éléments de géométrie plane

ÉLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE PLANE
I. DROITE ET SEGMENT
1. Généralités
Il existe une droite et une seule passant par deux points A et B distincts donnés, on la note (AB).
On peut dire que la droite passe par A, ou que A appartient à la droite.
Des points sont alignés s'il existe une droite à laquelle ils appartiennent tous.
Une droite partage le plan en deux demi-plans.
2. Droites sécantes ou parallèles
Deux droites sont sécantes si elles ont exactement un point en commun, dans le cas contraire elles sont
parallèles (on dit aussi qu'elles ont même direction).
Deux droites parallèles sont soit strictement parallèles (elles n’ont aucun point en commun) soit confondues
(égales).
Si deux droites sont parallèles, toute droite qui coupe l'une coupe l'autre.
Axiome d’Euclide : Par un point donné il passe une droite et une seule parallèle à une droite donnée.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, elles sont parallèles entre elles.
Des droites sont concourantes s'il existe un point par lequel elles passent toutes.
3. Demi-droite, segment et milieu d’un segment
Un point d'une droite y définit deux demi-droites. Chacune de ces demi-droites a un sens opposé de celui
de l'autre. Notation: [Ax) et [Ax’). A est leur origine.
Un segment de droite est une partie de droite comprise entre deux points, c’est l’intersection non vide de
deux demi-droites de sens opposés. Notation : [AB]
4. Distance, inégalité triangulaire, milieu d’un segment
La distance de deux points est la longueur du segment qu'ils déterminent. Notation: AB est la longueur du
segment [AB].
Inégalité triangulaire : A, B et M étant trois points du plan, on a toujours l'inégalité MA + MB ≥ AB.
Si MA + MB = AB. alors M est sur le segment [AB].
Si M est sur [AB], alors MA + MB = AB.
Le milieu d'un segment est 1e point du segment situé à égale distance des extrémités.
Le milieu I de [AB] est le seul point de (AB) qui vérifie IA = IB.
I
B
A
II. ANGLES GÉOMÉTRIQUES
1. Généralités
Deux demi-droites [Ax) et [Ay) de même origine constituent deux secteurs angulaires. Lorsqu'ils sont
inégaux, le plus petit est le secteur saillant, le plus grand est le secteur rentrant.
Ce secteur angulaire saillant détermine un angle géométrique. A en est le sommet, [Ax) et [Ay) en sont
les cotés, on le note x!
Ay . (On parle aussi d’angle saillant et d’angle rentrant).
2. Mesure des angles en degrés
Les angles géométriques se mesurent en degré avec la convention suivante : un tour = 360°.
L'angle nul est celui dont les côtés sont confondus. L'angle plat (ou demi-tour) est celui dont les côtés
forment une droite, il mesure 180°. L'angle droit est la moitié de l'angle plat, il mesure 90°. Autrement
dit : deux angles droits adjacents donnent un angle plat.
Deux angles égaux sont des angles ayant même mesure. On pourrait choisir aussi d'appeler angles égaux
des angles superposables : cette façon de définir l'égalité des figures, qui était celle d'Euclide, est passée
de mode. Dans le cas des angles, il est difficile d'adopter une définition de l'égalité considérée aujourd'hui
comme rigoureuse, sans tomber dans une complexité très nuisible à la pratique.
3. Somme de deux angles
x
Deux angles sont adjacents lorsqu'ils ont
même sommet et un côté en commun.
y
A
z
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Étant donnés deux angles adjacents x!
Ay et !
yAz , leur somme est l'angle x!
Az . Sa mesure est la
somme des mesures de x!
Ay et !
yAz . Deux angles sont complémentaires si leur somme est un angle
droit. Deux angles sont supplémentaires si leur somme est un angle plat.
4. Angle droit et perpendicularité des droites
Lorsque deux droites se coupent, si l'un des quatre angles est droit, les trois autres le sont.
On dit pourtant que les droites se coupent en formant « un » angle droit.
Deux droites sont perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit.
En géométrie plane, « orthogonal » est synonyme de « perpendiculaire ».
Par un point il passe une perpendiculaire et une seule à une droite donnée.
Deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.
5. Distance d’un point à une droite
La distance d'un point A à une droite D est la distance de ce point à son projeté orthogonal H sur la droite.
C'est la plus courte distance de A à un point de D.
Si deux droites dont parallèles la distance de tout point de l’une à l’autre est constante, cette
distance est appelée distance entre les deux parallèles.
6. Angles déterminés par deux sécantes ou par deux parallèles et une sécante
Ces propriétés découlent de la symétrie centrale.
Lorsque deux droites se coupent, deux angles qui ne sont pas adjacents sont dits opposés par le sommet.
Dans la configuration où D et D' sont parallèles et où d
coupe les deux droites, les angles 2 et 3 sont opposés par
le sommet, les angles 1 et 2 sont dits correspondants ; les
angles 1 et 3 sont dits alternes-internes.
Deux angles opposés par le sommet sont égaux.
Les angles correspondants sont égaux. Les angles
altemes-internes sont égaux.
III. LE CERCLE
1. Vocabulaire
Un cercle est l’ensemble des points du plan situés à une distance donnée d'un point donné. Ce point en
est le centre, la distance en est le rayon.
Un point est à l'intérieur quand sa distance au centre est inférieure au rayon. L'ensemble des points du
plan situés à l’intérieur du cercle de centre O et de rayon R est
le disque de centre O et de rayon R.
Un arc de cercle est un ensemble de points d'un cercle
compris entre deux points de ce cercle. Deux points distincts
" le plus
pris sur un cercle déterminent deux arcs. On note AB
petit des deux. Si nécessaire, notamment au cas où A et B sont
#.
diamétralement opposés, on précise l'arc un citant un point par lequel il passe : ABC
Des points sont cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.
Une corde est un segment joignant deux points d'un cercle. On développe l’image de l'arc et de la corde
jusqu’à appeler « flèche »le segment qui joint le milieu de la corde à celui de l'arc qu'elle sous-tend.
Un diamètre est une corde passant par le centre du cercle. On dit de ses extrémités que ce sont deux
points diamétralement opposés. Tout diamètre est axe de symétrie pour le cercle.
2. Mesures du cercle
Un rayon est un segment allant du centre à un point du cercle. « Rayon » désigne donc à la fois un
segment et sa longueur. Il en est de même pour le mot « Diamètre »
La longueur du cercle est 2π×R et l’aire du disque est π×R 2 .
3. Intersection d’un cercle et d’une droite, droite tangente à un cercle
L'intersection d'une droite et d’un cercle comporte zéro, un ou deux points.
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Une droite et un cercle qui ont deux points distincts en commun sont
sécants ; s'ils ont un point commun ils sont tangents ; s'ils n'en n’ont aucun,
ils sont disjoints.
Selon que la distance du centre d’un cercle et une droite soit strictement
inférieure, égale ou strictement supérieure au rayon, le cercle et la droite
sont sécants, tangents ou disjoints.
Pour qu'une droite passant par un point d'un cercle soit tangente à ce cercle
il faut et il suffit qu’elle soit perpendiculaire au rayon partant de ce point.
4. Intersection de deux cercles, cercles tangents
L’intersection de deux cercles distincts comporte
zéro, un ou deux points.
Deux cercles qui ont un point exactement en
commun sont tangents. On distingue les cercles
tangents extérieurement des cercles tangents
intérieurement.
Soient deux cercles, l’un de centre O et de rayon R, l’autre de centre C’ et de rayon R’. Pour qu’ils
soient tangents extérieurement il faut et il suffit que OO’ = R + R’ ; pour qu’ils soient tangents
intérieurement, il faut et il suffit que OO’ = R – R’ (on suppose par exemple que R > R’)
Lorsque deux cercles sont tangents, leurs tangentes au point commun sont confondues, et leurs centres
sont alignés avec le point de tangence.
IV. SYMÉTRIE ORTHOGONALE ET SYMÉTRIE CENTRALE
1. Définition et propriétés
d
Symétrie orthogonale d’axe d
O
Symétrie centrale de centre O
Si A a pour image B par une symétrie orthogonale ou centrale, alors B a pour image A.
Si I est le milieu de [AB] alors A et B sont symétriques par rapport à I.
La symétrie orthogonale ou centrale conservent l’alignement, les distances, les aires, les mesures des
angles géométriques.
Une figure F est symétrique par rapport à une droite d (à un point O) si le symétrique de tout point de F
est aussi un point de F ; la droite d est alors un axe (centre) de symétrie de la figure F.
L’image d’une droite par une symétrie centrale est une droite parallèle.
2. Médiatrice d’un segment
Si d est la médiatrice de [AB], alors d est perpendiculaire à [AB] en son
milieu.
M
Si d est perpendiculaire à (AB) et passe par le milieu de [AB], alors d est la
médiatrice de [AB].
Si d est la médiatrice de [AB] alors A et B sont symétriques par rapport à d.
Si MA =MB, alors M est sur la médiatrice de AB].
A
B
Si MA ≠ MB, alors M n'est pas sur la médiatrice de [AB].
Si M est sur la médiatrice de [AB], alors MA =MB.
Si M n'est pas sur la médiatrice de [AB], alors MB.
Si d contient deux points équidistants de A et de B alors d est la médiatrice de [AB].
Si d contient un point équidistant de A et de B et si d est perpendiculaire à [AB], alors d est la
médiatrice de [AB].
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3. Bissectrice d’un angle géométrique
La bissectrice (intérieure) d'un angle est la droite passant par le
sommet qui détermine avec les deux côtés de l'angle des angles
égaux.
La bissectrice (intérieure) est l'axe de symétrie de l'angle.
On prend parfois comme définition de la bissectrice : demi-droite
qui partage l'angle en deux angles égaux (située dans le secteur
saillant). Dans ce cas: un point du plan est équidistant des côtés de l’angle si et seulement s'il appartient à
la bissectrice.
V. LES TRIANGLES
1. Généralités
Le triangle est la figure formée par trois points et les trois segments qui les joignent. Les points
sont les sommets du triangle et les segments sont les côtés. Quand les trois points sont alignés on
parle de triangle aplati. Sauf indication contraire, on ne prend pas ce cas en considération. De chaque
sommet partent deux côtés, constituant ainsi un des trois angles du triangle. Le côté opposé à un
sommet (ou à l'angle qui lui correspond) est celui qui joint les deux autres sommets.
La somme des trois angles d'un triangle est égale à un angle plat.
2. Médiatrices d’un triangle
Les trois médiatrices (des trois côtés) d’un triangle sont concourantes.
Pour tout triangle il existe un cercle et un seul qui passe par les trois sommets. On l’appelle le cercle
circonscrit au triangle. Son centre est le point de concours des trois médiatrices
3. Bissectrices d’un triangle
Une bissectrice d’un triangle est la bissectrice intérieure d’un de ses angles.
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes
Pour tout triangle il existe un cercle et un seul, tangent aux trois côtés. On l’appelle, le cercle inscrit au
triangle. Son centre est le point de concours des trois bissectrices.
4. Médianes d’un triangle
Une médiane d'un triangle est une droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
Chaque médiane partage le triangle en deux triangles d’aires égales.
Les trois médianes d'un triangle sont concourantes. Leur point de rencontre est le centre de gravité du
triangle. Il est situé aux deux tiers de chaque médiane en partant du sommet.
5. Hauteurs d’un triangle
Une hauteur d'un triangle est une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé, le
point d’intersection avec ce côté (appelé base) s’appelle le pied de la hauteur.
La hauteur relative à une base est aussi la distance du sommet au pied, c’est la distance du sommet à la
base. L’aire d’un triangle est égal au demi-produit de la base par la hauteur relative à cette base, quelle
que soit la base choisie.
Les trois hauteurs d'un triangle sont concourantes. Leur point d'intersection est l'orthocentre du
triangle.
VI. TRIANGLES PARTICULIERS
1. Triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle dont un des angles est droit.
Un triangle rectangle n’a qu’un angle droit, les deux autres sont des angles aigus complémentaires.
Le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse.
L’hypoténuse est le plus long des trois côtés d’un triangle rectangle.
Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des côtés perpendiculaires.
Réciproque : si, dans un triangle, un côté est le plus long des trois et que le carré de ce côté est égal à la
somme des carrés des deux autres, alors ce triangle est rectangle et le plus long côté est son hypoténuse.
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L’orthocentre d’un triangle rectangle est le sommet de l’angle droit.
L’aire d’un triangle rectangle est égale au demi-produit des côtés perpendiculaires
Le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse et pour
centre le milieu de son hypoténuse. La médiane issue de l’angle droit est un rayon du
cercle.
Si le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre l’un des côtés alors ce triangle
est rectangle et ce côté est son hypoténuse.
2. Triangle isocèle
Un triangle est isocèle si deux de ses côtés, au moins, sont de même longueur.
Ces côtés égaux se rejoignent au sommet principal ; la base est le côté qui lui est
opposé.
Dans un triangle isocèle, la médiane, la hauteur et 1a bissectrice passant par le
sommet principal sont confondues. Cette droite est la médiatrice de la base. C’est
un axe de symétrie du triangle.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base (les angles autres que celui que
forment les côtés égaux) sont égaux.
Réciproquement : si deux angles au moins d'un triangle sont égaux, ce triangle est isocèle.
3. Triangle équilatéral
Un triangle est équilatéral si ses trois côtés sont de même longueur. Un triangle équilatéral est isocèle.
Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie : les médiatrices des trois côtés.
Dans un triangle équilatéral, les trois angles sont égaux ; ils mesurent 60°.
Réciproquement : si les trois angles d'un triangle sont égaux, ce triangle est équilatéral.
Dans un triangle équilatéral, le centre de gravité, l'orthocentre, le centre du cercle circonscrit et le centre
du cercle inscrit sont confondus.
3
Dans un triangle équilatéral de côté c, la hauteur est h = c ×
2
VII.QUADRILATÈRES
Un quadrilatère est la figure constituée de quatre points du plan, les sommets, et des six segments qui
les relient. Pour écarter, a priori, le cas du quadrilatère aplati, on suppose que l'on ne peut trouver trois
points alignés parmi les quatre.
Parmi les six segments, deux exactement se coupent ailleurs qu'en Lin sommet. On les appelle les
diagonales du quadrilatère ; les quatre autres segments sont ses côtés. Il s'agit là d'un quadrilatère
convexe, le seul dont il sera question par la suite. On peut envisager, avec les mêmes points, un
quadrilatère croisé, dans lequel les deux segments évoqués sont des côtés, et où les diagonales sont deux
des quatre autres segments (elles ne se rencontrent pas) ; il n'en sera pas question dans la suite.
Il est d'usage de désigner les sommets tels qu'ils se suivent sur le pourtour : ABCD est un quadrilatère
dans lequel [AB], [BC], [CD] et [DA] sont les côtés, [AC] et [BD] sont les diagonales.
La somme des angles d’un quadrilatère est égale 360°.
VIII. QUADRILATÈRES PARTICULIERS
1. Trapèze
Un trapèze est un quadrilatère dont deux côtés
au moins sont parallèles. On appelle ces côtés
les bases du trapèze, la hauteur est la distance qui sépare les deux bases.
L’aire d’un trapèze est égale au produit de la hauteur par la demi-somme des bases.
2. Parallélogramme
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
L’aire d’un parallélogramme est égale au produit de la hauteur et de la base, quelle que soit la base
choisie.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses côtés opposés deux à deux ont la même longueur.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles opposés sont égaux deux à deux.
Éric Roditi
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Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses angles consécutifs sont deux à deux
supplémentaires.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses deux
diagonales ont le même milieu.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors l'intersection de
ses diagonales est centre de symétrie.
Si les côtés opposés d'un quadrilatère sont parallèles deux à deux,
alors ce quadrilatère est un parallélogramme.
Si les côtés opposés d'un quadrilatère convexe sont deux à deux de même longueur, alors c'est un
parallélogramme.
Si les angles opposés d'un quadrilatère convexe sont deux à deux de même mesure, alors c'est un
parallélogramme.
Si les angles consécutifs d'un quadrilatère convexe sont deux à deux supplémentaires, alors c'est un
parallélogramme.
Si les deux diagonales d'un quadrilatère convexe ont le même milieu, alors c'est un parallélogramme.
Si un quadrilatère convexe a pour centre de symétrie l'intersection de ses deux diagonales, alors c'est
un parallélogramme.
Si un quadrilatère convexe a deux côtés à la fois parallèles et de même longueur alors c'est un
parallélogramme.
3. Rectangle
Le rectangle est un quadrilatère qui a ses quatre angles droits.
Si les côtés consécutifs d’un rectangle sont de longueurs différentes, le
plus long s’appellent la longueur et l’autre est la largeur.
L’aire d’un rectangle est égale au produit de deux côtés consécutifs.
Le rectangle est un parallélogramme. Il en a toutes les propriétés.
Le rectangle a ses diagonales de même longueur.
Le rectangle a deux axes de symétrie, qui sont les médiatrices des côtés opposés.
Le rectangle est inscriptible dans un cercle dont le centre est l'intersection des diagonales.
Si un quadrilatère a quatre angles droits, alors ce quadrilatère est un rectangle.
Si un parallélogramme a un angle droit, alors ce quadrilatère est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors ce quadrilatère est un rectangle.
4. Losange
Le losange a ses quatre côtés de même longueur.
Le losange est un parallélogramme, il en a toutes les propriétés.
Les diagonales du losange sont perpendiculaires.
L’aire d’un losange est égale au demi-produit des deux diagonales.
Le losange a deux axes de symétrie, qui sont ses diagonales.
Si un quadrilatère convexe a ses côtés de même longueur, alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux, alors c'est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.
5. Carré
Le carré est un quadrilatère qui est à la fois un rectangle et un losange
IX. POLYGONES RÉGULIERS
Un polygone régulier est un polygone inscriptible dans
un cercle et dont les côtés ont tous même longueur.
Le triangle équilatéral, le carré sont des polygones
réguliers respectivement à trois et quatre côtés.
Les rayons qui joignent le centre aux sommets découpent
le polygone régulier en triangles isocèles isométriques. L'étude de ces triangles donne les propriétés du
polygone.
L'hexagone régulier comporte six triangles équilatéraux.
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