'(8*69²8&%/ 0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,( &KDSLWUH)RQFWLRQVXVXHOOHV

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'(8*69²8&%/
0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH)RQFWLRQVXVXHOOHV
Sandrine CHARLES (19/10/2001)
1
2
3
4
5
Fonctions polynômes élémentaires.................................................................................2
1.1
Fonctions polynômes de degré 1 ............................................................................2
1.2
Polynômes du second degré ...................................................................................4
1.3
Fonctions homographiques.....................................................................................6
Fonctions trigonométriques et trigonométriques inverses..............................................9
2.1
Définitions ..............................................................................................................9
2.2
Fonctions trigonométriques ..................................................................................12
2.3
Fonctions trigonométriques inverses ....................................................................15
2.4
Les formules de Simpson (ou formules d’additions)............................................17
2.5
Généralisation.......................................................................................................17
2.6
Un exemple d’application en Biologie .................................................................18
2.7
Vers d’autres sites….............................................................................................20
Fonctions logarithme et exponentielle..........................................................................20
3.1
Introduction ..........................................................................................................20
3.2
La fonction logarithme népérien...........................................................................20
3.3
La fonction exponentielle .....................................................................................22
3.4
Exemples d’utilisation en Biologie.......................................................................24
Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses .....................................................27
4.1
Définition des fonctions hyperboliques................................................................27
4.2
Etude des fonctions hyperboliques .......................................................................27
4.3
Formules usuelles .................................................................................................29
4.4
Définition des fonctions hyperboliques réciproques ............................................30
Fonctions puissances ....................................................................................................33
5.1
Définition..............................................................................................................33
5.2
Fonction um ...........................................................................................................34
5.3
Croissances comparées .........................................................................................35
5.4
Un exemple d’application en Biologie : la relation allométrique.........................35
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
......................................................................................................................................................................................................
&KDSLWUH)RQFWLRQVXVXHOOHV
,QWURGXFWLRQ
L’objectif de ce chapitre est de donner des exemples d’utilisation en Biologie des fonctions
réelles d’une variable réelle les plus usitées : les fonctions linéaires, les fonctions
homographiques, les fonctions trigonométriques, les fonctions hyperboliques, les fonctions
logarithme et exponentielle, et les fonctions puissance.
Chaque paragraphe sera consacré à un type de fonction et sera organisé en deux parties : la
première présentera de brefs mais indispensables rappels sur la fonction, en s’appuyant sur les
notions développées dans les précédents chapitres (1, 2 et 3) ainsi que sur des représentations
graphiques ; la seconde partie s’attachera, dans la mesure du possible, à donner une
illustration en Biologie du type de fonction étudié.
)RQFWLRQVSRO\Q{PHVpOpPHQWDLUHV
)RQFWLRQVSRO\Q{PHVGHGHJUp
'pILQLWLRQHWSURSULpWpV
Définition :
Une fonction polynôme de degré 1 f est une fonction dépendant de deux paramètres réels α
et β et définie pour tout x ∈ \ par :
f ( x ) = α x + β avec α ≠ 0
•
La fonction polynôme de degré 1 f a une dérivée première constante égale à α ; elle est
strictement croissante si α > 0 et strictement décroissante si α < 0 .
•
Il découle de la définition que :
∀x1 , x2 ∈ \ , on a f ( x1 ) − f ( x2 ) = α ( x1 − x2 )
¹ L’ accroissement d’une fonction polynôme de degré 1 ( f ( x1 ) − f ( x2 ) ) sont
proportionnels à ceux de la variable ( x1 − x2 ) .
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p2/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
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¹α=
f ( x1 ) − f ( x2 )
est appelé pente de la fonction polynôme de degré 1
x1 − x2
•
β = f (0 ) ; si β = 0 , on dit que la fonction est linéaire.
•
Le graphe d’une fonction polynôme de degré 1 est une droite de pente α passant par le
point de coordonnées (0, β ) ; β est l’ordonnée à l’origine.
$SSOLFDWLRQLQWHUSRODWLRQOLQpDLUH
L’interpolation linéaire d’une fonction f dans un intervalle [x1 ; x2 ] est la fonction polynôme
de degré 1 ϕ prenant les mêmes valeurs que f aux bornes de l’intervalle [x1 ; x2 ] :
ϕ ( x1 ) = f ( x1 )
ϕ ( x2 ) = f ( x2 )
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p3/36 -
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8QH[HPSOHHQ%LRORJLH
Revoir l’exemple en Biologie présenté au Chapitre 1, §7.
3RO\Q{PHVGXVHFRQGGHJUp
'pILQLWLRQHWSURSULpWpV
Définition :
Un polynôme du second degré est une fonction f dépendant de trois paramètres réels a, b, c
et définie par :
f ( x ) = ax 2 + bx + c avec a ≠ 0
La fonction f est continue et dérivable en tout point : f ′ ( x ) = 2ax + b .
La dérivée seconde est constante et égale à 2a.
f admet un extremum en x = −
2
b
 b  4ac − b
: f −  =
.
2a
4a
 2a 
Lorsque x tend ±∞ , f admet pour limite ±∞ selon le signe de a.
La représentation graphique d’un polynôme du second degré est une parabole :
Nous ne reviendrons pas ici sur la recherche des racines d’un polynôme du second degré.
Rappelons simplement que :
-
Si ∆ = b 2 − 4ac < 0 , alors ax 2 + bx + c = 0 n’admet aucune racine réelle ;
-
Si
x0 = −
∆ = b 2 − 4ac = 0 , alors
ax 2 + bx + c = 0
b
;
2a
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p4/36 -
admet une racine double :
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-
Si ∆ = b 2 − 4ac > 0 , alors ax 2 + bx + c = 0 admet deux racines :
−b − b 2 − 4ac
x1 =
2a
Dans ce cas x1 + x2 =
−b + b 2 − 4ac
x2 =
2a
−b
c
et x1 x2 = .
a
a
8QH[HPSOHHQ%LRORJLH
Pour de nombreuses espèces (mammifères, poissons, micro-organismes), il est raisonnable de
considérer qu’en première approximation, la relation du taux de croissance de la population
avec la température de l’environnement est un polynôme du second degré :
µ = aT 2 + bT + c
Les valeurs de a, b et c vont dépendre de l’espèce considérée.
Remarquons que d’un point de vue biologie, il faut nécessairement que µ ≥ 0 , ce qui n’est pas
nécessairement le cas pour T.
On sait qu’il existe pour chaque individu un optimum de croissance ( Topt ), ainsi que des
températures minimale ( Tmin ) et maximale ( Tmax ) de croissance en deça et au-delà desquelles
il n’y a plus de croissance. Ainsi, les paramètres a, b et c doivent vérifier les équations
suivantes :
µ ′ (Topt ) = 0
µ (Tmin ) = µ (Tmax ) = 0
Ce qui implique pour les trois températures cardinales Topt , Tmin et Tmax :
Topt = −
b
2a
Tmin =
−b − b 2 − 4ac
2a
Tmax =
−b − b 2 − 4ac
2a
Chez la bactérie Methylosinus trichosporium, qui est à la fois méthanotrophe et mésophile, on
connaît approximativement Topt = 23°C qui correspond à µ max = 0.012 h -1 et Tmin = 9°C
(Kevbrina et al., 2001).
D’après le modèle polynomial, on en déduit que Tmax doit être égal à 37°C, ce que l’on vérifie
presque expérimentalement puisqu’en fait Tmax = 37°C .
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p5/36 -
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S. Charles (19/10/2001)
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On obtient le graphe suivant, où la relation µ = f (T ) n’est représentée que pour des valeurs
positives de µ, c’est-à-dire pour T ∈ [9°C ; 37°C ] :
Relation µ = f (T ) pour la bactérie Methylosinus trichosporium
Données extraites de Kevbrina M.V., Okhapkina A.A., Akhlynin D.S., Kravchenko I.K., Nozhevnikova A.N. et Gal’chenko
V.F. (2001) Growth of Mesophilic Methanotrophs at low Temperatures. Microbiology, 70(4), 384-392.
)RQFWLRQVKRPRJUDSKLTXHV
'pILQLWLRQHWSURSULpWpV
Définition :
Une fonction homographique est le quotient de deux fonctions polynôme de degré 1s :
h (x ) =
ax + b
avec c ≠ 0
cx + d
Si c = 0 , on est ramené au cas d’une fonction polynôme de degré 1.
•
•
d  d


L’ensemble de définition de h est Dh =  −∞; −  *  − ; +∞  (il faut cx + d ≠ 0 ).
c  c


lim h ( x ) =
x →±∞
a
(voir Chapitre 2, § 1.5)
c
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p6/36 -
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•
•
Les limites à droite et à gauche de −
-
Si ad − bc > 0 , alors
-
Si ad − bc < 0 , alors
lim + h ( x ) = −∞ et
 d
x → − 
 c
lim + h ( x ) = +∞ et
 d
x → − 
 c
lim − h ( x ) = +∞
 d
x → − 
 c
lim − h ( x ) = −∞
 d
x → − 
 c
La fonction h est continue et dérivable sur Dh :
h′ ( x ) =
•
d
dépendent du signe de ad − bc :
c
ad − bc
(cx + d )
2
: le sens de variation de h dépend du signe de ad − bc
-
Si ad − bc > 0 , alors la fonction h est croissante ;
-
Si ad − bc < 0 , alors la fonction h est décroissante ;
-
Si ad − bc = 0 , la fonction h est constante et égale à
-
Si ad − bc ≠ 0 , deux cas de figure peuvent se présenter (voir Figures)
a b
=
c d
Le graphe d’une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour
asymptote les deux droites d’équation x = −
d
a
et y = ; le point d’intersection des deux
c
c
asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe.
8QH[HPSOHHQ%LRORJLHG·DSUqV/HJD\HWDOS
Une réaction enzymatique peut se symboliser par le schéma suivant :
E
S 
→P
qui se lit : « le substrat S est transformé par l’enzyme E en un produit P ».
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p7/36 -
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Quantitativement, on décrit l’évolution d’une telle réaction par sa cinétique exprimée en terme
de vitesse de réaction V :
V =−
d [S ] d [P ]
=
avec t le temps de réaction
dt
dt
où [S ] est la concentration en substrat S et [P ] la concentration en produit P.
On peut raisonnablement considérer que la vitesse V suit la relation suivante :
V=
Vmax [S ]
K M + [S ]
= V ([S ]) avec Vmax et K M des constantes strictement positives
On suppose vérifiées les conditions suivantes :
A t = 0 , on a [S ] = S0 et [P ] = 0
∀t ≥ 0 , on a [S ] + [P ] = S0 : [P ] = S0 − [S ]
Mathématiquement, le domaine de définition de V est DV = ]−∞; − K M [ ∪ ]− K M ; +∞[ , mais
biologiquement, il faut que V ≥ 0 . Comme [S ] ≥ 0 (c’est une concentration), on étudie V sur
l’intervalle [0; +∞[ .
V0 = V ([S ] = 0 ) = 0
lim V = Vmax
[S ]→+∞
Vmax représente la vitesse maximale de réaction. Le graphe de V en fonction de [S ] présente
une asymptote d’équation V = Vmax .
K M est égal à la concentration en substrat correspond à une vitesse V =
V ([S ] = K M ) =
Vmax
2
V est continue et dérivable sur [0; +∞[ :
V′ =
dV
Vmax K M
=
>0
d [S ] (K M + [S ])2
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p8/36 -
Vmax
:
2
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La fonction V est strictement croissante sur [0; +∞[ :
)RQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHVHWWULJRQRPpWULTXHVLQYHUVHV
'pILQLWLRQV
G G
G
G
G G
On considère un repère orthonormé (O, e1 , e2 ) , c’est-à-dire tel que e1 ⊥ e2 et e1 = e2 = 1 .
Définitions 1 :
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1 sur le quel on définit un
sens de parcours.
Le sens est positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre : on dit le sens
trigonométrique direct.
Le sens est négatif est le sens des aiguilles d’une montre : c’est le sens trigonométrique
indirect.
Remarque : Ces définitions ne sont en fait par rigoureuses au sens mathématique, puisque le
sens trigonométrique direct ne peut en théorie être défini que dans \3 .
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p9/36 -
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Définition 2 :
Soit M un point du cercle trigonométrique. On appelle mesure en radians de l’angle
OI , OM ) , le réel α M
(n
p (de I vers M).
égal à la longueur de l’arc orienté IM
D’après le site de L. Garnier (Université de Bourgogne)
Remarque :
Si M et N ont même position sur le cercle trigonométrique, alors α M = α N + 2kπ avec k ∈ ] .
Le graphe ci-dessous donne quelques valeurs remarquables d’angles :
D’après le site de L. Garnier (Université de Bourgogne)
Définitions 3 :
Soit M un point du cercle trigonométrique.
On appelle sinus de l’angle α M l’ordonnée du point M.
On appelle cosinus de l’angle α M l’abscisse du point M.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p10/36 -
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D’après le site de L. Garnier (Université de Bourgogne)
Pour tout angle α , on a les relations suivantes (voir graphe ci-dessus) :
sin α = sin (α + 2kπ ) , k ∈ ]
cos α = cos (α + 2kπ ) , k ∈ ]
sin (−α ) = − sin α
cos (−α ) = cos α
sin (α + π ) = − sin α
cos (α + π ) = − cos α
cos 2 α + sin 2 α = 1
Vous trouverez une liste d’autres relations dans l’aide mémoire « trigonométrie ».
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p11/36 -
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)RQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHV
Fonction sinus
Du latin sinus = pli, cavité
✪
Elle est définie sur \ par f ( x ) = sin x
Elle est impaire et 2π -périodique.
Elle est dérivable sur \ avec (sin )′ ( x ) = cos x .
 π
π 
Elle est strictement croissante sur 0;  et strictement décroissante sur  ; π  .
 2
2 
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
G
- les translations de vecteur 2kπ e1 (puisqu’elle est 2π -périodique)
- les symétries de centres (kπ , 0 ) (puisqu’elle est impaire)
- les symétries d’axes x =
π
+ kπ
2
Version animée :
D’après le site de X. Hubaut (Université de Bruxelle)
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p12/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
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Fonction cosinus
du latin cum = avec donnant en français co = associé et sinus = pli
Elle est définie sur \ par f ( x ) = cos x
Elle est paire et 2π -périodique.
Elle est dérivable sur \ avec (cos )′ ( x ) = − sin x .
Elle est strictement croissante sur [−π ;0] et strictement décroissante sur [0; π ].
Sa courbe est une sinusoïde ; elle est invariante par :
G
- les translations de vecteur 2kπ e1
π

- les symétries de centres  + kπ , 0 
2

- les symétries d’axes x = kπ
Fonction tangente
du latin tangere, tangentis = toucher
sin x
π

= tan x
Elle est définie sur \ \  + kπ , k ∈ ]  par f ( x ) =
cos x
2

Elle est impaire et π -périodique.
1
π

Elle est dérivable sur \ \  + kπ , k ∈ ]  avec (tan )′ ( x ) = 1 + tan 2 x =
.
cos 2 x
2

 π π
Elle est strictement croissante sur  − ; 
 2 2
Sa courbe est invariante par :
G
- les translations de vecteur kπ e1
- les symétries de centres (kπ , 0 )
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p13/36 -
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Fonction cotangente
du latin cum = avec donnant en français co = associé et tangente
Elle est définie sur \ \ {kπ , k ∈ ]} par f ( x ) =
cos x
1
=
= cot x
sin x tan x
Elle est impaire et π -périodique.
Elle est dérivable sur \ avec (cot )′ ( x ) = −1 − cot 2 x = −
1
.
sin 2 x
Elle est strictement décroissante sur ]0; π [
Un nouveau regard…
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p14/36 -
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S. Charles (19/10/2001)
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)RQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHVLQYHUVHV
π
 π

La fonction sinus est bijective de tout intervalle  − + 2kπ ; + 2kπ  k ∈ ] vers [−1;1] ;
2
 2

 π π
elle admet donc une fonction réciproque définie de [−1;1] vers  − ; 
 2 2
 π π
Ainsi, pour tout x ∈ [−1;1] il existe un unique y ∈  − ;  tel que sin y = x .
 2 2
Par définition, ce nombre y est appelé arc sinus x, et noté y = arcsin x .
Fonction arcsinus
 π π
arcsin : [−1;1] →  − ; 
 2 2
x 6 y = arcsin x
Elle est par construction définie, continue et impaire sur [−1;1] .
Son graphe est symétrique de celui de sinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule selon la règle établie au chapitre 3 §4.4 pour les fonctions réciproques :
(arcsin )′ ( x ) =
1
1
1
1
=
=
=
(cosD arcsin )( x ) cos y 1 − sin 2 y 1 − x 2
Elle est donc strictement croissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 .
Représentation graphique de la fonction arcsinus
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p15/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
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Fonction arccosinus
arccos : [−1;1] → [0; π ]
(par un raisonnement analogue au précédent)
x 6 y = arccos x
Elle est définie, continue et paire sur [−1;1] .
Son graphe se déduit de celui de cosinus par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule comme précédemment :
(arccos )′ ( x ) = −
1
1 − x2
Elle est donc strictement décroissante sur ]−1;1[ avec deux tangentes verticales en 1 et −1 .
Représentation graphique de la fonction arccosinus
Fonction arctangente
 π π
arctan : ]−∞; +∞[ →  − ; 
 2 2
x 6 y = arctan x
Elle est définie, continue et impaire sur ]−∞; +∞[ .
Son graphe se déduit de celui de tagente par symétrie par rapport à la première bissectrice.
Sa dérivée se calcule comme précédemment :
(arctan )′ ( x ) =
1
1 + x2
La fonction arctangente est donc strictement croissante sur ]−∞; +∞[ .
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p16/36 -
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Représentation graphique de la fonction arctangente
Relations fondamentales :
arcsin x + arccos x =
π
2
arctan x + arc cot x =
π
avec y = arccotx ⇔ x = cot y
2
y ∈ ]0, π [
Démonstration
/HVIRUPXOHVGH6LPSVRQRXIRUPXOHVG·DGGLWLRQV
Les formules de Simpson et bien d’autres sont répertoriées dans le formulaire
« trigonométrie » de la rubrique aide-mémoire. On les utilise pour transformer des sommes de
sinus ou de cosinus en produits de sinus ou de cosinus. Ces formules trouvent des applications
pour la calcul intégral (voir Chapitre 5).
Vers d’autres applications des formules de Simpson…
*pQpUDOLVDWLRQ
A l’aide des théorème de fonctions composées, il est facile d’obtenir les propriétés de
fonctions s’écrivant comme combinaison des fonctions trigonométriques précédentes. Ainsi :
(sin [u ( x)])′ = u′( x) cos [u( x)]
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p17/36 -
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(cos [u ( x)])′ = −u′( x) sin [u ( x)]
u′( x)
2
[u ( x)]
(tan [u( x)])′ = cos
u′( x)
2
[u( x)]
(cot [u ( x)])′ = − sin
8QH[HPSOHG·DSSOLFDWLRQHQ%LRORJLH
/HSUREOqPHGHODFKqYUH
/DWHPSpUDWXUHGHO·HDXGDQVOH5K{QH
Les variations de température dans l’eau du Rhône sont cycliques, dépendent de la saison, et
sont directement liées aux variations cycliques de la dureté de l’eau, mesurée en mg/L de
CaC03 (carbonate de calcium).
Par exemple, on peut imaginer la relation suivante, si t désigne le temps et D la dureté de
l’eau:
D = α cos (ω t + ϕ ) + β = f (t )
t est dite variable de contrôle (sa variation influence celle de D) ;
D est dite variable dépendent (ses variations dépendent de celles de t) ;
α , ω , ϕ , β sont des paramètres, dont les valeurs dépendent de l’endroit et/ou du moment où
sont mesurées les variations de D. Les valeurs de ces paramètres peuvent aussi varier d’une
année à l’autre, voire d’une saison à l’autre.
f est définie sur \ ; elle est 2π -périodique.
f ′ (t ) = −αω sin (ω t + ϕ )
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p18/36 -
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La représentation graphique d’une telle fonction, pour des valeurs quelconques des
paramètres α , ω , ϕ , β est la suivante :
Des mesures de D ont été effectuées sur une durée totale d’un an (Carrel G., 1986) :
De telles mesures étant réalisées, il peut-être intéressant de savoir quelle fonction f permet de
décrire l’évolution de la dureté de l’eau dans le temps. Il s’agit alors de trouver les valeurs des
paramètres α , ω , ϕ , β telles que la courbe représentative de D = f (t ) passe « au mieux »
entre les points. On parle dans ce cas d’ajustement d’une courbe (ou d’un modèle) à des
données expérimentales.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p19/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
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Une telle analyse est possible à l’aide des logiciels Maple ou R et donne les résultats
suivants :
α = 34.24
ω = 0.022
ϕ = −1.71
β = 159.1
9HUVG·DXWUHVVLWHV«
15873 : un site dédié aux mathématiques utilitaires de tous niveaux, sous forme d'exercices
avec leurs solutions. Avec une partie "Aide Mémoire" (formulaire) pour les choses courantes.
Voir le formulaire trigo
)RQFWLRQVORJDULWKPHHWH[SRQHQWLHOOH
,QWURGXFWLRQ
C’est dans le but de simplifier les calculs trigonométriques de l'astronomie que Neper invente
les logarithmes (le terme est de lui, du grec logos = logique, raison et arithmos = nombre).
Il en expose le fonctionnement dans deux traités : Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio
(1614), puis Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio (posthume, 1619) soit :
« Description (resp. Construction) de la Règle Admirable des Logarithmes ».
/DIRQFWLRQORJDULWKPHQpSpULHQ
Comme la fonction x 6
1
est dérivable sur ]0; +∞[ , elle admet une primitive sur cet
x
intervalle (donc une infinité) ; en particulier on peut trouver une primitive qui s’annule en
x =1.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p20/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
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Définition :
La fonction logarithme népérien, noté ln, est la primitive de la fonction x 6
]0; +∞[ sur ]0; +∞[ et qui s’annule en
1
définit de
x
x =1.
•
La fonction logarithme népérien est donc définie sur ]0; +∞[ par ln : x 6 ln x .
•
ln1 = 0
•
Pour tout α ∈ ]0; +∞[ , l’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbe y =
1
x
et les droites d’équation x = 1 et x = α correspond exactement au calcul suivant :
α
1
α
A = ∫ dx = [ln x ]1 = ln α si α ≥ 1
x
1
1
1
1
A = ∫ dx = [ln x ]α = − ln α si 0 < α < 1
α x
Propriétés :
Pour tout a, b ∈ ]0; +∞[ et pour tout p ∈ \ , alors :
(i) ln (ab ) = ln a + ln b
1
(ii) ln   = − ln b
b
a
(iii) ln   = ln a − ln b
b
(iv) ln (a p ) = p ln a
Démonstration
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p21/36 -
Voir
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
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•
1
La fonction ln est dérivable sur ]0; +∞[ : ∀x > 0 , (ln )′ ( x ) =
x
•
La fonction ln est strictement croissante sur ]0; +∞[
•
lim+ ln x = −∞
x →0
lim ln x = +∞
x →+∞
lim
x →1
ln x
= 1 (par définition de la dérivée)
x −1
Remarque
Aller vers… : Le point de vue géométrique de X. Hubaut est une autre façon de retenir la
définition de la fonction logarithme népérien.
u′ ( x )
La fonction ln o u : (ln D u )′ ( x ) =
u (x )
/DIRQFWLRQH[SRQHQWLHOOH
Théorème :
La fonction ln réalise une bijection strictement croissante de ]0; +∞[ sur \ .
Par conséquent, ∀a ∈ \ , l’équation ln x = a admet une unique solution x0 ∈ ]0; +∞[ (voir
figure ci-dessus).
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p22/36 -
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S. Charles (19/10/2001)
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En particulier, si on prend a = 1 , on appelle e l’unique réel strictement positif dont le
logarithme népérien vaut 1 : ln e = 1 .
e est appelé la base du logarithme népérien. Cette notation e a été introduite par Euler en
1736.
Conséquence :
L’équation ln x = a admet une unique solution x0 = e a . En effet : ln (e a ) = a ln e = a .
Définition :
La fonction exponentielle est la bijection réciproque de la fonction ln. On la note :
e : x 6 e x ou exp ( x )
•
La fonction exponentielle est définie sur \ .
•
∀x ∈ \ , e x > 0
•
∀x ∈ \ et ∀y ∈ ]0; +∞[ : e x = y ⇔ x = ln y
ln (e x ) = x
eln y = y
Propriétés :
Pour tout a, b ∈ \ et pour tout p ∈ \ , alors :
(i) ea +b = e a eb
(iii) ea −b =
(ii) e− b =
1
eb
(iv) (ea ) = e ap
p
ea
eb
e 4 x −1
Exemple : x +3 = e 4 x −1− x −3 = e3 x − 4
e
•
La fonction exponentielle est dérivable sur \ : (exp )′ ( x ) = exp ( x )
•
La fonction exponentielle est strictement croissante de \ sur ]0; +∞[
•
lim e x = 0+
x →−∞
lim e x = +∞
x →+∞
ex
= +∞
x →+∞ x
lim
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p23/36 -
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S. Charles (19/10/2001)
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La fonction exp o u : (expD u )′ ( x ) = u ′ ( x )(expD u )( x ) ⇔ (eu )′ = u ′eu .
([HPSOHVG·XWLOLVDWLRQHQ%LRORJLH
/DIRQFWLRQH[SRQHQWLHOOH
L’exemple qui suit est extrait de Lomen et Lovelock, 1999, p51.
Pendant la première moitié du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques (« collared
dove ») envahissent l’Europe d’Est en Ouest. Cet oiseau était très rare en Grande-Bretagne
avant1955. L’invasion de cette espèce en Grande-Bretagne est d’un intérêt tout particulier
pour les ornithologues ce qui les a conduit à faire des recensements de populations réguliers
entre 1955 et 1964.
On peut raisonnablement supposer que le nombre de tourterelles turques est proportionnel au
nombre d’endroit où l’espèce est recensée. Ainsi, les relevés ornithologiques de l’époque
fournissent les données suivantes :
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p24/36 -
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Temps
(année)
1955
1956
1957
1958
1959
1960
1961
1962
1963
1964
Nombre
de lieux
recensés
1
2
6
15
29
58
117
204
342
501
On constate que l’augmentation du nombre de lieux où la tourterelle turque a été recensée
augmente de façon exponentielle sur les 10 années de mesure. Ainsi, on peut considérer que :
N = α eβ t
Si t désigne l’année et N le nombre de lieux où la tourterelle turque a été recensée. Les
paramètres α , β sont choisis pour décrire « au mieux » la série de données.
Une transformation logarithmique permet d’écrire :
ln N = ln α + β ln t
Ainsi, la représentation de ln N en fonction de t est une droite, ce que permet de vérifier le
graphe ci-dessous :
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p25/36 -
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/DIRQFWLRQORJLVWLTXH
L’exemple qui suit est extrait de Lomen et Lovelock, 1999, p42.
Dans le tableau ci-dessous, on peut voir l’évolution dans le temps de la taille moyenne d’un
plan de tournesol :
Temps
Taille
(jours)
(cm)
7
17.93
14
36.36
21
67.76
28
98.10
35
131
42
169.50
49
205.50
56
228.30
63
247.10
70
250.50
77
253.80
84
254.50
On constate que pour de faibles valeurs du temps, la taille augmente de façon linéaire, puis
que pour des temps plus important la croissance ralentit.
La fonction logistique est la plus classique pour décrire ce genre de données expérimentales.
Si on désigne par T la taille du plan de tournesol et par t le temps, on peut alors écrire :
T (t ) =
T0
(1 − T0 α )e−αβ t + T0 α
En choisissant au mieux les valeurs des paramètres α , β ,T0 , on peut construire la courbe qui
« passe au mieux » entre les points expérimentaux :
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p26/36 -
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)RQFWLRQVK\SHUEROLTXHVHWK\SHUEROLTXHVLQYHUVHV
'pILQLWLRQGHVIRQFWLRQVK\SHUEROLTXHV
Par définition, on appelle cosinus hyperbolique de x, la quantité notée ch x :
ch x =
e x + e− x
2
De la même manière, on définit le sinus hyperbolique, notée sh x :
sh x =
e x − e− x
2
On constate que ch x + sh x = e x et que ch x − sh x = e− x . Il vient alors immédiatement :
ch 2 x − sh 2 x = 1
(1)
Par analogie avec les fonctions trigonométriques, on définit la tangente hyperbolique, notée
th x (ou bien tanh x ) par :
th x =
sh x e x − e − x e 2 x − 1
=
=
ch x e x + e − x e 2 x + 1
On utilise quelquefois la co-tangente hyperbolique, notée coth x , et définie par :
coth x =
1
sh x
=
th x ch x
Les deux relations suivantes découlent immédiatement de la relation (1) :
1
= 1 − th 2 x
2
ch x
(WXGHGHVIRQFWLRQVK\SHUEROLTXHV
(WXGHGHODIRQFWLRQ I ([ ) FK[ ch x =
1
= coth 2 x − 1
2
sh x
e x + e− x
2
D=\
ch (− x ) = ch x
La fonction paire : on fait l’étude sur \ + et le graphe est symétrique par rapport à (Oy ) .
ch 0 = 1
lim ch x = +∞
x →+∞
(ch x )′ = sh x
: la fonction est strictement croissante sur \ +
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p27/36 -
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(WXGHGHODIRQFWLRQ I ([ ) VK[ sh x =
e x − e− x
2
D=\
sh (− x ) = − sh x
La fonction impaire : on fait l’étude sur \ + et le graphe est symétrique par rapport à l’origine.
sh 0 = 0
lim sh x = +∞
x →+∞
(sh x )′ = ch x
: la fonction est strictement croissante sur \ +
sh x
Remarque : (sh )′ (0 ) = 1 entraîne que lim
= 1.
x →0 x
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p28/36 -
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(WXGHGHODIRQFWLRQ I ([ ) WK[ th x =
sh x e x − e − x e 2 x − 1
=
=
ch x e x + e − x e 2 x + 1
D=\
th (− x ) = − th x
La fonction impaire : on fait l’étude sur \ + et le graphe est symétrique par rapport à l’origine.
th 0 = 0
lim th x = 1
x →+∞
La droite y = 1 est asymptote en +∞
(th x )′ =
1
> 0 : la fonction est strictement croissante sur \ +
2
ch x
Remarque : lim
x →0
th x
 1 sh x 
= lim 
 = 1.
x
→
0
x
 ch x x 
)RUPXOHVXVXHOOHV
Dans la rubrique aides-mémoire, vous trouverez un formulaire récapitulatif des formules
usuelles impliquant les fonctions hyperboliques.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p29/36 -
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'pILQLWLRQGHVIRQFWLRQVK\SHUEROLTXHVUpFLSURTXHV
'pILQLWLRQGHODIRQFWLRQUpFLSURTXHGXFRVLQXVK\SHUEROLTXH
Définition :
La fonction réciproque du cosinus hyperbolique se note arg ch x et se définit par :
y = arg ch x 
 x = ch y
⇔
avec x ≥ 1 
avec y ≥ 0
arg ch x est une fonction continue, croissante et bijective de [1; +∞[ sur [0; +∞[ .
(arg ch x )′ =
1
x2 −1
Expression logarithmique de argchx
De la définition précédente, il vient 2 x = e y + e − y . Si on pose Y = e y , alors Y 2 − 2 xY + 1 = 0 ,
ce qui conduit par résolution de cette équation du second degré à Y = x + x 2 − 1 . Ainsi :
(
arg ch x = ln x + x 2 − 1
)
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p30/36 -
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'pILQLWLRQGHODIRQFWLRQUpFLSURTXHGXVLQXVK\SHUEROLTXH
Définition :
La fonction réciproque du sinus hyperbolique se note arg sh x et se définit par :
y = arg sh x ⇔ x = sh y pour tout x ∈ \
arg sh x est une fonction continue, croissante et bijective de \ sur \ .
(arg sh x )′ =
1
x2 + 1
Expression logarithmique de argshx
De la définition précédente, il vient 2 x = e y − e− y . Si on pose Y = e y , alors Y 2 − 2 xY − 1 = 0 ,
ce qui conduit par résolution de cette équation du second degré à Y = x + x 2 + 1 . Ainsi :
(
arg sh x = ln x + x 2 + 1
)
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p31/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
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'pILQLWLRQGHODIRQFWLRQUpFLSURTXHGHODWDQJHQWHK\SHUEROLTXH
Définition :
La fonction réciproque du tangente hyperbolique se note arg th x et se définit par :
y = arg th x 
 ⇔ x = th y
avec -1 < x < 1
(arg th x )′ =
1
1 − x2
Expression logarithmique de argthx
Par une démarche analogue aux précédente, on obtient :
arg th x =
1  1+ x 
ln 

2  1− x 
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p32/36 -
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)RQFWLRQVSXLVVDQFHV
'pILQLWLRQ
Définition :
Une fonction puissance est une fonction dépendant d’un paramètre réel quelconque m ≠ 0 et
définie sur \ +∗ par :
f m ( x ) = x m = e m ln x
L’étude des limites aux bornes de l’intervalle de définition dépende du signe de m :
-
Si m > 0 , alors lim+ x m = 0 et lim x m = +∞
-
Si m < 0 , alors lim+ x m = +∞ et lim x m = 0
x →+∞
x →0
x →+∞
x →0
Une fonction puissance est définie, continue et dérivable pour tout x > 0 :
( f m )′ ( x ) = mx m−1
Ainsi, les variations de la fonction puissance dépendent du signe de m :
Propriété :
( x1 x2 )
m
= x1m x2m
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p33/36 -
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)RQFWLRQXP
Définition :
m étant un réel et u une fonction définie et strictement positive sur une partie D ⊆ \ , la
fonction u m est définie sur D par :
u m ( x ) = (u ( x ))
m
D’après le théorème de dérivation d’une fonction composée (Chapitre 3, § 4.3), il vient :
Proposition :
m étant un réel et u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de \ ,
alors la fonction u m est dérivable sur I et :
(u )′ = m u′ u
m
m −1
Exemple 1
Cas particulier :
Soient m ∈ \ et f une fonction définie sur ]−1; +∞[ par f ( x ) = (1 + x ) : f (0 ) = 1 .
m
f est dérivable sur ]−1; +∞[ et f ′ ( x ) = m (1 + x )
m −1
avec f ′ (0 ) = m . Ainsi, par définition de la
dérivabilité de f en 0, on obtient :
(1 + x )
lim
m
x →0
x
−1
=m
Ceci peut encore s’écrire (1 + x ) = 1 + mx + xε ( x ) avec lim ε ( x ) = 0 .
m
x →0
La fonction x 6 1 + mx constitue donc une approximation affine de la fonction x 6 (1 + x )
m
au voisinage de 0.
Proposition :
m étant un réel ≠ 1 et u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I de
\ , alors la fonction u ′ u m admet pour primitive sur I la fonctiont :
1 m +1
u
m +1
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p34/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
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&URLVVDQFHVFRPSDUpHV
Théorème :
ln x
ex
0
=
et
lim
= +∞
x →+∞ x m
x →+∞ x m
•
Si m > 0 , alors lim
•
Si m < 0 , alors lim
ln x
ex
=
+∞
et
lim
= +∞
x →+∞ x m
x →+∞ x m
Démonstration
Remarque :
Pour x > 0 , en écrivant x m e − x =
xm
, on obtient si m > 0 :
ex
lim x m e− x = 0
x →+∞
Exemple 2
8QH[HPSOHG·DSSOLFDWLRQHQ%LRORJLHODUHODWLRQDOORPpWULTXH
L’allométrie est l’étude des tailles relatives des différentes parties d’un organisme, sous
l’influence de la croissance. Classiquement, on cherche à relier la taille et le poids d’un
individu.
On doit à Huxley (1932) la relation (ou équation) allométrique de base :
Y =α X β
où X représente par exemple le poids et Y la taille. α et β sont deux paramètres réels dont la
valeur va dépendre de l’espèce étudiée.
L’intérêt de cette relation est que l’on peut la linéariser :
Y = α X β ⇔ ln Y = α + β ln X
Ainsi, vous verrez dans votre cours de Probabilités – Statistiques en 2ème année de Deug SV,
comment on peut obtenir des estimations des paramètres α et β à partir d’un jeu de données
expérimentales.
Huxley donne l’exemple de la relation qui existe entre le poids des pinces de crabes
(« fiddler-crab » et leur masse corporelle.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p35/36 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (19/10/2001)
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Voici une représentation graphique des données expérimentales brutes :
Voici une représentation graphique des données transformées en logarithme népérien :
La droite bleue permet de vérifier la linéarité de la relation entre les deux grandeurs, poids des
pinces de homard, et masse corporelle, en coordonnées logarithme népérien.
- Chapitre 4 : Fonctions Usuelles, p36/36 -
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