MVA013 CNAM Feuille 4 Exercice 1. Inéquation trigonométrique On

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MVA013
CNAM
Feuille 4
Exercice 1. Inéquation trigonométrique
On rappelle que :
sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a),
√
Résoudre l’équation 3 cos(x) + sin(x) > 0.
sin( π3 ) =
√
3
2
et cos( π3 ) = 21 .
Exercice 2. Etude d’une fonction avec un paramètre
Etudier la fonction x 7→ ln(x2 − 2ax + 1) en fonction de a.
Exercice 3. Etude des variations de fonctions
Après avoir précisé leur domaine de définition, étudier les variations des fonctions suivantes :
a)
f (x) = x ln(x)
b)
g(x) = xex
c)
h(x) = xe2x+1
Exercice 4. Calcul de dérivée
Après avoir précisé le domaine de définition et le domaine de dérivabilité, calculer la dérivée de la
fonction suivante :
p
f1 (x) = x2 − 6x + 9
Exercice 5. Etude de fonctions
Etudier les fonctions suivantes :
1.
f1 : x 7→
cos(x)
1 + sin2 (x)
2.
f2 : x 7→ (x2 − 3x + 2)ex
3.
f3 : x 7→ (x2 − 4x + 4)ex
1
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Exercice 6. Une application en électricité
On étudie un circuit électrique fermé, composé d’une résistance, de résistance constante R > 0, en série
avec une bobine (appelée aussi inductance) d’inductance L > 0 Le courant électrique a une intensité
variable en fonction du temps. On le note I(t). L’écriture de la différence de potentiel le long du circuit
conduit à la relation :
LI 0 (t) + RI(t) = 0
a) Montrer que la fonction t 7→ I0 eαt satisfait une telle relation pour un α bien choisi.
b) Si R = 0, que se passe-t-il ?
En déduire que la dissipation d’énergie dans un tel circuit est due au seul effet de la résistance.
2
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