Mathématiques et calcul 1

Mathématiques et Calcul 1 – 2011-2012
1
Fonctions logarithme, exponentielle et puissance
Croissances comparées
Pour a > 0, b > 0,
b
ln(x)
lim
=0
x→+∞
xa
b
lim xa ln x = 0
x→0
exp(ax)
lim
= +∞
xb
lim xb exp(ax) = 0
x→+∞
x→−∞
2
Fonctions trigonométriques et trigonométriques réciproques
Formules d’addition
cos(a + b) = cos a cos b − sin a sin b
cos(a − b) = cos a cos b + sin a sin b
sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
sin(a − b) = sin a cos b − sin b cos a
tan a + tan b
tan(a + b) =
1 − tan a tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a tan b
Transformation de sommes en produits
a + b
a − b
cos
2
2
a + b
a − b
cos a − cos b = −2 sin
sin
2
2
a − b
a + b
sin a + sin b = 2 sin
cos
2
2
a + b
a − b
sin a − sin b = 2 cos
sin
2
2
sin(a + b)
tan a + tan b =
cos a cos b
sin(a − b)
tan a − tan b =
cos a cos b
cos a + cos b = 2 cos
Formules de duplication
cos(2a) = cos2 a − sin2 a = 2 cos2 a − 1 = 1 − 2 sin2 a =
sin(2a) = 2 sin a cos a =
tan(2a) =
2
1 − tan2 a
1 + tan2 a
2 tan a
1 + tan2 a
2 tan a
1 − tan2 a
FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES ET TRIGONOMÉTRIQUES RÉCIPROQUES
1
6 décembre 2011
Mathématiques et Calcul 1 – 2011-2012
Transformation de produits en sommes
1
cos(a + b) + cos(a − b)
2
1
sin a sin b = cos(a − b) − cos(a + b)
2
1
sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b)
2
cos a cos b =
Fontions trigonométriques réciproques
π
2
∀a ∈ [−1, 1] arccos a + arccos(−a) = π
1 π
=
∀a ∈ R∗+ arctan a + arctan
a
2
1
π
∗
∀a ∈ R− arctan a + arctan
=−
a
2
∀a ∈ [−1, 1]
arcsin a + arccos a =
Dérivées
sin0 x = cos x
cos0 x = − sin x
tan0 x = 1 + tan2 x =
1
cos2 x
1
arcsin0 x = p
1 − x2
1
∀x ∈] − 1, 1[ arccos0 x = − p
1 − x2
1
arctan0 x =
1 + x2
∀x ∈] − 1, 1[
Équations trigonométriques
sin x = sin α
cos x = cos α
3
⇒
⇒





ou









ou




x = α + 2kπ
k∈Z
x = π − α + 2kπ
x = α + 2kπ
x = −α + 2kπ
k∈Z
k∈Z
k∈Z
Fonctions hyperboliques
ex − e−x
2
ex + e−x
ch(x) =
2
sh x ex − x−x e2x − 1
th(x) =
=
=
ch x ex + x−x e2x + 1
ch2 x − sh2 x = 1
sh(x) =
3
FONCTIONS HYPERBOLIQUES
2
6 décembre 2011
Mathématiques et Calcul 1 – 2011-2012
Dérivées
sh0 (x) = ch x
ch0 (x) = sh x
th0 x = 1 − th2 x =
1
ch2 x
Limites
lim sh(x) = +∞
lim sh(x) = −∞
x→+∞
x→−∞
lim ch(x) = +∞
lim ch(x) = +∞
x→+∞
lim th(x) = 1
x→+∞
x→−∞
lim th(x) = −1
x→−∞
Équations hyperboliques
p
x = ln a + a2 + 1
p
ch(x) = a ⇔ x = ± ln a + a2 − 1
1 1 + a
∀a ∈] − 1 , 1[ thx = a ⇔ x = ln
2
1−a
sh(x) = a
⇔
Exercices...
Toutes les formules d’addition, de transformations de produits en sommes, de sommes en produits, de duplication, etc., vues pour les fonctions trigonométriques circulaires ont leurs équivalents pour les fonctions
hyperboliques....
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FONCTIONS HYPERBOLIQUES
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6 décembre 2011