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LA HOUILLE BLANCHE 159
qu'elle nécessite puisque la présence d'un homme n'est plus
nécessaire, on peut présumer que l'exemple donné par la
commune de Chàtillon-sur-Chalaronne sera suivi par beau-
coup d'autres.
Ajoutons, en terminant, que ce démarreur automatique
peut trouver beaucoup d'autres utilisations en dehors de
son application aux pompes et qu'il pourra rendre de très
grands services chaque fois que l'on aura en vue une instal-
lation automatique quelconque dont l'arrêt ou la mise en
marche devra être effectué par un simple curseur venant
tour à tour en contact avec deux plots (commande automa-
tique de la pompe d'alimentation d'une chaudière par
exemple). Ce même démarreur pourra enfin être utilisé avec
succès pour la mise en marche, ou l'arrêt, demoteurs placés
à distance ou dans des endroits inaccessibles. L'appareil
des contacts devient alors un simple commutateur à deux
directions, l'une pour la marche, l'autre pour l'arrêt,
P. Bfrgeon,
Ingénieur électricien.
Remarques au sujet de l'emploi de la méthode de M. Alliévi
pour le calcul des coups de bélier
Dans la méthode de M. Alliévi, si / est la longueur de la
conduite et a la vitesse de propagation (*), on doit consi-
2 l
dérer des périodes successives de longueur égale à — , Si
alors F et V sont la pression et la vitesse dans le tuyau à
l'extrémité du côté du distributeur, on a pendant la première
période de longueur — :
V
Y
où/0 et vQ sont Jes~ valeurs de Y et F à l'état de régime,
avant la mise en mouvement du distributeur, et \ le rapport
entre l'ouverture ~du distributeur à un instant quelconque
de cette période, à son ouverture à l'état de régime lorsque
la vitesse est p0. Ces trois équations font connaître Y, F,
F(t) pendant la première période.
On a ensuite pour une période quelconque :
2 /
Y=7o + F(t)~Fit-~
°u X« est le rapport de l'ouverture du distributeur à un
instant quelconque de la ;ze période que nous considérons,
à son ouverture, à l'état de régime.
Ces'trois équations, où F (^t— est connu au moyen
0 D'après M. Alliévi :
^diamètre,
e
épaisseur du tuyau. K =± o,S pour le fer et l'acier, «t
pour la fonte.
des équations semblables relatives à la période précédente,
feront connaître F, F et F (t) pendant la période que nous
considérons.
La méthode que nous venons de rappeler est celle due à
M. Alliévi, mais elle est le plus souvent susceptible d'une
très importante simplification.
Soit |„ la valeur du coup de bélier pendant la m période,
les équations précédentes s'écriront pour la première
période :
F(t)
1 +
a V fo
et pour l'une quelconque des périodes suivantes
(0
00
Le plus souvent
sera inférieur à - et dans ces conditions on pourra prendre :
On a en effet
v
+ i-\/I + H0'02525
-~yA-ï=°'04a89
et cette différence peut être négligée, vu le degré d'approxi-
mation qu'il s'agit d'obtenir.
On peut même remarquer que ce que l'on a surtout
intérêt à calculer, c'est le coup de bélier positif ; or si la
formule :
y/
, + L»
=
x + Jb.
n'est évidemment pas applicable au coup de bélier négatif
pour \n — f0, elle donnera encore une approximation,
somme toute suffisante, pour le coup de bélier positif, car
on a :
1 _|_ I __y/ j + 1 = 0,08579
de sorte que la différence n'atteint pas^et que sa valeur
relative est seulement de 0,06 environ. Nous prendrons
donc :
?»
y0
27o
(3)
et d'après ce qui précède cette substitution sera légitime,
dans le cas général, pour \
n < ^ et
dans le cas où nous
nous bornons à considérer les coups de bélier positifs, pour
Nous déduirons alors des équations (2) et (3) ;
5„ = F(0-i-(f-V) (4)
'-<o+^-V')=?[--'--(-+t?)] <5>
Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1905038

160
LA HOUILLE BLANCHE
Si nous appliquons maintenant Péquation (4) à toutes les
périodes précédentes, en remarquant que pour la première
on doit remplacer les équations (2) par (1), nous aurons :
«.-.=4-VH(«-¥
t.-'i'-'-^ï-ri*-*-^
En ajoutant ces équations on aura :
F(0 = £« + ^-i + + 59 + 5i (6)
où t satisfait à la relation :
2 1) / 2 « /
On aurait pour la période précédente :
f('-t)=5"-4 +
5*"9++5a
+ 5i (7)
Des équations (6), (7) et (5) on déduit alors :
On aura d'une façon semblable :
-•f[-^-(' + fef)] i(9>
On aura alors en retranchant (9) de (8) :
U+ Sn-1 = -^T [*n-l — — J (IO)
Comme d'ailleurs les équations (i)et (3) donnent pour la
première période :
On déduit de (10) et (11) :
5l — (t2)
Dans ces formules £tt désigne la valeur du coup de bélier
à un instant quelconque de la ««* période, pour laquelle :
(n — 1) / ^ . ^ ni
2 - — < t < 2 —
a a
*U désignent les valeurs du coup de
bélier à l'instant correspondant de Tune des périodes précé*
dentés, c'est-à-dire pour / égal à :
%J t
a
4 / t —
2 (n — 1) /
de même \n désigne le rapport de l'ouverture du distribu-
teur à un instant de la n* période à son ouverture à l'état
de régime initial, et Xn_i, X»_2. •.. X4 ce même rapport
à l'instant correspondant de Tune des périodes précé-
dentes.
pétant connu par les formules (12) et (i3), F (t) s'en
déduira par la formule (6).
Si on veut alors avoir la vitesse et la pression dans une
section située à une distance x du distributeur, elles sont
données par les formules suivantes de M. Alliévi :
X
V = P,
a , (H)
2 l — X\
a
Ceci posé, supposons d'abord qu'il s'agisse d'une ferme-
ture brusque.
On ferme l'orifice d'écoulement d'une certaine fraction et
on maintient cette fermeture partielle, dans ce cas Xd est une
quantité constante et on a X2 — X3 — ...... = Xtt — )M.
On a de plus :
(16)
p{ étant la vitesse de régime qui tend à s'établir après la
fermeture partielle. Dans ce cas, les formules (i2)et(i3)
donnent, en tenant compte de (16) :
a
"g
P>
1 — CLP{
2gJo
Les coups de béliers successifs forment donc une pro-
gression géométrique décroissante, dont le premier terme
est :
Pa — VA
a
g
1 +
X
avK
et la raison
a v{
a v{
Cette progression sera très généralement alternée et les
coups de bélier sont, par suite, alternativement positifs et
négatifs. Il n'y aurait d'exception que si on avait :
a p{
*gr<>
> 1
en supposant en même temps que Ç4 ne dépasse pas *a
limite où la simplification que nous avons employée reste
applicable.

LA HOUILLE BLANCHE
même en tous les points du tuyau ; ainsi pour / = — on a,
quel que soit
pour £ = ^~
on a : v = v^
2~~f(i{+
6/ a
pour f = —
on a : v = z>0- ^(^+ £2+ £3)
et ainsi de suite.
Cette remarque nous permet de tenir compte de
l'influence de la perte de charge dans le calcul du coup de
bélier.
Si en effet H est la charge à l'état statique, ri{ la perte dp
charge correspondant à la vitesse z>0, que Ton peut calculer
au moyen des formules de Darcy, on a à l'instant initial
pour t = o :
^0=tf - t),
2 /
A la fin de la première période, pour t = —, tous les
points dans le tuyau ont, d'après ce que nous venons de
voir, la même vitesse :
i H
On calculera alors la perte de charge YJ' correspondant à
cette vitesse v\ si v'^> o, et à la vitesse — v\ si t? <C o ; dans le
premier cas la charge de régime serait H — Y}\ et par suite
le coup de bélier :
Dans le second cas où v* < o (YJ' étant alors la perte de
charge correspondant à la vitesse — *>') la charge de régime
serait H + vj' et par suite le coup de bélier :
?i + fti + V
On pourrait opérer de même pour les périodes suivantes.
Cette influence de la perte de charge ne sera toutefois
sensible que pour les très hautes chutes où la perte de
charge atteint parfois une valeur assez importante. Ce qui
précède s'applique sans changement au cas d'une fermeture
totale, seulement dans ce cas vx — o et la raison de la pro-
gression devient égale à — i et on a :
^ — £2 = £3 =
de plus v* — — P0.
Passons maintenant au cas d'une fermeture progressive.
Dans ce cas les formules (12) et (i3) nous donnent:
a^
(<->,)
I
= J> (12)
*gn 1
ln=
JLJ__ i^—LBg. (,3)
1 A X/t i -J \n
Ces résultats doivent toutefois être corrigés de l'influence
de la perte de charge qui, pour les hautes chutes, peut avoir
une influence assez notable.
Pour nous en rendre compte, examinons d'abord ce qui
se passe dans une section située à une distance x du distri-
buteur. Pour cette section, la pression et la vitesse sont
données par les formules (14) et (i5), d'ailleurs :
F (t) = o pour t < o
et F(0 = f» + £*-* + .+
2 (n — 1) l 2 ni
pour < t < —
Il résulte de là que, pour :
a
f</<l!zi5 y=y0+ti " = *o-f*i
2 / - „V , ^ 2 l + X 2g y
<*<-— y=y0 * = *0--f *«
a ci ci
a a ci
et ainsi de suite.
On voit d'abord que dans cette section le coup de bélier
se produit avec la même intensité qu'à la vanne, mais pen-
dant un temps beaucoup moins long. Si on prend la valeur
moyenne du coup de bélier pendant chacune des périodes,
de durée — , on voit :
a 2 l
que pendant la première, de£=oàf= — , cette
valeur moyenne est égale à :
2 (/ - x)
ï a — ï l~~x
a
pendant la seconde période, de t = — à t——, elle sera
de même égale à : a a
y l — x
et ainsi de suite.
On voit donc que si la valeur maxima du coup de bélier
es* la
même en tous les points du tuyau, sa valeur
moyenne pendant chacune des périodes successives de
durée égale à est, au lieu de cela, proportionnelle à la
distance de la section que Ton considère à l'origine du
tuyau.
Si nous considérons maintenant la fin de chacune des
diodes, c'est-à-dire les instants *
=
* = 4* * = *L',
a ci a
n°us voyons qu'à chacun
de ces instants la vitesse est la

162 LA HOUILLE BLANCHE
Si nous supposons de plus que la vitesse de fermeture
est uniforme nous aurons :
•> « _ 2/
À n — i A n —•
a 1
Tdésignant le temps que demanderait la fermeture totale.
La formule (i3) deviendra par suite :
2 / Va
l
a v0
X„-
gTfo
2 gj'o
Posons maintenant :
in = Kn + «
a étant indépendant de et par suite aussi
Déterminons de plus a par la relation :
(16)
d'où
g TfoJ
1
2 / Vp
g T
a v„
ïgfo
A».
2 g Ty0
v0 l
gTr
C M —1
('7)
(18)
ou
2 £' Jo
*gSo
• X„_i
a Va
(18')
Ah
2
£To
D'ailleurs des formules (12), (16) et (17) on déduit
a Va , . . / z>n
g v " g-?
I +
*gyo
X,
v0 /
*gTn
a(i-)H)-Th +
a r0
2?>o
1 +
2 £To
V
I —
^0 \
££<1_X)_I_JL*JL
(19)
1 +
2gTo
Les formules (18') et (ig) permettent alors de calculer
de proche en proche tiy Ç2 .. , Ç* et-(i6) permettra d'en
conclure ln.
On aura ainsi :
a v
c = (-0
H —1.
^X„_I 1 —
2 g^O „ 2 ^„
"0 •)
A«-
-x-
2g-r0
1 + a vQ
ï~gJ'o
X».
X
2£To
I +
igïo
(20)
On déduit alors de (20) et (16) :
2 £To.
ou
a^o y (21)
A « .
1 + -^.*. \
*gn /
Ces formules ne doivent être appliquées que jusqu'au
moment de la fermeture totale ou plus généralement jus-
qu'au moment de l'arrêt de la vanne.
On est conduit, pour l'application de cette formule, à dis-
tinguer deux cas : a p0
i°
< 1
Dans^ ce cas \ décroît de i à i ~ lorsque / croit
2 / al
de o à —, et comme de plus :
a
r
il
aT
on a toujours :
0
Par suite la valeur maxima du coup de bélier aura lieu
i et t = —, et cette valeur sera la valeur corres-
a
7
pour n
pondante de ^ pour : il
aT
c'est-à-dire
2 l Va 1
gfo V2 T
(M)
La valeur minima du coup de bélier aura lieu ensuite
pour n = 2 et sensiblement à la fin de la période, c'est-à-
4 / , . 2 i
dire pour t — — et on a alors, puisque \ = 1 f)
T ci ci i
x ±l
I —
V 2 ^ro/ L ff.ro \2 r/j .
[•+^e~4)j[-+AC-v)]
Cette formule fait voir que £m est encore positif. Le
coup de bélier croîtra ensuite de \m à une valeur inférieure
à \m & ainsi de suite. Nous remarquerons dans ce cas que
la valeur du coup de bélier maximum qui, si ^est petit,
pourra s écrire :
2 / Va
sm — .
(«1
est beaucoup plus forte que celle que Ton déduit de lafot'
mule (36) ou 36 Ws) de M. Alliévi. Celle-ci en effet m ou
(*) Errdésïgnant par [Ç«] la valeur absolue de Ç n.
(**) On a | > ^, puisque Ton suppose que la dure'e de la fermeture
dépasse celle du coup de bélier simple.

LA HOUILLE BLANCHE
163
suppose que Ton puisse négliger les termes de Fordre du
carré de :
se
réduit
n — lvn
et on a : ç m —
gT\ zg-Ty0
Si donc il s'agit d'une très haute chute, pour laquelle
vjt
est petit, ;a/ sera près du double de c'a/.
gfo
20 Supposons maintenant :
zgfo
> i
C)
Dans ce cas Ç2 sera de même signe de Ç4 au moins au
ébut, lo
temps si
début, lorsque / varie de à et même pendant tout le
2 gfo \ aTJ
Dans ce cas dans l'expression (21) de le produit :
*gfo
2 gfo
1 —
2 gn
\n — i
se composent de facteurs dont les premiers, ou le premier,
sont négatifs et les autres positifs, il y en aura par suite,
parmi eux, la différence d'un facteur au suivant, égale à :
2 g fa
étant faible en général (***), un certain nombre qui seront
petits et le produit sera lui-même très petit, de sorte que Çm
deviendra sensiblement constant et égal à a.
Si nous prenons l'exemple traité par M. Alliévi, nous
avons : a pt
0 _
= 1,416
et :
a =
41,89
Si nous calculons alors la valeur des coups de bélier à la
fin des périodes, c'est-à-dire pour t = ~ , on aura :
\ = 1
Aq = I
2 / 8 22
a T~
I_35 =
3o
4/_ _ i6_
40 14
aT~
_ i6_
40 3o
0 C'est ce qui a lieu dans l'exemple choisi par M. Alliévi où
* = iooo, v0 = 2,5o;rô =90, / = 400, r = 3.
a alors ;
a v.
0 1,416
H C'est ce qui a lieu dans l'exemple traité par M. Alliévi où :
O Dans l'exemple de M. Alliévi elle est égale à o,38.
et : |4 —
oc
2gTo
la = «
I +
I + >M
a j>0
2£To
-J= 33,34
2 £To '
Mais
1 + I +
le.
— T = O.416
I —
ign
2 gfo
\ = — o,o384
*gn
de sorte que :
? r 0,416 x 0,00841
t co
à partir de Ça le coup de bélier restera sensiblement égal
à a.
Les résultats indiqués par M. Alliévi sont donc exacts
pour le cas particulier qu'il a traité, mais il a eu complète-
ment tort de les généraliser, ces résultats ne sont vrais
que pour le cas de :
121
2 gfo
> 1
et ils sont ainsi que nous l'avons fait voir complètement
différents dans celui de :
* gJro
< 1
qui sera de beaucoup le plus fréquent si la hauteur de chute
est un peu considérable.
Ces formules précédentes ne doivent être employées que
jusqu'à l'arrêt de la vanne, à partir de cet instant on doit
employer la formule (i3) :
g I —
1 +
* gjo
*gJro
X»
I +
2 P*
gj'o
où X» a la valeur fixe qui correspond au point où on a
arrêté la vanne et où X»_i, varie de la valeur qu'il avait au
moment de l'arrêt de la vanne jusqu'à \n . Lorsqu'il se sera
2 /
écoulé un temps égal à — depuis l'arête de la vanne on
aura Xn-i = XM et par suite
«n = —É,
I — a p0
*g7ù
avn
2g7o
X«
où pQ X» = vi
et on retombe sur les formules relatives au cas d'une fer-
meture brusque.
Conclusions et Formules pratiques.
Toute$ les fois que le coup de bélier ne dépasse pas la
charge on déduit de la théorie de M. Alliévi, par la sim-
plification que j'ai indiqué, les valeurs suivantes pour le
maximum Çm du coup de bélier ;