Lycée Thiers - MP On note Mn (R) l’ensemble des matrices carrées d’ordre n à coefficients réels. b. En déduire que si ϕ appartient à G alors, il existe un réel λ tel que pour tout M de Mn (R), ϕ(M ) = λTr(M ). Soit N l’ensemble des matrices de Mn (R) dont les coefficients diagonaux sont tous nuls. c. Conclure que dim G = 1. 3. Pour tout j compris entre 1 et n2 soit ϕj la forme linéaire définie sur Mn (R) telle que pour tout entier k compris entre 1 et n2 , ϕj (ek ) = δjk . Soit C l’ensemble des matrices de Mn (R) de la forme XY − Y X où X et Y sont deux matrices de Mn (R). Les éléments de C s’appellent des commutateurs. Montrer que (ϕp+1 , . . . , ϕn2 ) est une famille libre d’éléments de G. En déduire que n2 − 1 6 p. Soit H l’ensemble des matrices de Mn (R) de trace nulle. PARTIE I Les éléments de N sont des commutateurs 4. Conclure que F = H. PARTIE III Toute matrice de trace nulle est un commutateur Soit D une matrice diagonale de Mn (R) telle que pour tout i et j compris entre 1 et n, si i 6= j alors dii 6= djj . 1. Montrer que N est un sous espace vectoriel de Mn (R) et déterminer sa dimension. 1. Soit u un endomorphisme de Rn . Montrer que si pour tout x de Rn , x et u(x) sont liés alors u est une homothétie. (On pourra raisonner dans la base canonique (b1 , . . . , bn ) de Rn et utiliser u(b1 + bi ) pour i > 2). 2. Calculer pour tout M de Mn (R) le terme général de DM − M D. 3. Soit ϕ l’endomorphisme de Mn (R) qui a une matrice M associe la matrice DM − M D. Dans toute la suite, u désignera un endomorphisme non nul de trace nulle. Déterminer le noyau de ϕ ainsi que sa dimension. 2. Justifier l’existence d’un vecteur x de Rn tel que la famille (x, u(x)) soit libre. 4. Montrer alors que Imϕ = N . 3. Soit A une matrice de Mn (R) non nulle de trace nulle. a. Montrer une matrice P inversible telle que A = P A0 P −1 avec qu’il existe 0 Y A0 = où A00 est un élément de Mn−1 (R) de trace nulle, Y est Z A00 une matricea une ligne et n − 1 colonnes et Z est la matrice colonne à n − 1 1 0 lignes Z = . . .. 0 PARTIE II Etude de l’espace vectoriel engendré par les commutateurs On note F l’espace vectoriel engendré par C et p = dim F. On désigne par G l’ensemble des formes linéaires ϕ définies sur Mn (R) telles que pour tout M dans F, ϕ(M ) = 0. Soit (e1 , . . . , ep ) une base de F que l’on complète en une base (e1 , . . . , en2 ) de Mn (R). b. Si R est une matrice inversible 1 0 1 0 0 Y . 0 R Z A00 0 R−1 1. Montrer que F ⊂ H et que G est un sous espace vectoriel de L(Mn (R), R). 2. 2016-17 Devoir maison 3 a. Pour tout couple (i, j) d’entiers compris entre 1 et n, on note Eij la matrice de Mn (R) dont tous les termes sont nuls sauf celui situé à l’intersection de la ligne i et de la colonne j. Calculer pour i 6= j, Eii Eij − Eij Eii et Eij Eji − Eji Eij de Mn−1 (R), calculer 4. En raisonnant par récurrence sur n, montrer qu’il existe une matrice Q inversible de Mn (R) telle que A = QBQ−1 où B est une matrice dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. 1 Devoir maison 3 Lycée Thiers - MP Devoir maison 3 2016-17 5. En utilisant la première partie, montrer que si A appartenant à Mn (R) est une matrice de trace nulle, alors il existe deux matrices G et H de Mn (R) telles que A = GH − HG. 2 Devoir maison 3