énoncé

Spé ψ 2015-2016
Devoir n°1
MÉCANIQUE DU POINT - ÉLECTROCINÉTIQUE
Rosetta est une mission spatiale de l'Agence spatiale européenne dont l'objectif principal est
de recueillir des données sur la composition du noyau de la comète 67P/TchourioumovGuérassimenko et sur son comportement à l'approche du Soleil.
La sonde spatiale s'est placée en orbite autour de la comète puis, après une période
d'observation de plusieurs mois, a envoyé le 12 novembre 2014 Philae, un petit atterrisseur, se poser
sur sa surface pour analyser la composition de son sol et sa structure.
Données :
masse de la comète : mcom = 1,0×1013 kg ;
masse volumique de la comète : µcom = 400 kg⋅m–3 ;
période de rotation propre de la comète : Tcom = 12,4 h ;
constante gravitationnelle : G = 6,67×10–11 U.S.I.;
distance de largage par rapport au centre : rlarg = 22,5 km ;
masse de la sonde Rosetta : mRos = 1500 kg ;
masse de l’atterrisseur Philae : mPh = 98 kg ;
vitesse de la lumière dans le vide : c = 3,00×108 m⋅s–1.
La comète est modélisée par une boule homogène de masse mcom et de masse volumique
µcom.
La distance entre un point M et le centre C de la comète est notée r = CM.
Champ gravitationnel de la comète
1) Déterminer le rayon rcom de la boule équivalente à la comète.
2) On peut montrer que le champ gravitationnel g com dû à la comète, s’écrit
m g com = − G com
e r (pour r > rcom). Quelle est la dimension de la constante G ?
r2
3) Peut-on considérer le champ gravitationnel de la comète uniforme lors de la chute du module Philae, suite à son largage ?
Rosetta autour de la comète
Avant de larguer l’atterrisseur Philae, la sonde Rosetta s’est rapprochée par paliers de la
comète. Le 10 septembre 2014, elle se situe sur une orbite circulaire de rayon r1 = 30 km.
On définit le référentiel “ cométocentrique ” R0, dont l’origine est le centre C de la comète
et dont les axes pointent vers des étoiles lointaines considérées comme fixes. Il est considéré comme
galiléen.
4) Montrer que, dans le référentiel R0, la trajectoire de la sonde est plane pendant la mise en
orbite.
5) Exprimer la vitesse v1 de la sonde en orbite circulaire de rayon r1 autour de la comète, en
fonction de G, mcom et r1. Effectuer l’application numérique.
6) En déduire sa période T1. Effectuer l’application numérique.
Spé ψ 2015-2016
page 1/5
Devoir n°1
La sonde parcourt, à partir du 8 octobre 2014, une orbite elliptique avec un apocentre A
situé à la distance ra = rmax = 20 km du centre C de la comète et un péricentre P caractérisé par
rp = rmin = 10 km . Le 15 octobre, la propulsion est utilisée pour placer la sonde sur une orbite circulaire de rayon rp = 10 km .
7) Représenter sur un schéma l’orbite elliptique, en faisant apparaître le centre C de la comète, ainsi que les distances ra et rp. Exprimer l’énergie mécanique de la sonde sur l’orbite elliptique en fonction de ra et rp.
8) Sur cette orbite, en déduire la vitesse vP de Rosetta en P, en fonction de G, mcom, ra et rp.
Effectuer l’application numérique.
9) Pour placer la sonde en orbite circulaire de rayon rp, la propulsion est utilisée lorsque Rosetta est au péricentre. Préciser numériquement la variation de vitesse ∆v nécessaire.
La modification de la vitesse de la sonde est obtenue par éjection de gaz dans les tuyères des
propulseurs. En considérant que le mouvement de la sonde est rectiligne pendant la durée de
l’éjection, l’équation du mouvement , que l’on ne demande pas de retrouver, s’écrit
dv ( t )
dm ( t )
m (t )
=−
ve où m(t) est la masse totale de la sonde, carburant compris, à l’instant t, v
dt
dt
sa vitesse à cet instant et ve la vitesse d’éjection des gaz supposée constante.
10) Établir l’expression de la masse ∆m de carburant nécessaire pour obtenir la variation ∆v
de vitesse, en fonction de ve, ∆v et mCIRC la masse totale de la sonde sur sa trajectoire circulaire.
Trajectoire de Philae
Approche numérique de l’équation du mouvement
On étudie la chute libre de l’atterrisseur Philae, dans un référentiel dont l’origine est le
centre O de la comète et qui tourne avec Rosetta, de sorte que le vecteur e r pointe constamment
d 2r vers l’atterrisseur (accélération a = 2 e r ). Ce référentiel peut être considéré comme galiléen.
dt
11) Établir l’équation du mouvement de l’atterrisseur Philae, une fois séparé de Rosetta, en
projection sur l’axe radial.
Cette équation peut être résolue numériquement. Une partie du programme de résolution de
cette équation par la méthode d’Euler est donnée ci-après, la déclaration des variables r0 et vr0
étant supposée déjà effectuée. De plus, dt et nbdt correspondent respectivement au pas de temps et
au nombre de pas de temps de la simulation.
1 def equadiff(r, vr) :
2
gm = (6.67e-11)*1e+13
3
return .............
4 def
5
6
7
8
9
10
#à compléter
Euler ( dt , nbdt ) :
r=[r0]
#condition init . sur l’a distance
vr=[vr0]
#condition init . sur la vitesse
for i in range( nbdt) :
vr.append(vr[i] + .............. )
# compléter
r.append(r[i] + ..............)
# compléter
return r
12) Écrire les lignes 3, 8 et 9 à compléter dans le code précédent permettant d’effectuer une
résolution de l’équation différentielle précédente par la méthode d’Euler.
L’évolution temporelle de la distance r est représentée sur la figure 1, à partir de la distance
dr
initiale r(t = 0) = rlarg, pour différentes vitesses verticales initiales v0 = ( t = 0 ) .
dt
Spé ψ 2015-2016
page 2/5
Devoir n°1
i h
i
g f e d
c
b
g
f
e
a
figure 1 : Évolution temporelle de l’altitude pour différentes vitesses initiales :
a : v0 = 0 m⋅s–1
b : v0 = –0,15 m⋅s–1
c : v0 = –0,30 m⋅s–1
d : v0 = –0,45 m⋅s–1
e : v0 = –0,60 m⋅s–1
f : v0 = –0,75 m⋅s–1
g : v0 = –0,90 m⋅s–1
h : v0 = –1,05 m⋅s–1
i : v0 = –1,20 m⋅s–1
13) Déterminer la durée τ0 de la
chute de Philae s’il est abandonné par Rosetta avec une vitesse verticale nulle.
La durée réelle de la chute est τ ≈ 7h.. En
déduire la vitesse verticale initiale communiquée à l’atterrisseur.
Différentes trajectoires de phase sont représentées sur la figure 2, en fonction de
la vitesse verticale initiale.
14) Déterminer, par lecture graphique, la vitesse verticale atteinte par Philae
au moment du contact avec la comète.
figure 2 : Trajectoires de phase pour
différentes vitesses initiales
Approche énergétique
L’objectif est de retrouver la vitesse atteinte par l’atterrisseur au moment du contact avec la
comète.
Spé ψ 2015-2016
page 3/5
Devoir n°1
d
15) Lors de la chute de Philae, préciser comment évolue l’énergie mécanique de
l’atterrisseur.
16) En déduire, littéralement puis numériquement, la vitesse atteinte par l’atterrisseur lors du
contact avec la comète.
Le rebond de Philae
Extrait du programme officiel concernant les « résolution de problème ».
Compétence
S’approprier le problème.
Etablir une stratégie de résolution (analyser).
Mettre en œuvre la stratégie
(réaliser).
Avoir un regard critique sur
les résultats obtenus (valider).
Communiquer.
Exemples de capacités associées
Faire un schéma modèle.
Identifier les grandeurs physiques pertinentes, leur attribuer un symbole.
Évaluer quantitativement les grandeurs physiques inconnues et non précisées.
Relier le problème à une situation modèle connue.….
Décomposer le problème en des problèmes plus simples.
Commencer par une version simplifiée.
Expliciter la modélisation choisie (définition du système, …).
Déterminer et énoncer les lois physiques qui seront utilisées.…..
Mener la démarche jusqu’au bout afin de répondre explicitement à la question posée.
Savoir mener efficacement les calculs analytiques et la traduction numérique.
Utiliser l’analyse dimensionnelle.…
S’assurer que l’on a répondu à la question posée.
Vérifier la pertinence du résultat trouvé, notamment en comparant avec des estimations ou
ordres de grandeurs connus.
Comparer le résultat obtenu avec le résultat d’une autre approche (mesure expérimentale
donnée ou déduite d’un document joint, simulation numérique, …).
Étudier des cas limites plus simples dont la solution est plus facilement vérifiable ou bien
déjà connue.…
Présenter la solution ou la rédiger, en en expliquant le raisonnement et les résultats.…
8h35 : l’atterrisseur est largué par le vaisseau mère Rosetta. Il chute vers son objectif durant
7 heures à la vitesse de 0,90 m.s–1.
15h34 : impact de l’atterrisseur sur le sol de la comète. Philippe Gaudon, chef de projet de la
mission Rosetta pour le CNES, est rassuré : « ce qui est incroyable, c’est la précision du minutage
de l’atterrissage, cela signifie que Philae doit être pratiquement au centre de l’ellipse visée. Et puis,
nous continuons à recevoir des données, donc il n’est pas sur le toit ! ».
Près de 5 minutes après le contact avec la surface, les caméras embarquées doivent commencer à réaliser le panorama à 360° du paysage qui entoure Philae. Le moment est historique et
pourtant, progressivement, les visages radieux au centre de contrôle se contractent : les images reçues sont floues, et les données de puissance électrique des panneaux solaires reçues ici sont incohérentes. Normalement, une fois Philae posé et ancré, les panneaux doivent être plus ou moins
éclairés selon leur orientation par rapport au Soleil, mais leur puissance électrique doit demeurer
stable. Or ce n’est pas du tout le cas et les courbes visibles sur les écrans montrent sans ambiguïté
que la puissance de tous les panneaux fluctue. Y a-t-il un problème électrique majeur ou
l’atterrisseur est-il encore en train de bouger ?
En fait, comme le laissaient craindre les tests effectués dans la nuit, le système propulsif à
gaz froid qui doit plaquer Philae au sol ne s’est pas activé et les harpons n’ont donc pas été déclenchés. Le robot a alors rebondi mais, les trois pieds du train d’atterrissage étant équipés d’absorbeurs
de chocs, sa vitesse a heureusement été divisée par deux. Deux heures d’angoisse et
d’incompréhension vont suivre…
17h25 : second impact. L’atterrisseur vient de toucher le sol à nouveau. Plus personne ne
sait où il se trouve.
Le lendemain, le centre de contrôle annonce dans la presse que Philae est remonté à près de
1 km d’altitude et finalement retombé à plus de 1 km de son premier point d’impact.
17 ) Sachant que la direction de chute de Philae depuis son largage faisait un angle de 15°
avec la verticale, et en supposant que le rebond de Philae s’est fait symétriquement à cette verticale
avec une division par deux de la norme de sa vitesse, justifier les valeurs numériques indiquées dans
le texte concernant ce rebond .
Spé ψ 2015-2016
page 4/5
Devoir n°1
Une source de tension utilisée dans les circuits électroniques de Philae
Un montage à transistor, branché sur une résisS iS
E
iB
tance de charge RC, peut être modélisée, en courant
r’
constant, par le schéma ci-contre :
J
eG est la f.e.m. d’une source idéale de tension à
RE
J
=βi
CC
B
vS R C
RB
laquelle est relié le transistor. La source de courant J est eG
idéale mais son courant de court-circuit JCC dépend du
courant iB suivant la relation JCC = βiB (β est une constante positive).
M
18) On suppose dans cette question RC = ∞.
a) Exprimer vS en fonction de iB, β et RE.
b) Exprimer iB en fonction de eG, RE, r’ et β.
c) En déduire la valeur de vS en fonction de eG, RE, r’ et β. Comment peut-on appeler
vS dans ce cas ? On notera vV cette valeur.
d) Quel est le rôle de la résistance RB ?
19) On suppose dans cette question RC = 0.
a) Exprimer iS en fonction de iB, β.
S iS
b) Exprimer iB en fonction de eG et r’.
c) En déduire la valeur de iS en fonction de eG, r’ et β. Comment peuton appeler iS dans ce cas ?
RS
20) Un schéma équivalent du montage est représenté ci-contre :
vS R C
a) Exprimer eS en fonction de β, RE ; eG et r’.
eS
b) Exprimer RS en fonction de β, RE et r’.
M
Spé ψ 2015-2016
page 5/5
Devoir n°1