Juin 2001 - Laboratoire de Physique des Solides

DEADEPHYSIQUE DES SOLIDESETMILIEUXDENSESJuin2001
Structuredela matièrecondensée
Durée 3heures.Notes de coursautorisées
Lastructuredel’ADN: la doublehélice
L’ADN, l’acidedésoxyribonucléique,estunemacromoléculebiologique contenantl’infor-
mationgénétiquedelamajoritédes êtres vivants.Cettemoléculeaune structure en double
hélice, quiaété élucidée en1953 parJames D. WatsonetFrancisCrick. Dans sonlivre
«Ladoublehélice »,oùil racontel’histoirede cettedécouverte, Watsonexpliquelerôle
jouéparladi¤raction des rayonsX.Àproposdu clichédedi¤raction del’ADNreproduit
…gure1,obtenu parRosalind Franklinen1952, Watsonécrivit«Dès quejevis cetteimage,
jerestaisbouchebée etmon pouls s’accéléra... Lacroix noiredes ré‡exionsquidominait
dansl’imagenepouvaitprovenirqued’une structurehélicoïdale... ».Lebutdeceproblème
estde comprendre ce quiparaissaitsiélémentaireauDrWatson...
Figure1:Clichédedi¤ractionXdelaformeBdel’ADN.Ladirectionzestverticale.
IÉtudedeladi¤raction parunehélice continue
On peutcomprendrelastructuredelamoléculed’ADNenimaginantune échellevrillée
(Figure2a).Les deuxmontantsdel’échelle(les brins)sontformés d’un groupephosphate
(constituéd’un atomedephosphorereliéàquatreatomes d’oxygène)etdedésoxyribose
(un sucreàcinqatomes de carbone),tandisqueles barreauxdel’échelle sontconstitués
d’unepairedebases azotées :adénine-thymineouguanine-cytosine(chacune constituée
d’un ou dedeuxcycles contenantdes atomes d’azote etde carbone). Onconnaîtaujourd’hui
plusieursformes d’ADN,maislaplus courante estlaformeB, danslaquelleles paires de
base sontperpendiculaires àladirection d’enroulementdel’hélice.C’estcetteformedontil
seraquestion danslasuite.
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A)Pourmodéliserlamoléculed’ADN,nous commenceronsparétudierunehélice continue
in…nie.La…gure2b)schématise unehélice droitein…niededirectionz,depasPetde
rayonR.
1-a)Montrerqualitativementquel’on peutconsidérercettehélice commeune…gure
périodiqueunidimensionnelle.
b)Qu’est-ce qu’impliquelachiralitéde cettehélice surses élémentsde symétrie?Donner
les opérationsde symétriedeposition del’hélice. Quelles seraientles opérationsde symétrie
d’unehélice gauche?
c)Déduiredes élémentsde symétriedepositionlegroupede symétried’orientation de
l’hélice continue.
2)Onrappellequeles coordonnées cartésiennes (x;y;z)d’un pointquelconquepeuvent
s’exprimeren fonction des coordonnées cylindriques (r;';z).Exprimerles coordonnées
cartésiennes (xh;yh;zh)d’un pointdel’hélice en fonction delaseulevariablet,dé…nieFigure
2b),du rayonRdel’hélice etde son pasP. On utiliseralefaitquelorsquet=P,'=2¼,
xh=R,yh=0etzh=P.
P
t0
p
Phosphate
Bases azotées
Liaisons H
Désoxyribose
R
x
y
z
ϕt
P
a)
b)
qy
ψ
c)
q
qr
qz
qx
qz
R
Figure2:a)Structuredelamoléculed’ADNetdé…nition de ses paramètres structuraux.
b)Coordonnées cylindriques (R;';t)d’un pointdel’hélice continue.c)Coordonnées cylin-
driques (qr;Ã;qz)du vecteurdedi¤usionq.
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B)Oncherchemaintenantàcalculerl’amplitudededi¤usion del’hélice continue.
1)Donnerl’expression du déphasage entredeuxondes di¤usées parun pointàl’origine
etun pointdel’hélice de coordonnées (xh;yh;zh). Onexprimeralerésultaten fonction du
vecteurdedi¤usionqde coordonnées (qx;qy;qz)(poursimpli…erles calculsdelasuitedu
problèmeon prendrale signedecedéphasagepositif).Exprimer(qx;qy;qz)dansle système
de coordonnées cylindrique(qr;Ã;qz)dé…niFigure2c).En déduirel’expression du déphasage
dans ce systèmede coordonnées etle simpli…eren utilisantlatrigonométrie.
2)En ne considérantquel’aspectunidimensionneletpériodiquedel’hélice continue,
donnersanscalcullelieu des pointsdel’espace réciproqueassocièàl’hélice.En projetant
l’hélice surl’axez,montrer(égalementsans calcul)quel’intensitédi¤usée eststrictement
nullelelongdel’axezpourqz6=0.
3)En utilisantlerésultatdu B1),rappelerl’expressionintégraledonnantl’amplitudede
di¤usion d’un objetdedensité électronique½(r).
4)Onappelle½0ladensitélinéïque constantedel’hélice continuedé…nie enA1).Donner
l’expression del’amplitudededi¤usionA(qr;Ã;qz)del’hélice en fonction des coordonnées
cylindriques deq. Onexprimeralerésultatsouslaformed’uneintégrale surlavariablet.
5)En utilisantlapériodicitédel’hélice,montrerquel’amplitudededi¤usions’exprime
souslaformed’un produitd’unefonction peignede Dirac, quel’on précisera,parlefacteur
de structure:
F(qr;Ã;qz)=½0ZP
0exp(iqrRcos(2¼t
P¡Ã)) exp(iqzt)dt:
Quereprésentephysiquementce facteurde structure?
6)Cetteintégralepeutse calculeren utilisantl’identité suivante:
Z2¼
0exp(iucosµ)exp(inµ)dµ=2¼inJn(u);
oùuestun réel quelconque etJn(u)lafonction deBesseld’ordren.Ces fonctionsvéri-
…entles relationsJ¡n(u)=(¡1)nJn(u)etJn(¡u)=(¡1)nJn(u).LaFigure3donneles
représentationsdes cinqpremières fonctionsdeBesseldansl’intervale0<u<10.
Ces fonctionsdeBesselpossèdentdes extremadontles coordonnées usontdonnées dans
letableauci-dessous.
neextremaJ0J1J2J3J4J5
1u=0 1:84 3:05 4:20 5:32 6:42
2u=3:83 5:33 6:71 8:01 9:29 10:52
3u=7:01 8:54 9:97 11:35 12:69 13:99
4u=10:17 11:71 13:17 14:59 15:96 17:31
Montrerquelefacteurde structurepris enqz=2¼n
Ps’exprime:
F(qr;Ã;2¼n
P)=½0P Jn(qrR)exp(in(Ã+¼ 2)):
7)Àpartirdes résultatsprécédents etdu tableauci-dessus,représenterschématiquement
dansleplan(qr;qz)l’intensitédi¤usée parl’hélice continue.Montreren particulierqu’il
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Figure3:Représentation des cinqpremières fonctionsdeBesselJn(u).
apparaîtla«croix »caractéristiquedeladi¤raction parunehélice.De quelsparamètres
dépend l’anglequefaitcette croix avec ladirectionz?
8)QuelestlasymétriedejF(q)j2?Peut-on déduirelachiralitédel’ADNparune
expérience dedi¤raction?
II Modélisation deladoublehélice.
Onveutmaintenant trouverun modèleserapprochantdelamoléculed’ADNréelle.
1-a)Onconsidèreledeuxièmebrin delamolécule,négligéjusqu’ici. Commeindiqué
Figure2a),ce brinestdécalépar rapportau premierd’unelongueurt0.Donnerlefacteur
de structuredecedeuxièmebrineten déduirelefacteurde structured’un objetconstitué
dedeuxhélices continuesdécalées det0.Donnerl’intensitédi¤usée parcettedoublehélice
continue etpréciserlefacteur reliantl’intensitédi¤usée parladoublehélice continue etcelle
di¤usée parl’hélice simple. Quelestlerôlede ce facteursurl’intensitédi¤usée ?
b)Sanslejusti…eràce niveau,onconsidèrequele clichédelaFigure1estprincipalement
dominéparl’intensitédi¤usée parunedoublehélice.Àpartirdeladistribution d’intensité
lelongdelacroix dedi¤raction,estimerlaquantitét0.
2-a)Lastructuredel’ADNs’apparente en faitàcelled’unedoublehélice discontinue.
Pourlamodéliser,onconsidèrequeladoublehélice continue estcoupée parun ensemblede
plans équidistants,depériodep(voirFig.2a)).Enconsidérantletype etlaposition des
di¤érentsgroupementsd’atomedel’ADN,justi…ercettemodélisation.
b)Rappelerlatransformée deFourierd’un ensembledeplans équidistantsdepériodep.
En projetantladoublehélice discontinue surl’axez, indiquersans calcul l’intensitédi¤ractée
lelongdel’axeqz.
3)Lamoléculed’ADNestainsimodélisée parleproduitd’unedoublehélice continue
etd’un ensembledeplans équidistants.En utilisantles propriétés delatransformée de
Fourier,exprimerl’intensitédi¤usée parladoublehélice discontinue(on pourrautiliserdes
argumentsgéométriques).
4)SipetPsontdansun rapportirrationnel, quelle estlasymétriedel’intensitédi¤usée ?
EnsupposantqueMp=PouMestun entierpair,calculerl’intensitédi¤usée dansleplan
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qz=0en fonction deJ0,JMetJ¡M. Quelle estlasymétriedel’intensitédi¤usée dans ce
plan? Commenterce résultat?
III Étuded’unemésophase ensolutionconcentrée d’ADN.
Ensolutionaqueuse l’ADNdonnenaissance àplusieursphases.Enaugmentantlaconcen-
trationenADN onobserve successivementlaséquence dephases suivante: liquideisotrope
!cholestérique!colonnairehexagonale!cristallines. On ne s’intéresseradanslasuite
qu’àlaphase colonnairehexagonale.Dans cettephase, les molécules d’ADNs’empilentde
manièredésordonnée lelongde colonnes parallèles (voirFig.4).Ces colonnes formentun
réseau hexagonalbidimensionneldeparamètres aetb.Les molécules sontdel’ADNde
thymusdeveau(hélices delongueur»500 Å soit146 paires debase). Onse propose de
calculerlafonction dedi¤raction de cette structure.
ab
Molécule d’ADN
Colonnes
500 Å
Figure4:Représentationschématiquedelaphase colonnairehexagonaledel’ADN.Les
molécules d’ADNsontschématisées pardes cylindres grisés surdeuxcolonnes seulement.
A)Cettepartie estindépendantedes parties IetII.
1-a)Onconsidèred’abord une colonneisolée constituée deNmolécules d’ADN,dans
laquelleledésordredeposition des molécules estceluid’un liquide.Ladistance moyenne
entrepremiersvoisins estdel’ordredelatailledel’ADN(soit»500 Å). Onsupposeraque
laniµememoléculedelacolonne estàlacoteznetqueles molécules ont toutes lamême
orientation.Montrerquel’amplitudededi¤usionC(q)d’une colonnesemetsouslaforme
F(q)S(q)oùF(q)estlefacteurde structuredel’ADNetS(q)estlafonction dedi¤usion
d’un liquideunidimensionneld’objetsponctuels, quel’on ne chercherapasàcalculer.
b)ReprésenterschématiquementlafonctionjS(q)j2.Àquoicorrespond son premier
maximum?Encomparantladistance moyenne entremolécules lelongd’une colonne etle
pasdel’hélice d’ADN,montrerquela…gurededi¤raction d’une colonne estprincipalement
donnée parjF(q)j2.
2)Onconsidèremaintenantleréseau hexagonalformépardes colonnes deNmolécules
d’ADN. On noteSuv(q)lafonction dedi¤usion delacolonne située enua+vb,uetventiers.
a)Montrerquequelleque soitlarépartition des molécules surlacolonneSuv(qz=0)est
une constante.
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