Compléments sur les polynômes 1 Factorisation Propriété Deux fonctions polynômes sont égales si et seulement si elles ont le même degré et les mêmes coefficients. Théorème (Factorisation) Le nombre a est racine du polynôme f si et seulement si on peut mettre (x − a) en facteur dans l’expression de f (x). Alors, on a f (x) = (x − a)g(x) Remarque : si deg(f ) = n alors deg(g) = n − 1. Exemple : f (x) = 4x3 − 3x2 − 5x + 2 On remarque que f (−1) = 0. Donc on peut factoriser f (x) par (x+1). Comme f est de degré 3, f (x) s’écrit f (x) = (x + 1)(ax2 + bx + c). Après identication des coefficients, on obtient f (x) = (x + 1)(4x2 − 7x + 2). Exercice 1 Pour tout x ∈ R, on pose P (x) = −2x3 + 3x2 − 6x + 5. En remarquant une racine évidente, factoriser P (x) et résoudre P (x) > 0. Exercice 2 −2x2 − 9x + 2 Soit f la fonction définie pour tout x 6= −5 par f (x) = x+5 1. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout x 6= −5, c f (x) = ax + b + . x+5 2. En déduire que la courbe de f admet une asymptote oblique en +∞ et en −∞ dont on précisera une équation. Rappel : La droite (d) d’équation y = mx + p (m 6= 0) est asymptote oblique à la courbe de f en +∞ si lim f (x) − (mx + p) = 0. x→+∞ 2 Lien entre coefficients et trinômes du second degré racines des Soit f (x) = ax2 + bx + c, avec a 6= 0. On pose ∆ = b2 − 4ac. On suppose ici que ∆ > 0, donc f admet deux racines x1 et x2 . ax2 + bx + c = a(x − x1 )(x − x2 ) c b 2 a x + x+ = a x2 − (x1 + x2 )x + x1 x2 a a Par identification : x1 + x2 = − b a x1 × x2 = c a Théorème (Somme et produit des racines) Si le polynôme ax2 + bx + c a des racines (i.e. ∆ > 0), leur somme est b c − et leur produit est . a a Exercice 3 (Calcul mental) Pour chaque trinôme f (x), trouver une racine évidente, déterminer l’autre racine, et en déduire une forme factorisée de f (x). 1. f (x) = x2 − 4x − 5 2. f (x) = 2x2 + 10x − 12 3. f (x) = −x2 + 5x − 6 Remarque Deux nombres ont pour somme S et pour produit P si et seulement si ce sont les racines du polynôme x2 − Sx + P . Exercice 4 Existe-t-il des rectangles dont le périmètre mesure 22 cm et l’aire 24 cm2 ? Lesquels ?