la geometrie du triangle resume table des matieres

LA GEOMETRIE DU TRIANGLE
YVONNE ET RENE SORTAIS
RESUME
Cet ouvrage s’adresse essentiellement aux élèves des classes de seconde,
première S et terminale C, ainsi qu’à leurs professeurs. Le lecteur y trouvera une
succession d’exercice avec solutions, lui permettant d’explorer les richesses de
cette figure fondamentale en géométrie plane qu’est le triangle.
Les solutions proposées utilisent uniquement les outils mis à leur disposition
depuis la seconde jusqu’à la terminale C: théorème de Thalès, projections,
homothéties, symétries et rotations, barycentre, produit scalaire, angles inscrits.
Une rubrique rappelant les notions utilisées accompagne chaque énoncé. Afin de
rendre la recherche facile et attrayante, une attention particulière a été accordée à
la présentation des figures. Celles-ci sont en effet le support visuel essentiel de la
géométrie déductive qui est développée dans cet ouvrage.
Les exercices proposés sont regroupés par thèmes, chacun pouvant ainsi
approfondir l’étude selon son niveau et sa curiosité. Grâce à leur enchaînement,
les professeurs pourront facilement élaborer des problèmes de géométrie riches et
captivants.
L’objectif de cet ouvrage est de familiariser le lecteur avec les outils élémentaires de la géométrie déductive et de lui faire découvrir
les propriétés les plus classiques du triangle. En progressant dans sa lecture, il pourra savourer la recherche d’autres propriétés
moins connues mais tout aussi fascinantes. Les enseignants du second cycle des lycées y puiseront matière à étayer et à enrichir
leur enseignement.
TABLE DES MATIERES
1 Droite et cercle d'Euler
1 - Droite d'Euler 8
2 - Symétriques de l'orthocentre H par rapport aux côtés d'un triangle 10
3 - Cercle d'Euler et triangle médian 12
2 Théorème de Ménélaüs
1 - Théorème de Ménélaüs 16
2 - Droite de Newton d'un quadrilatère complet 20
3 Théorème de Céva 22
4 Triangle orthique
1 - Théorème de Nagel et triangle orthique 26
2 - Triangle orthique d'un triangle dont les trois angles sont aigus:
* trajectoire de lumière 28
* périmètre 30
5 Triangle de périmètre minimal inscrit dans un triangle donné 32
6 Triangle médian du triangle orthique - Cercle de Taylor
1 - Triangle médian du triangle orthique 36
2 - Cercle de Taylor 38
3 - Centre du cercle de Taylor 41
7 Droite de Simson - Droite de Steiner
1 - Droite de Simson 42
2 - Droite de Steiner 43
3 - Directions des droites de Simson 50
4 - Droites de Simson perpendiculaires 52
5 - Droites de Simson de quatre points distincts d'un même cercle 56
8 Point de Miquel - Cercle de Miquel
1 - Point de Miquel 58

1 - Point de Miquel 58
2 - Cercle de Miquel 61
3 - Le point de Miquel appartient au cercle de Miquel 62
4 - Point de Miquel et centres de similitudes 64
9 Paraboles tangentes aux trois côtés d'un triangle 66
Parabole tangente aux quatre côtés d'un quadrilatère complet 70
10 Bissectrices d'un triangle
1 - Propriétés barycentriques des pieds des bissectrices 72
2 - Cercles d'Apollonius 74
3 - Centre I du cercle inscrit et barycentre 76
4 - Centres des cercles exinscrits et barycentres 78
5 - intersection du cercle circonscrit et des bissectrices d'un triangle 80
6 - Segments déterminés sur les côtés d'un triangle par les points de contact
du cercle inscrit et des cercles exinscrits 82
11 Triangle dont les sommets sont les centres des cercles exinscrits 84
Triangle dont les sommets sont les points de contact du cercle inscrit
12 Point de Gergonne - Point de Nagel
1 - Céviennes isotomiques 88
2 - Points réciproques et coordonnées barycentriques90
3 - Point de Gergonne - Point de Nagel N 92
4 - Relations: + = , + = 94
( G isobarycentre de A, B, C: 0 centre du cercle circonscrit au triangle ABC)
( H orthocentre de ABC; 1 centre du cercle inscrit dans le triangle ABC)
13 Relations métriques dans le triangle 98
14 Relations trigonométriques dans un triangle 102
15 Cercles exinscrits - Cercle inscrit - Cercle circonscrit: relations métriques
1 - Relations liant les rayons de ces cercles 104
2 - Distances mutuelles des centres de ces cercles - relations d'Euler 106
16 Coordonnées barycentriques. de l'orthocentre
* de l’orthocentre
* du centre du cercle circonscrit 108
17 Figure de Vecten - Point de Vecten 114
18 Triangles semblables
1 - Triangles isométriques - Trois cas d'isométrie des triangles 118
2 - Triangles à côtés respectivement parallèles 122
3 - Trois cas de similitude des triangles 124
4 - Triangles directement semblables - Triangles indirectement semblables 126
19 Triangles inscrits dans un cercle donné , d'orthocentre donné H, 128
H intérieur strictement à
20 Isogonalité
A - Droites isogonales par rapport à deux droites sécantes 132
B - Isogonales de trois céviennes concourantes en un point du cercle circonscrit 136
C - Points isogonaux relativement à un triangle
1- Points isogonaux et triangles podaires de points isogonaux 138
2- Points isogonaux remarquables 140
3- Positions relatives de deux points isogonaux 142
4- Points isogonaux foyers d'une ellipse tangente aux trois côtés du triangle 144
5- Points isogonaux foyers d'une hyperbole tangente aux trois côtés du triangle 146
6 - Etude d'une réciproque: Théorème de Poncelet 150
21 Symédianes
1 - Construction d'une symédiane 152
2 - Point de Lemoine : coordonnées barycentriques 154
3 - Une construction du point de Lemoine 156
4 - Le point de Lemoine du triangle ABC est le seul point du plan qui soit isobarycentre de son triangle
podaire relativement au triangle ABC 158
5 - Théorème de Grèbe 160
22 Antiparallélisme et symédianes
A - Droites antiparallèles et symédianes 164
B - Cercles de Lemoine et cercles de Tucker

B - Cercles de Lemoine et cercles de Tucker
1- Premier cercle de Lemoine 166
2.- Cercles de Tucker 168
3.- Etude d'une réciproque 172
4.- Second cercle de Lemoine 174
23 Puissance d'un point par rapport à un cercle
Axe radical de deux cercles - Cercles orthogonaux 176
24 Axe orthique d'un triangle
1 - Pieds des hauteurs d'un triangle. Axe orthique 178
2 - Pieds des bissectrices et alignements 180
25 Théorème de Simson
1 - Le triangle podaire et le triangle circonpédal d'un point P sont directement
semblables 182
2 - Propriétés des triangles podaire et circonpédal 184
3 - Ensemble des points M du plan dont le triangle podaire relativement au
triangle ABC à une aire imposées 186
26 Théorème de Feuerbach 188
27 Cercles d'Apollonius
1 - Centres isodynamiques d'un triangle 194
2 - Alignement des centres isodynamiques, du point de Lemoine et du centre
du cercle circonscrit 196
28 Point de Torricelli - Problème de Fermat
1 - Point de Torricelli d'un triangle ABC 200
2 - Position du point de Torricelli 202
3 - Valeur minimale de la somme MA + MB + MC 204
Annexe: bissectrices 210
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