir des autres. Il se sent en cela légitimé car la réciproque est déjà montrée par Euclide, dans la proposition 17 (deux angles d'un triangle quelconque, de quelque manière qu'ils soient pris, sont moindres que deux droits) sans utiliser le cinquième postulat. Or, pour Proclus : ".. Comment ce dont la réciproque est consignée parmi les théorèmes comme démontrable serait-il indémontrable ?" Pour cela, il commence par montrer une première proposition qui veut que : « Lorsqu'une droite coupe l'une des parallèles, elle coupe l'autre aussi ». Figure 2. 5ème postulats d’Euclide. On peut énoncer ce 5ème postulat d’une autre façon : « Par un point extérieur à une droite, on peut mener une parallèle et une seule à cette droite. »3 Ce 5ème postulat, dit postulat des parallèles, le plus célèbre d'entre eux, stipule que par un point extérieur à une droite donnée D, on ne peut mener qu'une droite E et une seule qui ne rencontre jamais la droite D; cette droite E est alors la parallèle de la droite D (D // E). Proclus est le premier mathématicien à donner la forme équivalente de l'énoncé du cinquième postulat. 2 3 4 Les preuves des Tentatives de démonstration du Cinquième Postulat d’Euclide sont illustrées dans l’annexe 1. 5 On trouvera en annexe 2 la présentation des énoncés équivalents au 5ème postulat. Forme originale dans le livre I des Eléments (traduite du grec ancien). Forme actuelle du 5ème postulat. 4 Cette forme équivalente s'énonce ainsi: « Dans un plan, par un point extérieur, passe une seule droite parallèle à une droite donnée ». Dans cet œuvre Il a écrit au sujet du postulat des parallèles: «Une perpendiculaire et une oblique à une sécante commune se coupent ». Aganis (VI°siècle) modifie la définition des parallèles qui sont alors des droites coplanaires et équidistantes, et commence par vérifier que cette distance est obtenue par la perpendiculaire commune. Le problème de l'existence de telles droites équidistantes est traité par le fait que deux droites perpendiculaires à une même troisième sont bien équidistantes, mais montrer pour cela, Aganis utilise, s'en rendre compte - en tout cas sans mettre en doute - le fait que : « Par un point extérieur à une droite, il passe toujours une droite équidistante à cette droite ». 5.3. Au 17ème siècle, le mathématicien anglais Wallis (1616-1703) a abandonné l’idée d’équidistance des parallèles pour la remplacer par l’axiome suivant: « Pour une figure donnée, il en existe une autre de grandeur quelconque qui lui soit semblable »6. 5.4. 5.2. Les commentateurs européen Les Précurseurs Les commentateurs Arabes Saccheri (1667 - 1733) est un jésuite et un mathématicien italien. C’est le premier à prouver la validité des axiomes d'Euclide par l'absurde. Il chercha à obtenir une contradiction en supposant la fausseté du postulat des parallèles. La figure fondamentale de sa construction est le quadrilatère isocèle ayant deux angles droits, plus précisément, un quadrilatère dont deux côtés opposés sont égaux et perpendiculaires à la base. Les mathématiciens arabes qui ont commenté la théorie des parallèles d'Euclide ont, en général, adopté l'équidistance comme définition du parallélisme. Montrer la proposition 29 des éléments d'Euclide sans recourir au cinquième postulat revient alors à élaborer une théorie du quadrilatère ayant deux angles droits. Ibn al-Haytham (Bassorah 965 - Le Caire 1039) est un mathématicien et un physicien arabo-islamique, a écrit un ouvrage "Sur la résolution de ce qui est douteux dans les Eléments d'Euclide" dans lequel il propose de remplacer le postulat par un autre "qui joue le même rôle et qui est plus clair" : Il a établie les trois hypothèses suivantes: - l’hypothèse de l’angle droit - l’hypothèse de l’angle obtus - l’hypothèse de l’angle aigu « Deux droites qui se coupent ne peuvent être parallèles à une même droite ». Cet énoncé est par ailleurs équivalent à l'assertion de Proclus, déjà abordée : « Lorsqu'une droite coupe l'une des parallèles, elle coupe l'autre aussi ». Omar al-Khayyam (1048 - vers 1123), célèbre philosophe, poète, astronome est connu dans le monde mathématique pour son œuvre "Commentaire sur les postulats problématiques du Livre d'Euclide". Il s'intéressa surtout aux difficultés contenues dans les Éléments d'Euclide, notamment à la théorie des proportions et à la théorie des parallèles. Son œuvre mathématique discipline. Figure 4. hypothèses de Saccheri. Hors le cinquième axiome d’Euclide permet de dire que ces angles sont droits (et que le quadrilatère est un parallélogramme). Que ce passe-t-il si on réfute cet axiome ? Saccheri montre que la question qui se pose est la suivante : La somme des angles est elle supérieure ou inférieure à l’angle plat ? (L’égalité à l’angle plat équivalent au cinquième axiome d’Euclide). Il démontre que l’hypothèse de la supériorité à l’angle plat conduit à une contradiction. Reste l’hypothèse d’une somme inférieure à l’angle plat. marque l'histoire de la Il a établit dans l’équidistance des parallèles: « Deux perpendiculaires à une même équidistantes » droite sont « La distance entre deux parallèles est bornée ». Saccheri développe ses raisonnements à partir de cette hypothèse, sans rencontrer de contradiction, ce qui lui pose problème car son objectif était de prouver la nécessité du cinquième axiome d’Euclide. Il pense donc que son raisonnement comporte une contradiction, en At-Tùsì, Nasìr ad-Dìn (1201 - 1274) est un mathématicien, astronome et philosophe, théologien et médecin. Son œuvre la plus importante, synthèse de ses travaux est le « Livre sur le théorème de la sécante », aujourd'hui appelé « traité sur le quadrilatère complet ». 6 axiome équivalent au 5ème postulat qui permet de transporter un angle restant égal à lui-même. 5 déclarant que certaines droites devaient se couper « à l’infini » Gauss discute de ce problème des parallèles avec son ami Farkas Bolyai, dont le fils, Janos Bolyai (1802-1860), mathématicien hongrois, a tenté de démontrer le 5ème postulat en rédigeant une mémoire sur ce sujet. Donc Il a démontré que: « Dans un triangle la somme des angles ne peut pas être supérieure à l’angle plat » Il commença à chercher une preuve de ce postulat à partir de 1820. Comme il n'y arrivait toujours pas en 1823, il se mit à étudier les conséquences de l'axiome contraire : « Par un point il passe une infinité de parallèles à une droite donnée ». Il va créer en 1832 une nouvelle géométrie, qui va impressionner très favorablement Gauss à qui il a soumis ses idées. En fait J. Bolyai est le premier à accepter les conséquences du rejet de l’axiome des parallèles, là où les mathématiciens qui l’avaient précédé avaient renoncé. On trouve chez le mathématicien Omar Khayyam des considérations analogues à celles de Saccheri. Il n'est pas facile de savoir si ce dernier a eu accès aux travaux de son prédécesseur, ou si ses découvertes furent indépendantes. Lambert (1728-1777) reprend l’étude de Saccheri, en admettant que cette hypothèse de « somme des angles dans la configuration de Saccheri inférieure à l’angle plat » conduisait à une géométrie où l’aire d’un triangle est liée à la somme des angles du triangle. Indépendamment de Gauss et de Bolyai, Nicolaï Lobatchevsky (1792-1856) travaille en Russie sur les mêmes idées. Ses travaux ne sont connus qu’en 1837 par leur publication dans le « Journal de Crelle » Lobachevsky remplace alors le cinquième postulat d’Euclide par le postulat suivant : « Etant donnés dans le plan, une droite et un point extérieur à cette droite, il existe deux droites passant par le point et parallèle à la droite ». Adrien-Marie Legendre (1752-1833) est un mathématicien français. Il a passé quarante ans de sa vie à travailler sur le postulat des parallèles. Il démontre l’équivalence du cinquième axiome d’Euclide avec le résultat : « La somme des angles d’un triangle est égale à deux droits ». Il démontre aussi, comme Saccheri, que dans un triangle la somme des angles ne peut pas être supérieure à l’angle plat (ceci repose sur le fait qu’une droite n’est pas bornée). Involontairement, Legendre démontre aussi que le cinquième postulat d’Euclide équivaut à la proposition: « A partir d’un point intérieur à un angle, il est toujours possible de tracer un droite qui coupe les deux côtés de l’angle ». Les géométries de Lobatchevsky et Bolyai correspondent à des structures hyperboliques. Cette géométrie utilise un plan possédant presque toutes les propriétés du plan euclidien. La seule différence est qu'en géométrie hyperbolique, le 5ème postulat d'Euclide est remplacé par celui-ci: « On peut tracer une infinité de parallèles à une droite donnée et passant par un même point ». 6. 5EME POSTULAT ET GEOMETRIE NON-EUCLIDIENNE . Durant plusieurs siècles, la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse. Carl Friedrich Gauss (1777-1855), mathématicien, astronome et physicien allemand s'interroge sur le 5ème postulat d’Euclide. En 1813 il écrit : « Pour la théorie des parallèles, nous ne sommes pas plus avancés qu'Euclide, c'est une honte pour les mathématiques ». Figure 5. Exemple de Géométrie Hyperbolique. En 1817, il semble que Gauss ait acquis la conviction de l'existence de géométries non euclidiennes, et que le cinquième postulat est indépendant des quatre premiers. Il travaille alors sur les conséquences qu’il peut tirer d’une géométrie où « d’un point donné il est possible de faire passer plusieurs droites parallèles à une droite donnée». Mais Gauss ne publie pas ses résultats, influencé comme la plus part des esprits de cette époque par la pensée de Kant qui parle dans « Traité de la raison critique » de la géométrie d’Euclide comme l’inévitable nécessité de la pensée. Le mathématicien allemand Bernard Riemann (18261866) est un élève de Gauss. Il a établit l'existence d'une autre famille de géométries non euclidiennes pour son travail de thèse. Les travaux de Riemann sur la géométrie ne seront publiés qu’après sa mort, mais auront une influence capitale. Il développe ainsi la « géométrie de la sphère » (qui portera le nom de géométrie Riemannienne), dans la quelle la notion de droites parallèles disparaît (les droites sur la sphère sont les «grands cercles ». On remarque que dans cette Il existe une infinité de droites qui comme d1, d2 et d3 passent par le point M et sont parallèles à la droite D. 6 géométrie, la somme des angles d’un triangle sont supérieure à l’angle plat, que les droites sur la sphère sont bornées et que la sphère est munie d’une distance « intrinsèque», c’est-à-dire indépendante de la distance usuelle dans l’espace ambiant où la sphère est immergée. que cela implique une contradiction avec le système des démonstrations. Finalement, La gloire d'Euclide est indiscutablement attachée au succès de ses Éléments. L'abondance des traductions et commentaires, le nombre des manuscrits conservés, le fait que le traité euclidien ait été le livre qui a connu le plus d'éditions jusqu'au début de ce siècle témoignent de l'énorme impact qu'il eut sur l'histoire des mathématiques et de leur enseignement depuis l'Antiquité. Riemann a donc donné un modèle d’une géométrie noneuclidienne: Le cas riemannien correspond au cas elliptique où par un point extérieur à une droite on ne peut mener aucune parallèle. Le modèle est très simple: 8. CITATIONS «En géométrie, il n’y a pas de chemin réservé aux rois.» «Si vous touchez aux maths, vous ne devez être ni pressés, ni cupides, fussiez-vous roi ou reine.» «Ce qui est affirmé sans preuve peut être nié sans preuve.» Il n'existe aucune droite passant par le point M et parallèle à la droite D. 9. REFERENCES Figure 6. Exemple de Géométrie Elliptique. 1. F. Peyrard "Les éléments d'Euclide" 1809, réédition Blanchard. • les points sont les paires de points antipodes d'une sphère. 2. « HISTOIRES DE PROBLEMES HISTOIRE DE MATHEMATIQUE » Editions ellipses, Commission InteI.R.E.M. 1993. • les droites sont les grands cercles (c'est-à-dire dire les cercles ayant le même centre que la sphère). 3. Lobachewsky "Géométrie imaginaire" Journal de Crelle Bd XVII 1837. 7. CONCLUSION 4. Marcel Berger "Géométrie, tome 5: la sphère pour elle même, géométrie hyperbolique, l'espace des sphères" CEDIC/Fernand Nathan 1977. Les mathématiques représentaient ainsi jusqu'au 19ème siècle le domaine de la vérité absolue, définitive et éternelle où la géométrie euclidienne a été utilisée sans que l'on mette en doute sa validité. Elle a même été longtemps considérée comme l'archétype du raisonnement logico-déductif. Elle présentait en effet l'avantage de définir les propriétés intuitives des objets géométriques dans une construction mathématique rigoureuse. Pourtant avec son 5ème postulat, Euclide avait laissé le premier grain de sable qui allait déboucher des siècles plus tard sur l'irruption des géométries noneuclidiennes et la fin de cette belle certitude des mathématiques. 5. Marvin J. Greenberg ; Euclidean & Non-Euclidean geometries - Development & History, W.H. Freeman & Co., New-York (3e édition-1996). 6. R. Goblot Thèmes de géométrie: Géométrie affine et euclidienne - agrégation de mathématiques Masson. 7. R. MANKIEWICZ « L'histoire des mathématiques »Editions Seuil 2001 8. R. RASHED « Histoire des sciences arabes » (Tome 2) - Editions Seuil 1997 9. - G. BARTHELEMY « 2500 ans de Mathématiques L'évolution des idées » Editions Ellipses 1999 Les mathématiciens se sont donné du mal pour résoudre ce 5ème Postulat. Mais tous leurs efforts se sont soldés par un échec. Puisque l'on n'arrivait pas à démontrer que « Par un point donné, on ne peut mener qu'une seule parallèle à une droite donnée ». Mais, contre toute attente, Lobatchevski et Riemann découvrirent tour à tour que la chose est logiquement possible dans un espace courbe. 10. « Mathématiques - Ce que les grecs ont vraiment inventé - » n°55 - Les cahiers de Science&Vie Février 2000 11. BOLYAI J. La science absolument vraie de l'espace (1825) Traduction française de J. HOUEL. Mémoire de la société des Sciences Phys. et Nat. de Bordeaux. Tome 5 - 1867 p 189-246 Bref, ils ont découvert que le 5ème Postulat n'est vrai que pour un espace de type euclidien (à 3 dimensions). Or, admettre un tel espace relève d'un choix. Et l'on peut tout à fait envisager des espaces à " n " dimensions sans 12. RIEMANN B. Sur les hypothèses qui servent de fondement à la géométrie (1854). Traduction française de J. HOUEL, in Oeuvres de Riemmann - Blanchard – 1968. 7 Annexe 1: Tentatives de démonstration 1- PROCLUS (410-485) Proclus admet, comme évident, l'axiome suivant: La distance entre deux points pris sur deux droites qui se coupent, peut être aussi grande qu'on veut en prolongeant suffisamment les deux droites. De cette hypothèse il déduit le lemme suivant: 1- « Une droite qui coupe l'une des deux droits parallèles, coupe l'autre droite parallèle. » Proclus démontre ce lemme de la façon suivante: Soient [AB], [MN] deux segments de droite parallèles, et [EF] une sécante qui coupe [AB] en G. Prolongeons [AB] à l'infini de part et d'autre en [AA') et [AB'), de même prolongeons [MN] à l'infini de part et d'autre en [MM') et [MN'), et prolongeons [EF] à l'infini du côté de F en [EF'). Proclus va démontrer que [EF') coupe [MN'). Comme [GB'] et [GF'] sont deux demi-droites issues de G, la distance entre deux points pris respectivement sur ces demi-droites peut croître indéfiniment et dépasser par conséquent toute longueur donnée. Ainsi cette distance peut dépasser la distance entre les deux parallèles [GB') et [M'N'), alors (EF') coupe (M'N'). 2- Du résultat 1, Proclus va déduire le résultat de la démonstration du cinquième postulat d'Euclide. Soient deux segments de droites [AB] et [MN], coupés par une sécante [EF] tels que la somme des angles. BEF + NF'E soit inférieure à 2 droits. Il faut démontrer que les segments de droites [EB] et [MN] respectivement prolongés à l'infini en [EB'] et [F'N'] se rencontrent du côté de B, N, où la somme des angles est inférieure à deux droits. 1 Les deux angles BEF et NF'E étant inférieurs à deux angles droits, supposons traçons la droite (EH) tel que l'angle BEH soit le supplément de (BEF + NF'E). Prolongeons [EH) du côté de E en [EG). La sécante [EF] faisant avec les droites (GH) et (M'N') les angles intérieurs égaux à deux droits, ces droites sont parallèles (proposition 28 du I livre d'Euclide) et (A'B') coupe (GH) en E. D'après ce qui est démontré dans 1, la droite (A'B') doit couper (M'N'). Ainsi les segments de [AB] et [MN] prolongées en [AB') et [MN') se rencontrent du côté B, N où la sécante [EF] fait avec ces deux demi-droites des angles intérieurs inférieurs à 180º. Le théorème des parallèles est ainsi démontré. Nous voyons que la démonstration de Proclus repose sur une proposition admise comme évidente, et en réalité elle ne l'est pas, car elle exige une démonstration: Cette proposition n'est pas plus évidente que l'énoncé du cinquième postulat d'Euclide. La tentative de Proclus, ce grand génie du néo-platonisme, ne fournit rien de valable qui puisse servir pour les mathématiciens des générations postérieures. D'ailleurs Proclus, avant de commencer sa démonstration, s'évertue avec un argument fallacieux qui rappelle mille ans après, les arguments de Zénon d'Elée. Commentaire : PROCLUS est le premier mathématicien à donner la forme équivalente de l'énoncé du cinquième postulat, et qui fut attribuée, à faux titre, à PLAYFAIR. Cette forme équivalente s'énonce ainsi: Dans un plan, par un point extérieur, passe une seule droite parallèle à une droite donnée. Il faut reconnaître, que PLAYFAIR lui-même attira l'attention sur l'appartenance de l'énoncé à PROCLUS, mais les successeurs continuent d'attacher le nom de PLAYFAIR à cet énoncé célèbre par sa simplicité et facilité. Il est connu de tous les étudiants sous cette forme. 2- AGANIS. Cette tentative reproduite dans le commentaire des «ÉLÉMENT d'EUCLIDE» écrit par AL NARIZI du 9ème siècle de notre ère, est attribuée à AGANIS, identifié par CURTZE et HEIBERG avec GEMINUS. TANNERY rejette cette identification. SIMPLICIUS un célèbre commentateur d'ARISTOTE, a écrit une introduction au premier livre des «ÉLÉMENTS d'EUCLIDE» qui contient la tentative de son ami AGANIS. Si GEMINUS est l'auteur de cette tentative, elle serait la première tentative dans l'histoire de la géométrie pour démontrer le cinquième postulat. La démonstration repose sur l'hypothèse qu'il existe des droites équidistantes. Ces droites sont appelées parallèles. Le plus court chemin entre les droites est la perpendiculaire commune, deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles, les deux parallèles coupées par une droite forment des angles intérieurs d'un côté de la sécante égaux à deux droits et réciproquement. 2 Dans ce qui suit, nous montrons comment AGANIS construit le point d'intersection de deux droites non équidistantes. Soient deux droites (AB) et (FC) formant avec la sécante (EF) perpendiculaire à (AB), deux angles AEF et EFC dont la plus sommes est inférieure à deux droits. AGANIS prend un point quelque R sur (FC). De R, il abaisse la perpendiculaire (RP) à (EF). Il prend le milieu G de (EF), puis le milieu N de (GF) et ainsi de suite jusqu'à ce qu'un point milieu soit à l'inférieure de (PF). Soit N ce point (à l'intérieure de GF). De N il mène la perpendiculaire à (EF) qui coupe (FC) en O. Sur (FC), il prend un point K tel que le rapport FK ÷ FR) = (FE ÷ FP) Le point K est donc le point d'intersection de deux segments [AB] et [CF]. Il suffit de multiplier la longueur du segment [FR] par le rapport précèdent et de la porter sur [FC] pour déterminer le point K, qui sera le point d'intersection recherché des deux droits (AB) et (FC). 3- Ibn AL-HAITHAM Soit BCGO un quadrilatère ayant 3 angles droits. Il s'agit de montrer que le quatrième angle C est droit. L'auteur montre d'abord que [BC] = [OG]. En effet soient A et D les symétriques de B et C par rapport à [OG]. Lorsque le segment [AD] se meut en restant perpendiculaire à [AB], le point A restant sur [AB], le segment [AD] vient sur [BC] lorsque A est en B et sur [OK] lorsque A est en O. Or dans ce mouvement, le point D décrit une droite, donc C, K, D sont alignés. Comme C, G, D le sont aussi, G et K sont confondus. Ceci entraîne [CG] = [DG]. De même, on montrerait que [CG] = [OB]. Les triangles BCG et BOG sont alors égaux puisqu'ils ont leurs trois côtés égaux. D'où les angles égaux, en particulier l'angle en C est égal à celui en O, c'est donc un angle droit. La faille réside dans le fait Qu'Ibn AL HAITHAM suppose que les points équidistants situés d'un même côté d'une droite donnée, sont sur une droite. Or, cette proposition est à démontrer. Il ne fait que remplacer le cinquième postulat par une proposition équivalente. 4- Omar AL-KHAYYAM (1048-1123) Les grandeurs se divisent à l'infini et ne sont pas composées d'indivisibles. Deux droites qui se coupent s'écartent l'une de l'autre à partir de leur point d'intersection. Omar AL-KHAYYAM étudie le quadrilatère ABCD ayant ses côtés [BC] et [AD] égaux et perpendiculaires à [AB]. Pour démontrer la proposition 29, il faut commencer par démontrer que, sous ces hypothèses, les angles C et D sont droits. Voici sa démarche : 3 Proposition 1 : Soient [AB] un segment, [AD] et [BC] perpendiculaires à [AB], tels que AD = BC. Alors les angles en C et D sont égaux. Proposition 2 : Soient ABCD comme dans la proposition 1, O le milieu de [AB], et [OG] la perpendiculaire à [AB] en O. Alors CG = GD et [OG] est perpendiculaire à [CD]. Proposition 3 : Sous les hypothèses de la proposition 2, les angles C et D sont droits. Les propositions 1 et 2 se démontrent simplement, dans le style d'Euclide, sans le postulat. On notera que la situation est différente de la projection du milieu rencontrée chez Aganis. (OG) est la médiatrice de [AB], et que la symétrie orthogonale par rapport à (OG) transforme [BC] en [AD], et donc C en D. Nous allons donc observer la démarche de Omar al-Khayyam dans la troisième proposition. Il commence par prolonger le segment [OG] d'une longueur égale : GK = OG, et trace la perpendiculaire à (OK) en K. Cette droite coupe (BC) et (AD) en F et E. Il montre alors que CF = DE et donc, d'après ce qui précède, on a aussi KE = KF. Omar AL-KHAYYAM fait alors successivement l'hypothèse que les angles égaux BCD et ADC sont aigus, puis qu'ils sont obtus. Il obtient deux contradictions, il en déduit alors que ces angles sont droits. Etudions le cas aigus : Par "rotation autour de (CD)" - c'est-à-dire par symétrie orthogonale - [GK] vient sur [GO], (EF) sur (AB) et le segment [EF] sur un segment [MN]. L'angle FCG étant supérieur à l'angle aigu BCG, la longueur EF, égale à PN, est plus grande que AB. Ainsi, remarque, AL-KHAYYAM les droites (BC) et (AD), perpendiculaires à (AB) s'écarteraient d'un côté de (AB) ; mais pour des raisons de symétrie, elles s'écarteraient aussi de l'autre côté. De la même manière, si les angles égaux BCD et ADC étaient obtus, on monterait que la longueur ST est plus grande que AB, et donc les droites (BC) et (AB) se rapprocheraient l'une de l'autre des deux côtés de (AB). Ainsi, conclut Omar AL-KHAYYAM, les angles en C et D sont droits car les deux cas, aigu et obtus contredisent l'idée que l'on a des droites, à savoir: Deux droites ne peuvent pas s'écartent l'une de l'autre des deux côtés à la fois, ni se rapprocher des deux côtés à la fois. 4 La faille Le segment [CN] symétrique de [CF] par rapport à [CD] n'est pas sur la même droite que [CF] dans le cas de l'hypothèse de l'angle aigu ou obtus en C. Les déductions d'Omar AL-KHAY-YAM sont donc fausses. Le mathématicien Jean Luc CHA-BERT n'a pas remarqué cette grave erreur chez Omar AL-KHAYYAM. Les segments [CN] et [CF] ne peuvent être alignés que dans l'hypothèse de l'angle droit en C. Dommage que les mathématiciens, y compris Jean Luc CHA-BERT n'ont pas remarqué cette grave erreur chez Omar ALKHAYYAM. 5- John WALLIS (1616 – 1703) John Wallis abandonne l'idée de droites équidistantes en théorie des parallèles et introduit l'hypothèse de la similitude. Etant donné un triangle, il est possible de construire un autre triangle semblable et de n'importe quelle dimension. Les triangles semblables ont les angles respectivement égaux, et les côtés correspondants proportionnels. Wallis démontre le postulat des parallèles de la façon suivante. Soient une droite (m) et un point A extérieur à cette droite. Pour construire une parallèle à (m) passant par A, il faut abaisser la perpendiculaire (AA') de A à (m) et élever une perpendiculaire (n) en A à (AA'). Soit (s) une autre droite passant par A. Nous allons démontrer que (s) rencontre (m). Prenons un point quelque D sur (s) entre (n) et (m) et abaissons de D la perpendiculaire (DD') à (AA'). Nous appliquons l'hypothèse de Wallis relative au triangle ADD' et au segment [AA']. D'après cette hypothèse il existe un point R sur (s) tel que le triangle ADD' est semblable au triangle AA'R. Supposons R du même côté que D, sur (m) à gauche de (AA'). D'après la définition des triangles semblables l'hypothèse de Wallis repose sur l'existence des triangles semblables et en générale l'existence des figures semblables, sur [AB], le côté homologues à [AB2], ce qui nous permet de construire un triangle ABC semblable à AB2C2 or cela équivaudrait à dire que les droites (L) et (M) doivent se rencontrer en un point C qui sera le 3ème sommet du triangle ABC. 5 Wallis conscient que son hypothèse n'est pas plus évidente que le 5ème postulat essaie de justifier sa démonstration prétendant qu'Euclide en formulant son troisième postulat admet l'existence de cercles semblables, même dans ce cas nous n'avons pas le droit de généraliser aux autres figures. 6- Geralomo SACCHERI ( 1663-1732 ) Gerolamo SACCHERI procède en logicien et applique le raisonnement, par l'absurde, d'une façon systématique. Il prend, comme figure de base, le quadrilatère, indiqué par AL-TOUSSI six siècles auparavant. Soit ABCD un quadrilatère ayant : [AD] = [BC] et BAC = ABC = 1 droit. En traçant la perpendiculaire (MN), au milieu O de [AB], elle sera un axe de symétrie pour la figure, les angles ADC et BCD sont égaux. Malgré sa bonne intention de démontrer l'unicité de la parallèle, SACCHERI aboutit à trois cas possibles également probables : Premier cas : BCD = ADC Angles aigus. Deuxième cas : BCD = ADC Angles obtus. Troisième cas : BCD = ADC Angles droits. SACCHERI s'appuie sur le lemme suivant : Si un quadrilatère ABCD a les angles ABC et BAD droits et les côtés [AD] et [BC] égaux, alors les angles BCD et ADC sont égaux; mais si les côtés [AD] et [BC] sont inégaux, le plus grand angle est celui que est adjacent au plus petit côté, et réciproquement. Dans le premier cas nous avons : [ AB ] < [ CD ] Dans le second cas nous avons : [ AB ] > [ CD ] Dans le troisième cas nous avons : [ AB ] = [ CD ] Prenons le quadrilatère OBCO', d'après le lemme précédent nous aurons: [ OB ] > [ O'C ], et leurs doubles vérifient la même inégalité Même raisonnement pour les autres cas. Si dans chacun des trois cas l'hypothèse est vérifiée une fois, elle serait toujours vérifiée. Prenons le troisième cas où les angles sont droits, Nous allons démontrer que les angles restent droits 6 Par hypothèse : BCD = ADC angles droits. Conclusion : F AEF = BFE angles droits Prenons [DE]=[CF] D'après l'hypothèse: [AB] = [CD] Si [EF] est perpendiculaire à [AD] le quadrilatère ABFE est rectangle, l'hypothèse de l'angle droit est vérifiée. Sinon supposons l'angle AEF aigu, alors l'angle adjacent DEF est obtus. Le quadrilatère ABFE donne: [EF] > [AB] Le quadrilatère CDEF donne: [EF] < [CD] Or [AB] = [CD] . Comme [EF] ne peut à la fois être supérieur et inférieur à [AB], l'hypothèse de l'angle aigu est à rejeter. Par le même raisonnement nous démontrons que l'angle DEF ne peut être obtus; il ne reste que l'hypothèse de l'angle droit pour l'angle AEF. Le quadrilatère AEFB est un rectangle. Il est facile de démontrer que le résultat sera valable si [EF] est extérieur à [CD], ainsi quelle que soit la base AD l'hypothèse de l'angle droit est vérifié. Considérons le deuxième cas où les angles sont obtus. Il suffit que l'hypothèse de l'angle obtus soit vérifiée une fois pour être vérifiée pour tous les cas. Nous supposons les angles BCD et ADC obtus. Nous avons :[CD] < [AB] . [EF] ne peut être perpendiculaire à [AD] et [BC] car dans ce cas l'hypothèse de l'angle droit serait vérifiée. Supposons l'angle AEF aigu, l'hypothèse de l'angle aigu dans le quadrilatère ABFE donne : [EF] > [AB] Nous aurons donc: [EF] > [AB] > [CD] Quand [EF] tend vers [CD], d'après le principe de continuité, il prend la valeur de [AB] pour cette position limite [E'F'] et le quadrilatère ABF'E' sera un rectangle. Comme l'hypothèse de l'angle droit est ainsi vérifiée, elle le sera pour tous les cas et l'angle AEF ne peut être aigu, il est donc obtus. Nous avons bien démontré qu'il suffit d'un seul cas où l'hypothèse de l'angle DEF obtus soit vérifiée pour demeurer vérifiée dans tous les cas. Même raisonnement pour le cas où l'angle AEF est aigu. Mais SACCHERI, et tous ses successeurs n'ont pu trouver un seul cas où l'hypothèse de l'angle aigu ou obtus, soit vérifiée, alors qu'il existe, dans le cas de l'hypothèse de l'angle droit, un cas limite, où cette hypothèse est vérifiée. C'est le cas où [CD] tend vers [AB] et coïncide avec lui, dans ce cas l'hypothétique rectangle sera vérifié quand sa surface devient nulle et ses deux côtés se superposant l'un sur l'autre, les deux autres côtés s'annulant. Remarquons que dans le cas de l'angle aigu, et de l'angle obtus, les hypothèses correspondantes ne sont pas vérifiées lorsque [CD] tend vers [AB] et coïncide avec lui, dans ce cas seule l'hypothèse de l'angle droit est vérifiée. 7 7- Adrien Marie LEGENDRE (1752- 1833). Vers la fin du dix-huitième siècle les mathématiciens français versants dans la géométrie, apportèrent une grande contribution à l'étude de la théorie des parallèles, à l'instar de leurs collègues italiens et allemands. Dans un article, sur la géométrie, Jean-Le-Rond D'ALEMBERT met presque le doigt sur la plaie en affirmant : «La définition et les propriétés de la ligne droite, ainsi que des lignes parallèles sont l'écueil et pour ainsi dire le scandale des éléments de Géométrie.» Il soutenait qu'une rigoureuse définition de la droite mettrait fin à toutes les difficultés. C'est pour cette raison qu'il propose de définir une droite parallèle à une droite donnée comme une droite située dans le plan passant par deux points équidistants de la droite donnée. Cette définition permet de construire facilement les droites parallèles. Il reste alors à démontrer que ces droites parallèles sont équidistantes. Malgré sa lucidité, D'ALEMBERT n'a pas saisi la fécondité de la notion d'égalité qui lui aurait permis de saisir intuitivement l'équidistance des droites parallèles ainsi définies; il ne lui reste qu'à proposer aux successeurs ce théorème dans l'espoir d'une preuve qui n'est pas venue jusqu'à ce jour. Des noms célèbres se sont intéressés à la théorie des parallèles comme LAGRANGE (1736-1813), CARNOT (17531823), LAPLACE (1749-1827) ces deux derniers ont considéré la notion de similitude comme fondamentale et l'ont érigée en principe. FOURIER a donné la primauté à la distance entre deux points. Mais tous ces mathématiciens n'ont fait que donner leurs opinions sur la question épineuse; seul LEGENDRE émerge et tente de démontrer le postulat des parallèles. Dans le sillage de Nasr-El-Din AL TOUSSI, SACCHERI et LAMBERT il centre tous ses efforts sur la somme des angles intérieurs du triangle et durant trente ans il traite le problème, conjuguant tous ses efforts au service de l'hypothèse euclidienne, en vue d'obtenir l'égalité de cette somme avec deux droits. Ses tentatives de prouver le cinquième postulat parurent dans ses «Eléments de Géométrie» entre 1794 et 1823 dans douzaine de livres. En 1733 il publie ses travaux dans une collection portant le titre «Réflexions sur différentes manières de démontrer la théorie des parallèles». Legendre réussit à rejeter l'hypothèse de l'angle obtus formulée par SACCHERI, au début de ses travaux, en prouvant le théorème suivant: Etant donnés n segments égaux N1N2, N2N3,… NnNn+1 successivement sur une droite et du même côté n triangles égaux ayant leurs troisièmes sommets successivement en M1,M2,…Mn et Mn+1, alors les segments M1M2,M2M3,…MnMn+1 sont égaux. LEGENDRE démontre que b ≤ a Comparons les deux triangles A1B1A2 et B1A1B2 qui ont deux côtés égaux, au grand des deux autres côtés correspond le plus grand angle. Si b > a ceci entraîne: [N1N2] > [M1M2] Comme la ligne brisée N1M1M2…Mn+1Nn+1 > [N1Nn+1], Nous aurons: [N1M1+nM1M2 + Nn+1Mn+1] > n[N1N2] [N1M1] +[ Nn+1Mn+1] > n[ N1N2 – M1M2] 2[N1N2] > n[N1N2 –M1M2] Le premier membre est constant tandis que le second membre croît et peut dépasser toute grandeur fixée d'avance, ce qui est impossible, par conséquent l'hypothèse de l'angle obtus est à rejeter. Nous devons toujours avoir: b ≤ a et nous pourrons déduire: La somme des angles intérieurs d'un triangle quelconque est égale ou inférieure à deux angles droits. 8 Ce théorème est connu sous le nom de: premier théorème de LEGENDRE. En fait SACCHERI l'a établi un siècle auparavant. De même le second théorème de LEGENDRE a été établi par SACCHERI d'une manière plus générale sous la forme suivante: Si un triangle vérifie la propriété de la somme de ses angles intérieurs d'être plus petite ou égale à deux droits, cette propriété serait vérifiée pour tous les triangles. Pour démontrer que la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à deux droits LEGENDRE procède comme suit: Supposons que nous avons dans le triangle ABC l'inégalité suivante : A + B + C < 2 droits Prenons un point D sur le côté [AB] et construisons le segment [DE] tel que l'angle ADE = ABC Dans le quadrilatère DBCE supposons que la somme des angles intérieurs est plus petite que 4 droits, ceci entraîne : AED > ACB L'angle AED serait une fonction décroissante du segment [AD] dont la longueur serait déterminée par cet angle et les angles A et B. LEGENDRE considérait ce résultat absurde parce que la longueur d'un segment n'aurait de sens que si l'on connaît l'unité de longueur qui seule permettrait de mesurer la longueur. De ce point de vue l'hypothèse de l'angle aigu est rejetée et il ne reste qu'à adopter l'hypothèse de l'angle droit qui conduit à la somme des angles intérieurs du triangle égale à deux droits. De ce résultat la démonstration du postulat des parallèles est facile. La démonstration de LEGENDRE repose sur le postulat formulé par LAMBERT qui refuse d'admettre l'existence d'unité absolue de mesure pour les segments. De toute façon la démonstration de LEGENDRE souffre de clarté et manque de rigueur; elle n'est pas satisfaisante. 8- Wolfang BOLYAI (1775-1856) Wolfang BOLYAI est le père de Jãnos BOLYAI fondateur avec LOBATSCHEWSKY de la géométrie hyperbolique non-euclidienne. Etudiant à l'université de Göttingen (1796-1799) avec son confrère Gauss, il fut intéressé par la théorie des parallèles. 9 En 1804, il envoya sa tentative de prouver le fameux postulat d'Euclide en établissant l'existence de droites équidistantes. Hélas! Le raisonnement s'est révélé fallacieux après avoir été examiné par GAUSS. BOLYAI ne désespéra pas et remplaça son hypothèse par d'autres sans réussir, ce qui l'amène à abandonner ses investigations, convaincu de l'impossibilité d'une preuve pour le cinquième postulat d'Euclide. W. BOLYAI remplace le postulat euclidien par le suivant: « Par quatre points non coplanaires passe une sphère» ou ce qui revient au même : «Par trois points non alignés passe une circonférence de cercle» Admettant le postulat de W. BOLYAI, celui d'Euclide sera prouvé de la manière suivante: Soient deux demi-droites [AB) et [CD) et une sécante [AC] telle qu'elle soit perpendiculaire à la demi-droite [CD) et l'autre demi-droite [AB) inclinée. Si nous prenons un point M sur la sécante entre A et C et nous construisons le point M', M'' respectivement symétriques de M par rapport à [AB) et [CD), M'' est sur le prolongement de [AC] du côté de C. Les trois points M, M', et M'' ne sont pas alignés, donc ils se trouvent sur la circonférence d'un cercle dont le centre est le point d'intersection des deux demi-droites [AB) et [CD). Du fait qu'une demi-droite perpendiculaire à une autre demidroite et une demi-droite fait avec elle un angle aigu intersectant, il s'en suit qu'il y a une seule droite parallèle à une autre droite menée par un point extérieur à cette droite. 9- Carl Friedriech GAUSS (1777 – 1855) GAUSS, surnommé prince des mathématiciens, a dominé le monde des mathématiques de la première moitié du dixneuvième siècle. A l'instar de SACCHERI et de LAMBERT, il essaie de démontrer le cinquième postulat d'Euclide, en le niant, espérant trouver une contradiction. GAUSS a toujours cherché à établir l'existence d'un triangle dont la surface ne dépasse pas une valeur donnée, quand l'un de ses sommets va vers l'infini. Ceci lui aurait permis de prouver tous les théorèmes de la géométrie Jusqu'à 1813 les géométries non-euclidiennes ne lui paraissent pas logiques, mais après cette date il s'est mis à développer les théorèmes d'une nouvelle géométrie dans le secret total. Il commença par définir les parallèles comme suit: «Deux demi- droites situées dans un même plan [AD) et [BC) ne se rencontrent pas si toute droite passant par A entre ces demi- droites coupe [BC), alors nous disons que la demi-droite [AD) est parallèle à [BC). Il prend une droite confondue avec la sécante (AB) pour sa position initiale et qui tourne autour de A d'une manière continue jusqu'à atteindre la position [AO). GAUSS admet que cette droite commence par couper la droite [BC) et il arrive un moment où elle ne la coupe plus, ainsi la position séparant les deux cas est unique et cette position doit être la première droite qui ne coupe pas [BC), ceci résulte de la définition des parallèles faite par GAUSS. D'autre part, il n'existe pas une dernière droite qui coupe [BC) car l'existence d'une telle droite détruirait la nouvelle géométrie en y créant des contradictions. Ainsi pour qualifier le nouveau système de consistant GAUSS introduit une définition nouvelle pour les parallèles et admet des situations qui ne sont pas évidentes. 10 Toutes les déductions qu'on peut faire dans cette optique ne peuvent pas présenter de contradictions, puisque la raison n'a aucune prise sur ce qui se passe. Pour attirer l'attention on brande de temps en temps des illustrations de la géométrie euclidienne, sans quoi, le rêve ne s'arrête pas. 10- Nicolai Ivanovitsch LOBATSCHEWSKY Il avait une formation polyvalente. Avant 1823, il a fait plusieurs tentatives pour démontrer le cinquième postulat, sans aboutir. Alors il essaie de découvrir la géométrie imaginaire, sans perdre l'espoir dans la découverte éventuelle d'une démonstration pour le postulat euclidien. Il conçoit une géométrie indépendante du postulat euclidien, où l'on peut tracer deux parallèles à une droite donnée à partir d'un point extérieur à cette droite et il définit un angle de parallélisme formé par l'une de ces deux parallèles avec la perpendiculaire donnée issue de ce point suivant les pas de TAURINUS dans le domaine imaginaire. Il appelle sa nouvelle géométrie la «Géométrie imaginaire.» Les mathématiciens avalèrent la nouvelle recette, LOBAT-SCHEWSKY n'a qu'à poursuivre son avancée. Une théorie complète des parallèles apparut de 1835 à 1838. En 1855, il publie ses travaux sous le titre «Pangéométrie ou précis de géométrie fondée sur une théorie générale et rigoureuse des parallèles.» Il substitue à la dénomination «géométrie imaginaire» la pan-géométrie donnant l'impression d'une cohabitation avec la géométrie classique. Un très grand mathématicien comme Poincaré se contente d'affirmer seulement que la géométrie euclidienne est plus commode que les autres, alors la vérité n'a qu'à pleurer. Il introduit le postulat de la géométrie hyperbolique comme suit:«A travers un point extérieur à une droite (D'D) sans la couper, passent deux droites parallèles». Ce postulat s'oppose au cinquième postulat d'EUCLIDE qui stipule que par le point A passe une seule droite appelée parallèle et qui ne coupe pas (D'D). Il prend un point A extérieur à une droite (D'D), avec [AB] perpendiculaire à cette droite. En faisant tourner le support de [AB] autour de B, dans le sens positif, Lobatschewsky affirme qu'elle continue de couper (D'D) M, M, P etc…,et il arrive un moment où elle cesse de couper (D'D), correspondant à l'angle aigu ABC = α et à {BC). De même en faisant tourner la même droite dans le sens négatif, il obtient [BL').En prolongeant(L'B] en [BL) et (CB] en [BC'), LOBATSCHEVSKY appelle parallèles à (D'D) les deux droites qui comprennent un faisceau de droites ne pouvant couper (D'D) selon la prétention de LOBATSCHEVSKY. a - Comme vous le constatez, deux droites l'une (BC) formant un angle aigu ABC = α et l'autre (BL) formant un angle obtus HAF =180°- α, ne coupent pas (D'D) ainsi que la totalité des droites comprises entre eux et entourant l'unique parallèle euclidienne (BG) chose jamais vue en géométrie. 11- Jänos BOLYAI ( 1802-1860 ) Il montra une aptitude particulière pour les mathématiques enseignées par son père Wolfgang qui attire son attention sur le postulat XI. Malgré les conseils du père, le fils essaya de prouver ce postulat. Ainsi la théorie des parallèles fut l'occupation favorite de Jänos entre 1817 et 1822. 11 Jänos était pleinement convaincu d'avoir trouvé une preuve pour le postulat XI, mais lorsqu'il a reconnu l'erreur commise dans sa démonstration, il se retourna vers une géométrie où le cinquième postulat ne sera pas respecté. Il consacre ses efforts à la construction d'une théorie absolue de l'espace suivant la méthode déductive indépendamment du cinquième postulat d'Euclide. Il retrouve indépendamment de LOBATSCHEWSKY la formule de l'angle de parallélisme, formule fondamentale pour les géométries non-euclidiennes. En 1825, il envoya un résumé de ses travaux à son père qui n'était pas d'accord avec les résultats de son fils Ses travaux furent envoyés à GAUSS en 1832. Jänos et son père ne voulaient pas croire que d'autres ont déjà construit des géométries non-euclidiennes. Les résultats trouvés par J. BOLYAI furent: 1- La définition des parallèles et leurs propriétés indépendamment du cinquième postulat. 2- Le cercle et la sphère de rayons infinis 3- La trigonométrie sphérique est indépendante du postulat d'Euclide. 4- La trigonométrie plane dans la géométrie hyperbolique. La quadrature du cercle. 12 Annexe 2 : Énoncés équivalents au 5ème postulat d’Euclide7 1 - 5ème demande ou postulat d’Euclide (env. 330 - 275 av. JC.) : Si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits. A E B O D C F At-Tùsì, Nasìr ad-Dìn (1201 - 1274); Saccheri, Girolamo (1667 - 1733) : Une perpendiculaire et une oblique à une sécante commune se coupent. 2 - Angles déterminés par deux parallèles et une sécante : Proposition I-29 d’Euclide : 1a - Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, la somme des angles intérieurs d’un même côté est égale à deux droits. E A B 1b - Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles alternes internes sont égaux. 1c - Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, les angles correspondants d’un même côté sont égaux. C D F 3 - Parallèles et perpendiculaires Proposition I-30 d’Euclide : Les droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. d d' d" 7 Énoncés équivalents au 5ème postulat signifie : dans l’axiomatique euclidienne (définitions, demandes et notions communes), le 5ème postulat étant exclu, il est possible de démontrer l’équivalence logico-géométrique de chaque énoncé avec le la 5ème demande, selon les méthodes de démonstration euclidiennes, présupposés et implicites couramment utilisés y compris. 1 Legendre, André-Marie (1752 - 1833) : Si 2 droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Ž si d // d' et d ¹ Ž, alors d' ¹ Ž d d' Bolyai, Janos (1802 - 1860) : Par trois points non alignés il passe un cercle. B A O C 4 - Droite passant par un point donné et parallèle à une droite donnée Axiome de Playfair, John (début du XIXè), déjà énoncé par Proclus de Lycie (412 - 485 ap. J.C.) : Par un point extérieur à une droite passe au plus une parallèle à cette droite. Al-Haytam, ibn (965 - 1041) : Deux droites qui se coupent ne peuvent être toutes deux parallèles à une même droite. M d Proclus (Vè siècle ap. J.C.) : Lorsqu’une droite coupe l’une des parallèles elle coupe l’autre aussi. 5 - Somme des angles d’un triangle Proposition 32 d’Euclide, Al-Haytham (Xè-XIè siècles), Nasìr ad-Dìn at-Tùsi (XIIIè siècle), Saccheri (XVIIIè ) : A A+B+C = 2 droits C Les trois angles d’un triangle sont égaux à deux droits. B Proposition 32 d’Euclide : Un angle extérieur d’un triangle est égal aux deux angles intérieurs et opposés. A C = A+B C B Legendre (XIXè siècle) : Il existe un triangle dont la somme des trois angles est égale à deux droits. axiome de Worpitzki : Il n’existe pas de triangle dans lequel chaque angle peut être choisi aussi petit que l’on veut. Saccheri (XVIIIè) : La somme des angles d’un quadrilatère est égale à quatre angles droits. A D B C Clairaut, Alexis Claude (1713 - 1765) : Si dans un quadrilatère, 3 angles sont des angles droits, le quatrième est un angle droit. A B 2 A+B+C+D = 4 droits D si A, B et C sont droits, alors D est C droit 6- Symétrie centrale Veronese, Giuseppe (1854 - 1917) : Si deux droites sont parallèles, elles sont symétriques l’une de l’autre par rapport au milieu M de tout segment joignant un point de l’une à un point de l’autre. P Q d si d//d' et M millieu de PP' d' alors d et d' sont sym p.r. à M M Q' P' Pour toute autre sécante QQ’ passant par M, M est aussi le millieu de [QQ’]. 7 - Équidistance des parallèles Posidonius d’Apamée (135 - 50 av. J.C.), An-Nayrìzi (900) : Les droites parallèles sont équidistantes. d AA' = MM' pour tout M d' de d ou de d' A' si d et d' sont perpendiculaires à (AB), alors d et d' sont équidistantes M' Posidonius, Geminus (Ier siècle av. J.C.) : Il existe des droites qui sont équidistantes l’une de l’autre. Al-Khayyam, Omar (1040 - 1131) : Deux perpendiculaires à une même droite sont équidistantes A M A d d' B Proclus (Vè siècle), Al-Khayyâm (XIè siècle) : La distance entre deux parallèles est bornée. Proclus (Vè siècle) : Si deux droites sont sécantes, la distance d’un point de l’une à l’autre n’est pas bornée. d M' o MM' non bornée quand M s'éloigne indéfiniment de o d' M Aganis (VIè siècle ?) : Par un point extérieur à une droite il passe toujours une droite équidistante de la première. Posidonius (Ier siècle av. JC.); Al - Haytam (Xè-XIè) : Le lieu des points équidistants d’une droite et situés d’un même côté de cette droite est une droite. P Vitale, Giardano (1633 - 1711) : Il existe trois points alignés équidistants d’une droite. d P' Q Q' R R' il existe P, Q, R, alignés, tels que PP' = QQ' = RR' 8 - Propriétés du rectangle A Omar Khayyam (XIè-XIIè), Saccheri (XVIIIè): Un quadrilatère isocèle ayant deux angles droits a tous ses angles droits. 3 D B Si A et B sont droits et si AD = BC, alors C C et D sont droits Thalès (VIè siècle av. J.C.) Un angle droit est inscrit dans un demi-cercle. Saccheri (XVIIIè ) : Un angle inscrit dans un demi-cercle est droit. Thalès : si AMB est droit, (AB) est un diamètre du B cercle passant par A, M, B. M A Saccheri : si (AB) est un diamètre, alors pour tout M du cercle, AMB est droit Al - Gauharì (VIIIè - IXè) : La médiane d’un triangle rectangle est égale à la moitié de l’hypoténuse. B AM = BM = MC M C A 9 - Existence de figures semblables Wallis, John (1616 - 1703) : Pour une figure quelconque, il y en a toujours une autre, de grandeur quelconque, qui lui soit semblable. Wallis (XVIIè) : Pour tout triangle, il en existe un autre ayant un côté de longueur donnée et des angles égaux à ceux du triangle initial. Saccheri (XVIIIè) : Il existe deux triangles non égaux ayant leurs angles égaux deux à deux. Gauss, Carl Friedrich (1774 - 1855) : Il existe des triangles d’aire aussi grande que l’on veut . “Si je pouvais montrer qu’on peut construire un triangle contenant une aire donnée, je serais capable de prouver rigoureusement toute la géométrie.” 10- Position relative d’une droite et d’un angle Al - Gauhari (VIIIè Samarkandi (XIIIè) : - IXè),As - P d O M Par chaque point à l’intérieur d’un angle passe une droite qui coupe les deux côtés de l’angle. Q Legendre (XIXè) : D’un point quelconque intérieur d’un angle plus petit que deux tiers d’un angle droit, on peut mener une droite qui rencontre les deux côtés de l’angle. 4 d' Si dOd' n'est pas plat, si M est à l'intérieur, alors il existe P sur d tel que (PM) coupe d'.