MVA013 CNAM Feuille 4 Exercice 1. Inéquation trigonométrique On rappelle que : sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a), √ Résoudre l’équation 3 cos(x) + sin(x) > 0. sin( π3 ) = √ 3 2 et cos( π3 ) = 21 . Exercice 2. Etude d’une fonction avec un paramètre Etudier la fonction x 7→ ln(x2 − 2ax + 1) en fonction de a. Exercice 3. Etude des variations de fonctions Après avoir précisé leur domaine de définition, étudier les variations des fonctions suivantes : a) f (x) = x ln(x) b) g(x) = xex c) h(x) = xe2x+1 Exercice 4. Calcul de dérivée Après avoir précisé le domaine de définition et le domaine de dérivabilité, calculer la dérivée de la fonction suivante : p f1 (x) = x2 − 6x + 9 Exercice 5. Etude de fonctions Etudier les fonctions suivantes : 1. f1 : x 7→ cos(x) 1 + sin2 (x) 2. f2 : x 7→ (x2 − 3x + 2)ex 3. f3 : x 7→ (x2 − 4x + 4)ex 1 MVA013 CNAM Exercice 6. Une application en électricité On étudie un circuit électrique fermé, composé d’une résistance, de résistance constante R > 0, en série avec une bobine (appelée aussi inductance) d’inductance L > 0 Le courant électrique a une intensité variable en fonction du temps. On le note I(t). L’écriture de la différence de potentiel le long du circuit conduit à la relation : LI 0 (t) + RI(t) = 0 a) Montrer que la fonction t 7→ I0 eαt satisfait une telle relation pour un α bien choisi. b) Si R = 0, que se passe-t-il ? En déduire que la dissipation d’énergie dans un tel circuit est due au seul effet de la résistance. 2