SYSTÈME DE DEUX POINTS MATÉRIELS 1) Centre de masse et masse réduite du système . Soient deux points matériels de masse m A et m B , situés en A et B. Le centre de masse G est défini par m GAm GB = 0 avec GB− GA = AB . A A B mB mA AB et GB = AB . m Am B m A m B mA mB 1 1 1 Par définition la masse réduite du système est µ = ou bien = . m A m B µ mA mB µ µ D'où GA =− AB et GB = AB . mA mB On en déduit GA =− (R) 2) Mouvement relatif . mB mA (RA) v Soient v A et v B les vitesses de A et B, à la date t, par rapport à un référentiel (R) quelconque. B G B vB A Le mouvement de B dans le référentiel R A en translation avec la vitesse v A par rapport à (R) est appelé mouvement relatif de B. vA Vitesse d ' entraînement de B: v e = v A pas de rotation de R A par rapport à R. Accélération d 'entraînement : a e = a A , accélération complémentaire : ac = 0. d AB Vitesse relative de B: v = v B− vA ⇒ v= dt Accélération relative : a = a B− aA d v d 2 AB a= = 2 dt dt 3) Grandeurs cinétiques dans le référentiel propre (R*) . a . Quantité de mouvement . d GA d AB d GB d AB p*A = m A v *A = m A =−µ ; p *B = m B v*B = m B =µ dt dt dt dt b . Moment cinétique . µ µ * = L GA∧p*A GB∧ p *B = − AB∧−µ v AB∧µ v mA mB c. Énergie cinétique . *2 *2 1 1 pA pB 1 µ2 v 2 µ2 v 2 * *2 *2 Ec = m A v A m B v B = = 2 2 mA mB 2 mA mB d .Conclusion : particule réduite . p*B = −p*A = µ v L* = AB∧µ v E*c = 1 µ v2 2 C'est un point fictif M de masse égale à la masse réduite µ et tel que GM = AB . d GM d AB d v * Dans R , ce point a la vitesse v = = et l ' accélération a = . dt dt dt Donc le mouvement de la particule réduite dans (R*) est identique au mouvement relatif de B par rapport à A. Le moment cinétique et l'énergie cinétique de la particule réduite sont constamment égaux à ceux du système dans (R*). Connaissant le mouvement de M, on en déduit ceux de A et B par deux homothéties: µ µ GA =− GM et GB = GM. mA mB Si m A ≫ m B alors µ ≈ m B , GB ≈ GM et GA ≈ 0 : A est pratiquement confondu avec G, donc A est immobile dans (R*), et B est confondu avec la particule réduite M. 1 4) Système isolé . Les deux points A et B ne subissent pas d'autre force que leur interaction. v est un vecteur constant. Donc m A m B aG = F ext = 0, G Le centre de masse G a un mouvement rectiligne uniforme et (R*) est galiléen. a . Relation fondamentale . d pB d v Dans R * , f B = f *B = =µ = µ a . dt dt Le mouvement de la particule réduite M est celui d'un point matériel de masse µ soumis à la force, f colinéaire à M B A B f B G AB donc à GM. On dit que f B est une force centrale et l'accélération a est également centrale. z b .Théorème du moment cinétique . * d L * =M G,ext = 0 donc L est un vecteur constant . dt Or L* = AB∧µ v = GM∧µ v ⇒ le rayon vecteur GM * toujours perpendiculaire à L est dans un plan fixe. A La trajectoire est plane . GM ρ= θ L* M B G fB x d GM * = L GM∧µ = ρ eρ∧µ ρ̇ eρρ θ̇ eθ = µ ρ2 θ̇ ez . dt 2 2 La quantité ρ θ̇ est donc constante au cours du mouvement: ρ θ̇ = C. Cette relation est dite ''intégrale première du moment cinétique'' parce qu'elle ne contient que la dérivée première de θ. On retrouve ce résultat à partir de l'accélération, centrale c'est-à-dire radiale, donc de composante 2 1 d ρ θ̇ orthoradiale nulle: a θ = ρ θ̈2 ρ̇ θ̇ = = 0 ρ2 θ̇ = C. ρ dt M' c. Interprétation géométrique: loi des aires . Pendant la durée dt, le rayon vecteur GM tourne de d θ et balaie la surface dS du triangle curviligne GMM': dθ 1 1 2 dS C ρ dS = ρ ρ d θ = ρ d θ = . 2 2 dt 2 G dS La vitesse aréolaire est constante, égale à la moitié de la constante des aires C. dt ρ dθ M x D'où la loi des aires: le rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux . Conséquences: • la vitesse angulaire θ̇ a toujours le même signe, le point M parcourt sa trajectoire toujours dans le même sens. • ∣ θ̇ ∣ augmente quand ρ diminue c'est-à-dire quand M se rapproche de G. La valeur absolue de la vitesse angulaire est maximale au péricentre , point de la trajectoire le plus proche de G, et minimale à l 'apocentre . 2 d. Énergie . 1 2 µv . 2 Si la force d'interaction entre les deux particules dérive d'une énergie potentielle Ep , ne dépendant que de la distance entre particules, l'énergie mécanique totale du système est égale à E * = E cE p . 2 1 1 1 1 C E* = µ v 2 E p = µ ρ̇2 ρ2 θ̇2 E p avec ρ2 θ̇ = C E* = µ ρ̇2 µ 2 E p ρ. 2 2 2 2 ρ * Or le système étant isolé, son énergie mécanique totale E est constante. L'équation précédente, dite ''intégrale première de l'énergie'', permet théoriquement de déterminer ρt, puis 2 en reportant dans l'intégrale première du moment cinétique ρ θ̇, on obtient θt . 1 C2 Pour résoudre cette équation, on sépare les variables en remarquant que la quantité µ 2 E p ρ ne 2 ρ dépend que de ρ et s'appelle énergie potentielle effective E p eff . Dans (R*) l'énergie cinétique du système vaut E c = 2 D'où ρ̇ = 2 * dρ 2 * E −E peff =± E −E peff ou µ dt µ dρ 2 =± dt. µ E −E peff * e. Relations de Binet. Ces deux relations expriment les vecteurs vitesse et accélération de la particule réduite en fonction de u = 1 ρ et de ses dérivées par rapport à θ, u 'θ et u ''θ . 1 d u' u' u dθ v = ρ̇ eρρ θ̇ eθ avec ρ̇ = = −θ̇ 2θ ; v = θ̇ − 2θ eρu eθ . d θ dt u u 2 2 La relation ρ θ̇ = C s' écrit aussi θ̇ = C u d 'où v = C−u 'θ eρu eθ. d u 'θ d v du On en déduit a= =C − eρ−u 'θ θ̇ eθ e −u θ̇ eρ . dt dt dt θ d u 'θ du '' 2 2 '' a = C − θ̇ eρ−u 'θ θ̇ eθ θ̇ eθ −u θ̇ eρ =−C θ̇ u u θ eρ ⇒ a = −C u uuθ eρ dθ dθ Connaissant la force d'interaction f(u), la relation fondamentale donne l'équation différentielle de la f u trajectoire : f u = f u eρ = µ a ⇒ u ''θ u =− d 'où la trajectoire u θ. µ C2 u 2 Réciproquement, connaissant la trajectoire u θ, on en déduit a puis la force d'interaction f u . ___________________________________________________________________________________________ Deux particules en interaction sont distantes de r. Déterminer la loi de force entre ces particules si la particule réduite a une trajectoire dont l'équation en coordonnées polaires est: θ • r = a e . Déterminer la vitesse relative en fonction de r. • r = a cos θ. θ . 2 p •r= , p 0, e 1. 1e cosθ a •r= . cosθ • r = a th 3