Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE
Ministère de l’Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique
Centre Universitaire d’El-oued
Institut des Sciences et Technologie
N° d’ordre : ………
Série : …………….
MEMOIRE
Présenté pour obtenir le diplôme de
Magister en physique
Option : Rayonnement et Optoélectronique
Par
MEHELLOU SAID
THEME
DETERMINATION DU PROFIL D’INDICE D’UN GUIDE
OPTIQUE PLANAIRE
Soutenu le : 04 / 11 / 2010
Devant le jury composé de :
M. MEFTAH Med Tayeb
M. FERHAT Rehouma
M. AIADI Kamel Eddine
M. GUEDDA Elhabib
Pr. Université de Ouargla
Pr. C.U d’El-oued
M.C. Université de Ouargla
M.C. C.U d’El-oued
Président
Rapporteur
Examinateur
Examinateur
‫ره ا
أن و إ ‬
J’espère qu’un jour, mes fils suiveront le même chemin que moi !
Remerciements
Je veux tout d'abord exprimer ma plus profonde gratitude au Pr. Ferhat Rehouma du
centre universitaire d’El-oued, c’est grâce à lui que j'ai effectué mes premiers pas dans le
domaine de la photonique. Je le remercie pour avoir accepté d’être mon rapporteur et me
confier le sujet de ce mémoire.
Je suis profondément reconnaissant aux membres de jury d’avoir accepté l’invitation,
notamment au Pr. Meftah Med Tayeb de l’université de Ouargla, de l'honneur qu'il me fait en
présidant le jury de ce mémoire.
Mes remerciements vont également aux Docteurs Aiadi Kamel Eddine de l’université de
Ouargla et Guedda Elhabib du centre universitaire d’El-oued, qui ont bien voulu accepter de
juger ce travail.
J’adresse ma grande reconnaissance envers tous ceux qui ont contribué à ma formation,
je ne serais pas ce que je suis sans leur aide précieuse.
Je tiens à remercier ma famille et tout particulièrement ma femme. Elle a été ma source de
soutient. La confiance qu’elle m’a offert m’a donné beaucoup de forces.
I
Dédicace
A ma mère.
A l’âme de mon père.
II
TABLE DES MATIERES
Remerciements ............................................................................................................................ I
Dédicace ..................................................................................................................................... II
Table des matières .................................................................................................................. III
Introduction générale ................................................................................................................. 1
Chapitre : 0
L’optique guidée planaire
0.1 Introduction ......................................................................................................................... 3
0.2 Théorie des guides d’ondes optiques ................................................................................... 3
0.2.1 Description d’un guide d’onde optique plan ............................................................... 4
0.2.2 Guide d’onde optique plan à saut d’indice .................................................................. 4
0.2.3 Guide d’onde optique plan à gradient d’indice ........................................................... 5
0.3 Propagation de la lumière dans un guide d’onde optique plan ........................................... 6
0.3.1 Approche d’optique géométrique ............................................................................... 6
0.3.1.1 Confinement de la lumière .............................................................................. 6
0.3.1.2 Types de modes dans un guide d’onde optique plan ....................................... 7
0.3.1.2.1 Modes de radiation .......................................................................... 7
0.3.1.2.2 Modes de substrat ........................................................................... 7
0.3.1.2.3 Modes guidés................................................................................... 7
0.3.1.3 Propagation guidée de la lumière .................................................................... 7
0.3.1.4 Equation de dispersion .................................................................................... 8
0.3.2 Approche électromagnétique..................................................................................... 10
0.3.2.1 Equations de Maxwell ................................................................................... 11
0.3.2.2 Guide plan à saut d'indice.............................................................................. 11
0.3.2.2.1 Equation de dispersion ................................................................... 12
0.3.2.2.2 Les différents modes dans un guide optique plan .......................... 15
* Modes rayonnés .......................................................................... 15
* Modes à fuite ............................................................................... 16
0.3.2.2.3 Longueur d’onde de coupure.......................................................... 16
0.3.2.2.4 Epaisseur de coupure ...................................................................... 17
0.3.2.2.5 Nombre de modes guidés ............................................................... 18
0.3.2.3 Guide plan à gradient d'indice ....................................................................... 18
0.3.2.3.1 Equation de dispersion ................................................................... 18
0.3.2.3.2 Résolution de l'équation de propagation ....................................... 18
* Approximation WKB .................................................................. 19
0.4 Les pertes en optique guidée .............................................................................................. 21
0.5 Conclusion .......................................................................................................................... 23
III
Chapitre : 1
L’optique intégrée
1.1 Introduction ........................................................................................................................ 24
1.2 Exemples de fonctions en optique intégrée ........................................................................ 24
1.3 Principales technologies utilisées en optique intégrée ....................................................... 25
1.3.1 Technologie à base de semi-conducteurs ш-v.......................................................... 25
1.3.2 Technologie à base de silicium ................................................................................. 25
1.3.3 Technologie à base de LiNbO3 ................................................................................. 26
1.3.4 Les polymères ........................................................................................................... 27
1.3.5 Technologie à base de substrat de verre .................................................................... 28
1.4 Conclusion .......................................................................................................................... 28
Chapitre : 2
Les verres
2.1 Introduction ........................................................................................................................ 29
2.2 Définition ........................................................................................................................... 30
2.3 La transition vitreuse ......................................................................................................... 30
2.4 Familles de verres............................................................................................................... 31
2.4.1 Verres d’oxydes ........................................................................................................ 32
2.4.1.1 Verres de silice .............................................................................................. 32
2.4.1.2 Verres sodocalciques ..................................................................................... 32
2.4.1.3 Verres borosilicates ....................................................................................... 32
2.4.2 Verres de phosphate et de borate............................................................................... 32
2.4.3 Verres chalcogènes .................................................................................................... 33
2.4.4 Verres halogènes ....................................................................................................... 33
2.4.5 Verres métalliques ..................................................................................................... 33
2.4.6 Verres fluorés ............................................................................................................ 33
2.4.7 Verres chlorés ............................................................................................................ 34
2.4.8 Autres verres minéraux ............................................................................................. 34
2.4.9 Verres organiques ...................................................................................................... 34
2.5 Structure du verre ............................................................................................................... 34
2.5.1 Structure des verres simples ...................................................................................... 34
2.5.2 Structure des verres composés .................................................................................. 37
2.5.2.1 Les oxydes formateurs de réseau ................................................................. 37
2.5.2.2 Les oxydes modificateurs de réseau ............................................................ 38
2.5.2.3 Les oxydes intermédiaires ............................................................................. 40
2.6 Propriétés des verres........................................................................................................... 41
2.6.1 Indice de réfraction ................................................................................................... 41
2.6.2 La viscosité ............................................................................................................... 43
2.6.2.1 Définition ...................................................................................................... 43
2.6.3 Dilatation thermique .................................................................................................. 45
2.6.4 Durabilité chimique ................................................................................................... 46
2.6.5 Conductivité électrique ............................................................................................. 47
2.6.6 Effet des constituants du verre .................................................................................. 48
2.6.6.1 Effet d’alcalin mixte ...................................................................................... 49
2.6.6.2 Effet de formateur mixte ............................................................................... 49
2.6.7 La transparence ......................................................................................................... 49
2.7 Affinage et homogénéisation du verre ............................................................................... 50
2.8 Critères de choix d’un verre ............................................................................................... 52
2.9 Conclusion .......................................................................................................................... 54
IV
Chapitre : 3
L’échange d’ions
3.1
3.2
3.3
3.4
Introduction ...................................................................................................................... 55
Historique de l’échange d’ions ......................................................................................... 55
Principe de l’échange d’ions ............................................................................................ 55
Les ions dopants et le choix du verre ............................................................................... 56
3.4.1 L’échange Argent / Sodium (Ag+ / Na+) .................................................................. 57
3.4.2 L’échange Potassium / Sodium (K+ / Na+) ............................................................... 58
3.4.3 L’échange Thallium / Potassium (Tl +/ K+).............................................................. 58
3.4.4 L’échange Lithium / Sodium (Li+ / Na+).................................................................. 58
3.4.5 L’échange Césium / Potassium (Cs+ / K+) ............................................................... 58
3.4.6 L’échange Rubidium / Sodium, Potassium (Rb+ / Na+, K+) ................................... 58
3.5 Théorie de l’échange d’ions ............................................................................................. 59
3.5.1 Les lois de la diffusion ionique ............................................................................... 59
3.6 Résolution de L’équation du profil de concentration par la méthode aux différences ........
finies .................................................................................................................................. 64
3.7 Détermination des paramètres caractéristiques de l’échange ........................................... 65
3.7.1 Variation d’indice de surface .................................................................................. 66
3.7.2 Le coefficient de diffusion D et la mobilité ߤ ......................................................... 66
3.8 Réalisation des guides d’ondes par échange d’ions sur verre .............................................. 67
3.8.1 Étapes de réalisation ................................................................................................ 67
3.9 Dispositifs réalisés par échange d’ions ............................................................................. 68
3.9.1 Dispositifs passifs .................................................................................................... 68
3.9.2 Dispositifs actifs ....................................................................................................... 69
3.9.3 Hybridation de fonctions actives et passives............................................................ 69
3.10 Conclusion ........................................................................................................................ 70
Chapitre : 4
Caractérisation des structures guidantes
4.1 Introduction ........................................................................................................................ 71
4.2 Caractérisation de l’indice de surface ................................................................................ 71
* Principe de la méthode de Brewster ................................................................................ 71
4.3 Caractérisation de l’indice du guide ................................................................................... 72
4.3.1 Les différentes techniques de couplage ..................................................................... 73
4.3.1.1 L'injection par tranche .................................................................................. 73
4.3.1.2 Le couplage par biseau .................................................................................. 73
4.3.1.3 Le couplage par réseau .................................................................................. 73
4.3.1.4 Le couplage prisme ...................................................................................... 73
4.3.2 Mesures des indices effectifs..................................................................................... 73
4.3.2.1 Spectroscopie en champ proche .................................................................... 74
4.3.2.2 Spectroscopie des m-lines ............................................................................. 74
4.3.2.2.1 Principe du couplage par prisme ................................................................ 75
4.3.2.2.2 Rôle de l’épaisseur du gap d’air ................................................................. 76
4.3.2.2.3 Observation des lignes noires ..................................................................... 76
4.3.2.2.4 Condition d’excitation des modes guidés................................................... 77
4.3.2.2.5 Choix du prisme ......................................................................................... 78
4.3.2.2.6 Numérotation des modes ............................................................................ 78
V
4.4 Reconstruction du profil d’indice ....................................................................................... 79
4.4.1 La méthode WKB inverse ......................................................................................... 79
* Principe ................................................................................................................... 79
4.5 Reconstruction du profil du champ électromagnétique...................................................... 81
4.5.1 La méthode de Runge Kutta ...................................................................................... 82
4.5.1.1 Principe.......................................................................................................... 82
* Intégration d’un système de deux équations différentielles du premier .......
degré .......................................................................................................... 82
* Application de la méthode de RK à l’intégration d’une équation ...............
différentielle du second ordre ..................................................................... 83
* Application de la méthode de RK au tracé du champ électromagnétique ..
dans un guide d’onde plan ....................................................................... 84
4.6 Conclusion .......................................................................................................................... 85
Résultats et discussion
5.1 Tracé du profil d’indice ...................................................................................................... 86
5.2 Tracé du profil du champ électromagnétique ..................................................................... 86
5.3 Programme de simulation................................................................................................... 86
5.4 Exemple d’application n° 1 ................................................................................................ 86
5.4.1 Tracé du profil d’indice ........................................................................................... 86
5.4.2 Tracé du profil du champ électromagnétique (modes TE) ....................................... 87
5.5 Exemple d’application n° 2 ................................................................................................ 88
5.5.1 Tracé du profil d’indice ........................................................................................... 88
5.5.2 Tracé du profil du champ électromagnétique (modes TE) ....................................... 88
5.6 Exemple d’application n° 2 ................................................................................................ 89
5.6.1 Tracé du profil d’indice ........................................................................................... 89
5.6.2 Tracé du profil du champ électromagnétique (modes TE) ....................................... 89
5.7 Conclusion .......................................................................................................................... 90
Conclusion générale ............................................................................................................... 91
Bibliographie .......................................................................................................................... 92
Annexe .................................................................................................................................... 95
Résumé ................................................................................................................................. 109
VI
Introduction générale.
Introduction générale
Connue et utilisée depuis longtemps, la transmission d'informations par voie optique est
restée d'un emploi marginal jusqu'à l’invention du laser, depuis, on dispose de signaux lumineux cohérents, sur lesquels l'information peut être imprimée par différents procédés. La lumière est notamment devenue le support idéal pour la transmission d’informations.
Pour répondre à l’augmentation du débit d’informations à transmettre, la technique a dû
évoluer. Les améliorations en matière de technologie des lasers liées à l’utilisation des fibres
optiques ont permis d’accroître considérablement ce débit.
Le développement de la transmission d'informations, par voie optique, à haut débit implique la réduction des connexions ainsi que des conversions électro-optiques et optoélectroniques.
La solution réside dans la création de nouveaux dispositifs intégrant plusieurs fonctions optiques et optoélectroniques sur une même puce. Ces nouveaux dispositifs sont regroupés sous le concept d’optique intégrée, notion proposée par S. E. Miller en 1969. Son objectif
était d’intégrer sur une même puce, la source de lumière, les fonctions optiques et les systèmes de détection pour limiter les pertes de connexions.
Ces fonctions optiques ont pu être réalisées par des circuits photoniques dont le composant de
base est le guide planaire. Ces structures guidantes peuvent être réalisées sur plusieurs matériaux, avec des technologies différentes, tel que l’échange d’ions sur substrat de verre, qui est
une technique simple et économique permettant de produire une variété de composants passifs
à faibles pertes. La qualité de ces guides offrait de belles perspectives d’élargir son utilisation
pour les composants actifs et hybrides.
Cependant, avant toute utilisation pratique de ces structures, il est nécessaire de se rendre
compte de leurs propriétés optiques.
Cette étape, qui est la caractérisation opto-géométrique des guides optiques plans, constitue le pont qui assure la liaison entre la réalisation et l’utilisation de ces structures et par lequel doit passer tout utilisateur de ces derniers. Le problème c’est que nul ne donne ses secrets concernant ce sujet, et c’est la le motif qui nous a poussé à faire ce travail, à la fin pour
valider nos résultats, on va les comparer avec ceux obtenus par [1].
Ce mémoire se donne, pour objectif, non seulement, l’étude théorique de la propagation
guidée de la lumière, mais aussi, la caractérisation opto-géométrique des guides optiques.
Pour cela, plusieurs techniques de caractérisation peuvent être envisagées, commençant par la
mesure de l’indice de surface, des méthodes comme la technique angulaire de Brewster peuvent être employées.
Par ailleurs, l’utilisation optimale des potentialités de la technique m-lines permet une caractérisation complète des structures guidantes sous forme de couches minces ou de guides obtenus dans des monocristaux.
Cette technique classique si elle est utilisée dans des conditions optimales peut se révéler
comme un outil de caractérisation très performant.
1
Introduction générale.
Ce manuscrit est organisé en cinq chapitres.
Le premier chapitre introduit les concepts de base des guides d’ondes optiques plans ainsi
que le principe de propagation de la lumière dans cette structure, et en particulier dans un
guide à gradient d'indice. Ce chapitre se termine par un bref aperçu sur les différentes pertes en
optique guidée.
Le deuxième chapitre est consacré à l’optique intégrée, nous commençons par un rappel
des fonctions de base d'optique intégrée. Ce rappel sera suivi par une présentation des technologies employées en optique intégrée.
Le troisième chapitre est dédié à la présentation du verre comme étant l'un des meilleurs
candidats susceptibles d'être utilisés pour réaliser des composants d'optique intégrée. Définition, structure, propriétés et caractères de choix d’un verre sont les éléments de ce chapitre.
Le quatrième chapitre présente les bases théoriques relatives au procédé d'échange ionique. Nous commençons par : historique, principe, caractères de choix des pairs verres / ions,
théorie, détermination des paramètres caractéristiques, réalisation des guides et nous terminerons par une présentation des dispositifs réalisés par échange d’ions sur verre.
Le cinquième chapitre aborde l’étude des techniques de caractérisation opto-géométrique
des guides optiques.
Dans un premier temps, la technique angulaire de Brewster pour mesurer l’indice de surface,
est décrite.
Dans un deuxième temps, nous décrivons la caractérisation des guides par la technique
m-lines, cette méthode est basée sur le couplage par prisme. En suite nous portons une attention particulière à la reconstruction du profil d’indice en utilisant la méthode WKB inverse
(Wenzel – Kramers – Brillouin) et du profil du champ électromagnétique par la méthode de
Runge Kutta.
A la fin des exemples de détermination du tracé des profils, d’indice et du champ électromagnétique, de guide optique plan à gradient d’indice seront exposés et discutés.
La présentation de ce manuscrit se terminera par une conclusion générale.
2
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
L’optique guidée planaire
0.1 Introduction
Le guide d’onde optique est un des fondements du développement de l’optique intégrée
dans divers domaines, comme la communication optique, le traitement du signal optique. Il
s’applique dans des fonctions de couplage, de modulation, de multiplexage, d’amplification.
Ce chapitre introduit les concepts de base des guides d’ondes optiques planaires ainsi que
l’étude de la propagation de la lumière dans cette structure [2].
La propagation de la lumière sera décrite à l’aide du modèle simple du guide d'ondes plan à
couches diélectriques. Nous commençons cette section par un rappel de l’approche d’optique
géométrique du comportement de la lumière aux interfaces des milieux, ensuite nous présenterons un modèle plus exact basé sur la théorie électromagnétique, avec une attention plus particulière consacrée au confinement à une dimension dans les guides à indice variable.
0.2 Théorie des guides d’ondes optiques.
Les guides d'onde optiques sont des systèmes diélectriques qui permettent le confinement
et le guidage de la lumière. Le confinement est basé sur le principe de la réflexion totale de la
lumière aux interfaces du guide. Ces systèmes optiques peuvent être séparés en deux grandes
familles : les fibres optiques à géométrie cylindrique et les guides d’onde planaires. De tels
guides peuvent être plans, en relief ou enterrés, et sont destinés à l'optique intégrée (fig. : 0.1)
[3]. Dans le cadre de cette étude, nous nous sommes intéressés à l’étude des guides plans.
1
Guide plan
Guide enterré
1
1
Guide canal
(en surface)
Guide en relief
(en ruban)
Guide enterré
symétrique
1
Guide en arête
Fibre optique
Figure 0.1 : Différents types de guides d’ondes planaires et fibre optique.
3
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
0.2.1 Description d’un guide d’onde optique plan
Dans leur forme la plus simple, les guides optiques plans sont constitués par la superposition de trois couches diélectriques (figure 0.2) [4] :
Le superstrat d’indice qui peut être autre que l’air 1
;
Le substrat d’indice ;
La couche guidante d’indice et d’épaisseur située entre le substrat et le superstrat.
Pour qu’une onde lumineuse puisse être confinée dans le guide d’indice (constant ou
variable), deux conditions doivent être vérifiées :
Les indices de réfraction des trois milieux constituant le guide doivent vérifier la condition [4]:
(0.1)
L’épaisseur du guide ne doit pas être inferieure à une limite critique en dessous de laquelle il n’ya plus de guidage.
Superstrat
Guide
Substrat
Figure 0.2 : Structure d’un guide d’onde optique plan.
Si la variation d’indice de réfraction en fonction de la profondeur est abrupte, on parle de
guides à saut d’indice, si elle varie graduellement avec la profondeur ce sont des guides à gradient d’indice.
0.2.2 Guide d’onde optique plan à saut d’indice
Un guide est dit à saut d'indice si son indice est constant dans chaque région du guide
(fig. 0.3). L’approche la plus simplifiée de la propagation d’un rayon lumineux dans un tel
guide consiste en sa réflexion totale aux interfaces guide-substrat et guide-superstrat, et la lumière s’y propage en un trajet en forme de zigzag [4, 5].
Le rayon est guidé lorsque son angle d’incidence par rapport à la normale aux interfaces est
inférieur à et est supérieur aux angles critiques et (figure 0.4).
4
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Superstrat
x
(b)
Guide
Substrat
Figure 0.3 : Guide d’onde plan à saut d’indice.
(a) Structure. (b) Profil d’indice.
x
(a)
Figure 0.4 : Propagation de la lumière
dans un guide d’onde plan à saut d’indice.
0.2.3 Guide d’onde optique plan à gradient d’indice
Pour ce type de guide, l'indice de réfraction varie graduellement en fonction de la profondeur , depuis l'interface guide – superstrat jusqu'à l'indice du substrat (figure 0.5). Le profil
d'indice peut prendre différentes formes analytiques (parabolique, exponentielle, gaussienne,…..) qui dépendent de la méthode de fabrication et de la nature du matériau utilisé [4].
La lumière guidée est représentée par un rayon lumineux se propageant suivant un chemin
courbé périodique limité par des points de rebroussement plus ou moins profonds dans la
couche guidante (qui dépendent du profil d'indice et du mode de propagation), et éventuellement par des réflexions totales successives à l'interface guide-superstrat (figure 0.6) [2, 6].
x
(b)
Superstrat
Guide
Substrat
x
(a)
Figure 0.5 : Guide d’onde plan à gradient d’indice.
(a) Structure. (b) Profil d’indice.
5
Figure 0.6: Propagation de la lumière
dans un guide plan à gradient d’indice.
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
0.3 Propagation de la lumière dans un guide d’onde optique plan
Le principe de la propagation de la lumière dans les guides optiques plans peut être traité
dans une première approche par la théorie des rayons, issue de l’optique géométrique, et dans
une seconde approche, par l’optique ondulatoire décrite par les équations de maxwell.
0.3.1 Approche d’optique géométrique
L’optique géométrique permet de donner une idée des propriétés des guides d’ondes optiques en représentant les rayons optiques s’y propageant. La description de l’optique géométrique, bien qu’approximative, est valide quand les dimensions d’un guide sont beaucoup plus
larges que la longueur d’onde considérée. Quand ces deux valeurs deviennent comparables ce
n’est que la théorie électromagnétique de la propagation des ondes, décrite par la suite, qui
permet d’expliquer complètement les processus du guidage de la lumière [3, 7].
0.3.1.1 Confinement de la lumière
Dans un guide d’onde optique plan à saut d’indice, la lumière est confinée par réflexion
totale aux interfaces guide – superstrat et guide – substrat. En considérant la lumière qui se
propage dans le guide en tant que rayon lumineux on obtient un trajet en forme de zigzag. Se
sont donc la réflexion et la réfraction aux interfaces qui déterminent cette propagation. Elles
sont décrites par la loi bien connue de Snell – Descartes [2, 5].
Pour deux milieux aux indices de réfraction et (figure 0.7), la loi de Snell - Descartes est
donnée par :
. sin . sin (0.2)
θ θ1
0%1%23 1
0%1%23 2
θ
Figure 0.7 : Réflexion et réfraction d’un rayon lumineux à l’interface
de deux milieux d’indice de réfraction et .
On peut donc définir, pour un guide d’onde optique plan à saut d’indice, les angles critiques
des interfaces guide – superstrat et guide – substrat (figure 0.6) :
$%& '
()*+
$%& '
6
(,
()*.
(,
-
(0.3)
(0.4)
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
0.3.1.2 Types de modes dans un guide d’onde optique plan
Etant donné qu’en général et , l’angle d’incidence peut se trouver
dans trois gammes de valeurs, comme c’est présenté dans la figure 0.8 [3].
<
5 $ , =
5 5 >
, 5 5 90˚
Figure 0.8 : Propagation des modes en fonction de l’angle d’incidence.
0.3.1.2.1 Modes de radiation
Si 5 , le rayon optique est réfracté par l’interface guide - superstrat, et s’échappe de la
zone guidante à travers le superstrat. La lumière dans ce cas n’est pas confinée. De tels modes
sont dits des modes de radiation (figure 0.8.a).
0.3.1.2.2 Modes de substrat
Si 5 5 on observera des modes appelés modes de substrat où le rayon lumineux incident du substrat est réfracté par l’interface guide – substrat, ensuite entièrement réfléchi à
l’interface guide – superstrat et enfin réfracté dans le substrat à travers lequel la lumière
s’échappe de la structure (figure 0.8.b).
0.3.1.2.3 Modes guidés
Si , 5 5 90˚ les modes sont guidés suite à la réflexion interne totale aux interfaces
guide - superstrat et guide - substrat. La lumière est piégée à l’intérieur, confinée dans la
couche guidante et s’y propage (figure 0.8.c).
0.3.1.3 Propagation guidée de la lumière
Pour simplifier l’analyse on peut présumer que la direction de propagation de la lumière
dans un guide d’onde plan à saut d’indice est , que le confinement se produit transversalement
dans la direction et enfin la structure et la lumière sont uniformes dans la direction perpendiculaire au plan . Dans ce cas on considère des ondes stationnaires dans la direction et des
ondes planes progressives dans la direction . Ces dernières sont supposées monochromatiques
et cohérentes, avec une pulsation :, une longueur d’onde dans le vide ; , avec un vecteur de
(dit vecteur d’onde) normal à la surface du plan d’onde, dont le module est dépropagation fini par [3] :
7
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
k=
?
@ B . . ?A
(0.5)
Avec :
: Module du vecteur d’onde dans le guide.
: Module du vecteur d’onde dans le vide.
; : Longueur d’onde dans le vide.
; : Longueur d’onde dans le guide.
s’expriment comme :
Les composantes du vecteur . sin . cos (0.6)
(0.7)
Les différents modes guidés sont caractérisés par leur constante de propagation définie par :
. sin . . sin (0.8)
En introduisant la notion d’indice effectif défini par :
Cet indice doit vérifier la condition :
Et par conséquent :
E
FA
. sin 5 5 . 5 5 . (0.9)
(0.10)
(0.11)
0.3.1.4 Equation de dispersion
Les angles critiques définissent un cône de lumière à l’intérieur duquel peut avoir lieu la
propagation d’un rayon lumineux par réflexion totale. Néanmoins, toutes les directions angulaires à l’intérieur du cône de lumière ne correspondent pas à un rayon lumineux guidé. Seules
certaines directions sont permises et définissent ainsi les modes propres du guide. Bien qu’une
approche électromagnétique par les équations de Maxwell soit plus appropriée pour rendre
compte du caractère modal du guide, l’approche géométrique offre encore une fois un accès
simplifié à la compréhension du comportement du guide et permet de tirer l’expression de
l’équation de dispersion du guide.
Considérons le cas d’un rayon dont l’angle d’incidence est supérieur aux angles critiques
, et qui subit un guidage par réflexion totale aux interfaces [7, 8, 9].
8
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
C
.
A
.
B
D
0 Z O cos Figure 0.9 : Description géométrique du comportement modal d’un guide d’ondes plan.
Si l’on considère une onde plane dans le guide, il n’y aura propagation que si les plans d’ondes
correspondant aux rayons se propageant suivant un même angle interfèrent constructivement.
Il faut donc introduire ici la notion de phase et considérer que la différence de phase entre les
deux trajectoires est un multiple de 2G. En tenant compte du déphasage dû à la réflexion
totale H et H ainsi que les chemins optiques IJ et KL décrits dans la figure 0.9, on aura :
HMN O HPQ 2RG
SSSS
HPQ . IJ
Avec :
SSSS T H T H
HMN . KL
(0.12)
(0.13)
(0.14)
H et H sont respectivement les déphasages que subi le champ électromagnétique réfléchi
aux interfaces guide-superstrat et guide-substrat.
U
SSSS
KL VWX Y
SSSS KL
SSSS cosG O 2
OKL
SSSS cos2
IJ
SSSS O IJ
SSSS T H T H 2RG
HMN O HPQ . KL
U
SSSS cos2
B T H T H 2RG
. @
T KL
(0.15)
(0.16)
VWX Y
F.U
VWX Y
1 T cos2
T H T H 2RG
2. cos T H T H 2RG
2 . . cos T H T H 2RG
9
(0.17)
(0.18)
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
c
c
(, ` a(b & (_
H O2 <[>\] ^@ B
(_
c & (c
a(,
d
c
c
(, ` a(b & ()
H O2 <[>\] ^@ ( B
c & (c
a(,
b
)
e
(0.19)
e
(0.20)
Avec :
f 1 : Pour les modes transverses magnétiques g0.
f 0 : Pour les modes transverses électriques gh.
Ces modes seront définis dans les paragraphes suivants.
La relation (0.18) s’écrit alors :
c
c
(, ` a(b &()
Z O O <[>\] ^@ ( B
)
Z
O
c &(c
a(,
b
(,
O 2 <[>\] ^@(
c
c
(, ` a(b &(_
e O <[>\] ^@ ( B
) i_
_
B
c
c
` a(b & () i_
c &(c
a(,
b
c &(c
a(,
b
e RG
e RG (0.21)
(0.22)
Où m est entier positif qui indique l’ordre du mode guidé.
L’équation (0.21) constitue l’équation de dispersion du guide plan asymétrique j ,
l’équation (0.22) celle d’un guide plan symétrique . Le calcul des solutions de ces
équations se fait numériquement.
0.3.2 Approche électromagnétique
Comme nous l’avons vu dans le paragraphe précédent, il est possible de développer une
théorie qui décrit la propagation de la lumière confinée dans une seule direction en considérant
le trajet zigzagué d’un rayon lumineux (cas d’un guide à saut d’indice) par réflexion totale interne aux interfaces, entre la couche guidante, le substrat et le superstrat, et un chemin courbé
(cas d’un guide à gradient d’indice) périodique limité par des points tournants plus ou moins
profonds dans la couche guidante ,et éventuellement par des réflexions totales successives à
l'interface guide-superstrat. Cependant, c’est la théorie électromagnétique qui permettra de
donner une véritable image des phénomènes qui se produisent dans un guide et cela par la résolution des équations de Maxwell. Contrairement à la théorie des rayons, cette approche prend
en compte les déphasages induits lors des réflexions aux interfaces du guide ainsi que les effets
liés à la longueur d'onde du signal [2, 7, 8].
10
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Par la suite, nous présentons la démarche adoptée pour aboutir à une description des champs
dans le guide et nous montrons que le résultat de l’équation (0.21) est obtenu pareillement en
utilisant l’approche électromagnétique.
0.3.2.1 Equations de Maxwell
Tout problème d’électromagnétisme débute avec la résolution du système d’équations de
Maxwell.
Dans un milieu diélectrique isotrope, homogène, non magnétique kl 1
et en l’absence de
charge m 0
et de source de courant n 0
, les équations de Maxwell s’écrivent :
o p h O qQ
q
p r
O qN
o
q
. L
0
o
o . J
0
kl k r
J
s h
L
sl Avec :
h : Champ électrique.
: Champ magnétique.
r
: Induction électrique.
L
: Induction magnétique.
J
kl : Perméabilité magnétique relative du matériau.
k : Perméabilité magnétique du vide.
s : Permittivité électrique du vide.
sl : Permittivité électrique relative du matériau.
: Indice de réfraction du matériau.
k = 4G u 10&v rR&, dans le vide.
s = 8,85 u 10& yR&, dans le vide.
0.3.2.2 Guide plan à saut d'indice
Dans ce paragraphe, nous prenons par convention :
0 : interface : superstrat - couche guidante ;
: interface : couche guidante - substrat.
11
(0.23)
(0.24)
(0.25)
(0.26)
(0.27)
(0.28)
(0.29)
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
0.3.2.2.1 Equation de dispersion
A partir des équations de Maxwell, on cherche les solutions qui correspondent à une propagation dans la couche guidante d’indice , on pose :
h , , , \
h , . 2 z{&E
, , , \
r
, . 2 z{&E
r
(0.30)
(0.31)
Avec :
; : Longueur d’onde dans le guide.
: : Pulsation.
> : Vitesse de la lumière dans le vide, > k s 1.
% O1
Ces paramètres sont liés par la relation :
{
?
(0.32)
En introduisant ces expressions dans les équations de Maxwell, on obtient les équations de
propagation de la lumière dans la couche guidante :
|h
o h T h Oo
o (c
(c
}
(0.33)
T r
~o
p r
 p @ o (c B
o r
(
c
(0.34)
Dans le cas d’un guide plan, si on prend comme axe de propagation et on fait varier l’indice
q
selon l’axe on aura q€ 0 car le guide est infini selon l’axe . En explicitant, les compo-
santes du champ selon , , on peut montrer l’existence de deux types de solutions indépendantes. Une solution dite gh définie par ~h€ , r , r  et une solution dite g0 définie par
~r€ , h , h , (les autres composantes étant alors nulles). Toutes les solutions sont en fait des
combinaisons linéaires d’ondes gh et g0. La résolution des équations de propagation est similaire dans le cas gh et le cas g0.
Mode gh, autrement dit mode transverse électrique, il caractérise la propagation d'une
onde électromagnétique dont le champ électrique ne présente pas de composante longitudinale selon l'axe de propagation , et en particulier : h ~0, h€ , 0 et le champ magné-
r , 0, r ;
tique associé est tel que : r
Mode g0, mode transverse magnétique, il correspond à la propagation d'une onde dont le
ne présente pas de composante longitudinale selon l'axe de prochamp magnétique h et r
~0, r€ , 0
pagation , et en particulier : sont définis par les composantes suivantes : r
et h h , 0, h .
12
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Cherchons une solution aux équations de propagation (0.33), respectivement (0.34) qui soit de
la forme :
Pour le mode gh :
Et pour le mode g0 :
h 0
h ‚ h€ h€ 2 z{&E
ƒ
h 0
(0.35)
r 0
‚ r€ r€ 2 z{&E
ƒ
r
r 0
(0.36)
En se plaçant dans le cas : 5 5 et réelle, les solutions propagées s’obtiennent
en remplaçant les expressions de gh (respectivement g0) dans les équations (0.33) pour le
mode gh et (0.34) pour le mode g0 :
„c …† „ c
„c ‡† „ c
T z O h€ 0
T z O r€ 0
(0.37)
(0.38)
z pour 5 0 (dans le superstrat);
z pour 0 ˆ ˆ (dans la couche guidante);
z pour (dans le substrat).
Pour simplifier l’écriture, posons :
‰ Z O Š Z O ‹ Z O (0.39)
(0.40)
(0.41)
Les solutions de l’équation (0.37) s’écrivent alors en utilisant le fait qu’il n’ya pas de sources à
l’infini et que le champ est continu aux interfaces :
13
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
h 2 Œ
h€ ‚h cosŠ O H
h 2 &&U
ƒ
50
05 5
0
(0.42)
50
05 5
0
(0.43)
Et pour l’équation (0.38) :
r 2 Œ
r€ ‚r cosŠ O H
r 2 &&U
ƒ
Avec :
h : Amplitude du champ électrique dans le superstrat.
h : Amplitude du champ électrique dans le guide.
h : Amplitude du champ électrique dans le substrat.
r : Amplitude du champ magnétique dans le superstrat.
r : Amplitude du champ magnétique dans le guide.
r : Amplitude du champ magnétique dans le substrat.
Ces deux types de solution sont les solutions des équations de propagation (0.37) et (0.38).
) et de leurs dérivées à ’interface guideLa condition de continuité sur h (respectivement sur r
superstrat 0
donne :
Ž
h h cos H
tan H Œ
‘
De même à l’interface guide - substrat donne :
’
ƒ
(0.44)
h h cosŠ O H
tanŠ O H

‘
ƒ
(0.45)
Ces conditions permettent de déterminer les valeurs possibles de la constante H et de vérifier
l’existence de ces solutions.
D’où :
arctan @‘ B T arctan @ ‘ B T RG Š
Œ

(0.46)
En remplaçant ‰, Š et ‹ dans l’équation (0.46), on trouve la condition d’existence du mode
d’ordre R :
14
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Z
O
c
c
(, ` a(b &()
O <[>\] ^@ B
()
c &(c
a(,
b
c
c
(, ` a(b &(_
e O <[>\] ^@ B
(_
c &(c
a(,
b
e RG (0.47)
Un mode guidé par la structure planaire a la forme donnée par la relation (0.42) (respectivement 0.43), les variables ‰, Š et ‹ dépendant de . Pour une valeur de R donnée, la variable
est déterminée en résolvant l’équation (0.47). Physiquement, trouver une solution à cette
équation signifie que le mode R existe dans le guide.
0.3.2.2.2 Les différents modes dans un guide optique plan
Nous avons vu que la structure guidante décrite dans la figure 0.3 admet des solutions propagatives discrètes aux équations de Maxwell. Ce sont les modes guidés pour lesquelles la
constante de propagation respecte la relation : 5 5 . Deux exemples de ces
modes guidés sont donnés sur la figure 0.10. En réalité, les équations de propagation (0.33 et
0.34) admettent d’autres solutions, qui dépendent de la valeur de la constante de propagation
. Dans la suite de l’explication, on se limite au mode gh, sachant que le raisonnement est
identique pour le mode g0 [8, 10, 11].
•
Modes rayonnés
Ce sont des solutions pour 5 . On distingue deux cas :
5 5 , pour lequel le champ s’écrit :
Ih 2 &zŒ T Jh 2 zŒ
ƒ
h€ ‚ h cosŠ O H
Kh 2 &z&U
T Lh 2 z&U
50
05 5
0
(0.48)
h 2 & Œ
ƒ
h€ ‚ h cosŠ O H
K h 2 &z&U
T Lh 2 z&U
50
05 5
0
(0.49)
5 5 , pour lequel le champ s’écrit :
I, J, K et L sont des constantes déterminés par les conditions de continuité tandis que les constantes et H sont choisies de façon arbitraire.
15
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Modes radiatifs de
superstrat et de substrat
0
Modes radiatifs
Modes à fuite
Pas de sens physique
Modes guidés
de substrat
gh
gh
Continuum de solutions
Solutions discrètes
Continuum de solutions
Figure 0.10 : Représentation graphique des différents modes d’un guide plan.
Pour le premier type de solutions, le champ n’est plus du tout confiné.
Pour le deuxième type de solutions, le champ ne s’atténue pas en s’éloignant dans le substrat.
On les appelle ondes rayonnées parce qu’elles ne se propagent pas uniquement selon et
qu’elles divergent vite en s’éloignant de l’axe . Du point de vu énergétique, ces modes se propagent avec des pertes de propagation contrairement aux modes guidés qui se propagent sans
pertes (sans tenir compte des pertes des matériaux).
•
Modes à fuite
, ce sont des modes à fuite, qui ne sont que des solutions mathématiques sans existence physique.
0.3.2.2.3 Longueur d’onde de coupure
Nous nous intéressons uniquement aux modes guidés et leur comportement dans une structure donnée lorsque la longueur d’onde augmente. Pour des longueurs d’ondes suffisamment
petites, le guide va admettre l’existence de plusieurs modes.
16
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Au fur et à mesure de l’augmentation de la longueur d’onde, de moins en moins de modes
vont pouvoir exister. C’est la conséquence de la condition d’existence des modes (relation
0.47) qui indique que pour chaque mode du guide, on pourra trouver une valeur de la constante
de propagation .
Si on ne trouve aucune valeur, c’est que le mode considéré n’existe pas dans le guide. Pour
chaque mode du guide, on pourra trouver une longueur d’onde de coupure ; au delà de laquelle le mode n’existe plus [4, 8]. Cela arrive lorsque :
; c &(c
U a(,
b
” •–—V˜–™^@
f 0 : Pour les modes gh.
f 1 : Pour les modes g0.
c c
š, c› aš) œš_
š_
B
c
ašc
, œš)
e
(0.50)
Un cas particulier est le guide plan symétrique avec un substrat et un superstrat ayant le même
indice ( ) :
; c &(c
U a(,
b
”
(0.51)
Pour chaque mode, on a défini un indice effectif tel que . Physiquement, cet
indice effectif est l’indice que verrait une onde plane se propageant selon l’axe . Cette notion
d’indice effectif est très importante pour déterminer si un mode existe ou non dans la structure.
En augmentant la longueur d’onde, l’indice effectif de ce mode, diminue jusqu’à être égal à
l’indice de gaine le plus grand (ici ). A ce moment, le mode ne voit plus l’interface entre le
guide et le substrat et n’existe tout simplement plus. En augmentant suffisamment la longueur
d’onde, le guide ne va pouvoir propager qu’un seul mode (celui correspondant à R 0 ) appelé le mode fondamental. Dans ce cas on dit que l’on est monomode. Pour un guide plan asymétrique ( j ) le mode fondamental peut arriver à ne plus être propagé si la longueur d’onde
devient très grande ou si la couche guidante devient petite ou bien si la différence d’indice est
faible. Ce n’est plus vrai pour un guide plan symétrique ( ) pour lequel le mode fondamental, est en théorie, toujours propagé [8].
0.3.2.2.4 Epaisseur de coupure
La limite de condition de guidage est atteinte lorsque , c’est à dire qu’on ne vérifie plus la condition de réflexion totale à l’interface guide - substrat. Cela se traduit sur
l’équation de dispersion (0.47) par une épaisseur de coupure pour chaque mode R.
Physiquement, cette notion correspond à l’épaisseur minimale du guide plan en dessous de laquelle le mode n’est plus propagé [4, 7].
L’épaisseur de coupure associée au mode d’ordre R est alors donnée par :
” •–—V˜–™^@
c c
š, c› aš) œš_
š_
B
c &(c
FA a(,
)
17
c
ašc
, œš)
e
(0.52)
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Si le guide plan est symétrique, l’épaisseur de coupure pour le mode fondamental est nulle et
celui-ci peut toujours se propager. Dans le cas de guide plan asymétrique, le mode fondamental
possède lui aussi une épaisseur de coupure.
0.3.2.2.5 Nombre de modes guidés
Le nombre total de modes guidés peut être déterminé à partir de l'équation de dispersion
(0.47) en cherchant le mode guidé d'indice le plus proche de la coupure. Ceci revient à
prendre la valeur minimale de l'indice effectif compatible avec un mode à la coupure
qui correspondrait alors au mode d'ordre le plus élevé vérifiant la relation (0.47).
Dans ces conditions, le nombre total de modes  vérifie la relation (0.53) [4].
£FA U a(,c &()c &–—V˜–™^@š,Bc› š) œš_ e¦
š_
c
ašc
¢
, œš) ¥
 R”ž T 1 Ÿ<[\%2 2\%è[2 ¢
¥T1
¢
¥
¡
¤
a c
c
(0.53)
0.3.2.3 Guide plan à gradient d'indice
La présence du gradient d'indice qui caractérise ce genre de guide complique l'équation de
propagation. Le développement des équations de Maxwell pour un milieu d'indice variable
conduit à l’équation de propagation (0.54) [4].
0.3.2.3.1 Equation de dispersion
Dans le cas d’un guide d’onde à gradient d'indice l'équation de propagation prend la forme :
„c §† „ c
T O H€ 0
(0.54)
La résolution de l'équation (0.54) est plus compliquée que dans le cas des guides plans à saut
d'indice. Les solutions analytiques exactes peuvent être obtenues que pour un nombre limité de
profils d'indice. Dans le cas général, on préfère employer la méthode approchée WKB
(Wenzel-Kramers-Brillouin) ou des méthodes numériques.
0.3.2.3.2 Résolution de l'équation de propagation
Pour les modes gh l'équation (0.54) s’écrit :
„c …† „ c
T O h€ 0
18
(0.55)
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
• Approximation WKB
Pour des guides d’ondes plans à gradient d’indice, Marcuse (1973) a utilisé l’approximation
WKB, (utilisée en mécanique quantique pour résoudre l’équation de Schrödinger pour les cas
ou on ne peut pas connaitre les solutions exactes), pour déterminer les valeurs des indices effectifs des modes à partir de la connaissance du profil d’indice [4, 12, 13, 14].
La marche à suivre pour résoudre l'équation (0.55) consiste à remarquer que sa forme est similaire à celle de l'équation de Schrödinger en mécanique quantique.
Afin de retrouver la forme de l'équation de Schrödinger :
„c §
„ c
Il suffit de faire la correspondance :
soit :
„c …† „ c
T
”
¨c
©h O ‰
ªH 0
(0.56)
2R
« ¨
h « O ' - O ‰
« O T O h€ 0
(0.57)
Un moyen de résoudre l'équation (0.57) consiste selon l'approximation WKB à chercher des
solutions de la forme :
h€ 2 zFA ¬
(0.58)
L'injection de h€ dans la relation (0.57) conduit à l'écriture d'une équation différentielle du
second ordre en $
:
­® ¯¯ O ® ¯ T © O ª 0
(0.59)
En considérant le développement de ®
et en se limitant au premier ordre, ®
peut s'écrire :
®
® T
® ® T T°
®
® T
19
± FA
(0.60)
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
En reportant l'expression de $
dans l'équation (0.59), nous obtenons un polynôme que nous
pouvons ordonner suivant les valeurs de et . Afin de vérifier la relation (0.59) les cœfficients des termes et doivent être nuls. Ceci conduit au système à deux équations suivant:
O®¯ T © O ª 0
’­ ®¯¯ O 2®¯ ®¯ 0
ƒ
(0.61)
Les solutions de ce système sont de la forme :
’
® ² ³ Z O ´ T >
® O 1¶²Z O · T >
µ
ƒ
(0.62)
D'après l'approximation WKB, les solutions approchées du champ Ey peuvent s'écrire sous la
forme :
h€ ¹
. ¸²z ³A a(c &(bc „º
»
(0.63)
a(c &(bc
Le champ électrique transverse h€ est décrit dans différents milieux considérés par les relations suivantes :
h€ Z¼_
h€ Z¼_ h€ h€ ¾ Z O ¾ Z O 2½ |O ³ ¾ ´ }
PA
P±
2½ | Z O . }
a¼, P±
Pour 5 0
PA
Z¼) cos | ³ À ´ O ¿ }
2½ |O ³ ¾ ´}
À
(0.64)
: L’indice de l’air.
Pour 0 ˆ ˆ ”
(0.65)
Pour ”
(0.66)
Pour Pour 5 Les relations de continuité des composantes tangentielles h€ et r en 0 permettent
d'écrire les expressions suivantes :
20
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Pour le champ h€ :
I Pour le champ r :
O I
I Z”
¼,Á Â⁄c
¼,
P±
a¼, cos | ³ À ´ O }
¿
(0.67)
cos | ³ À ´ O } T 2I Z¾ 0
sin | ³ À ´ O }
¿
¿
(0.68)
Puisque l'indice est supposé varier lentement, on considère en première approximation que
¾¯ 0
0. On aboutit ainsi, à l'équation de dispersion approchée des modes TE :
2
>
³ Z O ´ Ä T <[>\]a(c &(
c T RG
2 O 2
¿
H <[>\]a
Avec :
b
22 O 2>
(c & (bc
(0.69)
(0.70)
La même démarche peut être adoptée pour traiter la propagation des modes TM.
Ainsi, la relation de dispersion, obtenue de la même façon que celle des modes TE, s'écrit :
(
³ Z O ´ Ä ¿ T <[>\] ¸@
(
H <[>\] ¸@
(_
(_
2
>
B a(c &
º T RG
(c
2 O 2
2
>
B a(c &
º
(c
2 O 2
b
b
(0.71)
(0.72)
A la fin de ce chapitre, et après avoir étudié les deux théories, géométrique et électromagnétique, dans les guides plans à saut et à gradient d’indice reste à passer en revue les différentes
pertes en optique guidée.
0.4 Les pertes en optique guidée
La propagation d'un faisceau dans un guide est soumise à des pertes optiques de différentes
natures [6, 15]. On distingue deux types [16, 17] :
Les pertes engendrées lors de l’entrée de la lumière dans la couche guidante du guide
(pertes de couplage). Elles ont pour origine le fait qu’un composant optique doit être
couplé à une fibre optique pour y injecter le signal. L’énergie collectée par le guide dépend de sa dimension par rapport au cœur de la fibre et de l’écart d’indice à l’origine de
réflexions de type Fresnel ;
Les pertes liées à la propagation de la lumière dans la couche guidante (pertes de propagation).
21
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Les pertes de propagation observées dans un guide d’onde sont divisées en deux catégories (figure 0.11) :
les pertes liées à la structure du système guidant :
1. Existence d’un mauvais confinement en raison d’une dissymétrie d’indice de réfraction entre la couche guidante et la gaine ;
2. Existence de fuites dans le substrat si l’épaisseur de la gaine est trop faible.
Les pertes liées aux matériaux eux-mêmes et à leurs dépôts :
1. Absorption et diffusion intrinsèques du matériau constituant la couche guidante ;
2. Diffusion créée par l’existence de défauts dans la couche guidante dont l’origine
provient de la fabrication (tel que la rugosité de surface) ;
3. Diffusion à l’interface de la couche guidante et de la gaine.
De plus, les faibles dimensions des guides induisent des problèmes de couplage avec les fibres
optiques à base de silice, ce qui mène à des pertes de puissance durant l’injection de la lumière
dans le guide.
Mauvais confinement
(Dissymétrie d’écart d’indice)
Défauts et imperfection
du guide
Rugosité
Absorption intrinsèque
du matériau
Diffusion à l’interface
Fuite dans le substrat
Figure 0.11 : Différentes sources de perte d’un guide d’onde.
Les pertes de propagation sont rassemblées sous le terme global d’atténuation qui correspond à
une diminution de la puissance du signal transmis. Elle est caractérisée par le coefficient
d’atténuation Å en ´J⁄¾R
pour une ligne de transmission de longueur Æ.
Å Ç u 10 1] |È) }
È
b
Ÿ est la puissance de la lumière en sortie et Ÿ celle d’entrée du guide.
22
(0.74)
Chapitre 0 : L’optique guidée planaire.
Les différents types de pertes liés aux matériaux sont décrits ci-dessous :
Les pertes par diffusion : proviennent d'imperfections localisées au sein de la couche
guidante ou aux interfaces. On distingue les pertes liées :
1. Aux défauts de surfaces des échantillons (rayures de polissage, poussières,…..) ;
2. Aux contraintes liées au procédé d'échange d'ions (craquelures, renflements ou
effondrement de la matrice) ;
3. Aux microcristaux et microbulles présents éventuellement dans le verre.
Les pertes par absorption : principalement causées par la présence d'impuretés chimiques dans la matrice vitreuse : métaux de transition ;
Les pertes par réflexion : liées à la rugosité de surface qui entraîne une modification des
conditions de réflexion et provoque ainsi une diminution de l'intensité du signal.
Ces pertes sont plus grandes pour les modes de propagation d'ordre élevé pour lesquels
le nombre de réflexions aux interfaces est plus important ;
Les pertes par radiation : dues à un transfert d'une partie de l'énergie d'un mode guidé
vers un mode de radiation (à l'interface guide-superstrat ou guide-substrat). Les pertes
de radiation sont généralement négligeables pour les modes bien confinés et, au contraire élevées pour les modes d'ordre élevé.
La qualité d'un guide dépendra donc de ces quatre principaux types de pertes. Le coefficient de
perte, qui rend compte de l'atténuation du signal causée par ces mécanismes, est fonction de la
longueur d'onde du signal.
2.5 Conclusion
Ce chapitre a permis d’introduire les concepts physiques nécessaires à la compréhension
de l’optique guidée planaire. Ces aspects sont à la base des développements prévus des guides,
puis de fonctions d’optique intégrée. En premier lieu une étude a été faite des guides plans à
saut et à gradient d’indice par la théorie des rayons issue de l’optique géométrique et la théorie
électromagnétique, c’est cette dernière qui a permit de donner une véritable image des phénomènes qui se produisent dans un guide et cela par la résolution des équations de Maxwell.
Apres avoir mis en évidence les modes propres susceptibles de se propager dans une telle
structure, le travail a été étendu à une citation brève des différentes pertes en optique guidée.
L’ensemble de ces analyses théoriques a pour objectif d’appréhender la réalisation pratique de
composants d’optique intégrée.
23
Chapitre 1 : L’optique intégrée.
L’optique intégrée
1.1 Introduction
Après plusieurs décennies d’études l’optique intégrée s’est développée industriellement
depuis les années quatre vingt. Ses avantages bien connus en font un domaine en plein essor.
Les télécommunications, comme le domaine de la mesure ont largement utilisé ses capacités
pour produire de nouveaux composants et de nouveaux systèmes.
Un des avantages de l’optique intégrée est de pouvoir réunir plusieurs fonctions sur un même
substrat, et cela par la conception d’éléments miniaturisés tels que les guides planaires.
L’optique intégrée peut être réalisée sur plusieurs matériaux avec des technologies différentes,
utilisant des méthodes de préparation telles que le dépôt, le dopage ou l’échange.
Dans ce chapitre, différentes configurations formées par des guides planaires seront présentées. Dans ce but, quelques fonctions de base d'optique intégrée seront tout d’abord rappelées.
Ces rappels seront suivis par une présentation des technologies employées en optique intégrée
et notamment la technologie à base de substrat de verre [8].
1.2 Exemples de fonctions en optique intégrée
Comme le montre la figure 1.1, plusieurs guides canaux peuvent être associés pour former
des configurations qui sont très utiles pour certaines applications. Des courbes formant un S
peuvent être par exemple utilisées pour déplacer l’axe de propagation. Une jonction Y peut
jouer le rôle d’un recombineur, d’un séparateur ou peut être utilisée comme multiplexeur,
démultiplexeur. Deux jonctions Y tête – bêche peuvent former un interféromètre de Mach –
Zehnder. Deux guides d’ondes approchés peuvent s’échanger de la puissance et être utilisés
comme un coupleur directionnel.
Les différentes configurations peuvent à leur tour être combinées, afin de réaliser des dispositifs plus complexes [8, 10].
La possibilité de réaliser des fonctions optiques variées repose donc sur les possibilités offertes par les technologies de réalisation des guides d’ondes dans un substrat transparent.
a
b
c
d
e
f
Figure 1.1 : Configurations formées par les guides d’ondes.
a) Guide canal droit.
b) Guide en S.
c) Guide en jonction Y.
d) Guide Mach – Zehnder.
e) Coupleur directionnel.
f) Guide en intersection.
24
Chapitre 1 : L’optique intégrée.
1.3 Principales technologies utilisées en optique intégrée
Plusieurs technologies de fabrication des guides d’onde en optique intégrée ont été développées sur différents matériaux, comme par exemple [3] :
Les semi-conducteurs III-V et les techniques d'épitaxie;
Le silicium et les guides à base de silice ou de nitrure de silicium obtenus par dépôt
CVD ou hydrolyse à la flamme;
Les matériaux ferroélectriques comme le niobate de lithium, avec des guides d'ondes
réalisés soit par diffusion d’un métal, soit par échange protonique;
Les polymères et les guides réalisés par transformation chimique provoquée par irradiation UV;
Le verre et les techniques de diffusion d’ions.
Nous allons à présent détailler chacune des technologies utilisées en optique intégrée de manière plus concise.
1.3.1 Technologie à base de semi-conducteurs ш-v
Les technologies basées sur les semi-conducteurs III-V sont constituées par des matériaux contenant des alliages d’éléments du groupe III et V du tableau périodique, déposés sur
un substrat en GaAs ou InP. L’avantage de ces alliages est que l’on peut obtenir une bande
interdite directe, dont la valeur peut être contrôlée en faisant varier les proportions des éléments, tout en gardant une bonne compatibilité de maille avec le substrat. Les guides d’ondes
sont obtenus en gravant l’empilement des couches pour obtenir une structure en ruban, arête
ou chargée. Le fort contraste de l’indice entre les semi-conducteurs ≈ 3.5 et l’air
1 permet d’obtenir un fort confinement de la lumière dans les structures. Le fait
d’avoir une bande interdite directe rend les semi-conducteurs III-V naturellement intéressants
pour la réalisation de composants actifs et des sources (en particulier des lasers) et, plus récemment, pour réaliser des circuits passifs.
Un élément négatif de ces technologies est que la différence entre les indices de réfraction des
semi-conducteurs et la silice entraîne généralement des pertes de Fresnel élevées lors du
couplage avec les fibres optiques. Un autre aspect à considérer est que la forme des modes
propagés sur les guides d’ondes est différente de celle propagée dans les fibres de silice, ce
qui entraîne des pertes de couplage. Des couches antireflets et/ou l’utilisation des fibres lentillées permettent de réduire l’importance de ce problème, au détriment du coût et du temps
nécessaire pour l’alignement et la connexion [10, 11].
1.3.2 Technologie à base de silicium
L’intérêt d’utiliser le silicium comme substrat pour l’optique intégrée vient du fait que ce
matériau est bien maîtrisé car il constitue la base de la majorité des circuits intégrés en microélectronique. La valeur de la bande interdite (1.12 eV) rend le silicium transparent dans
l’infrarouge à partir de la longueur d’onde 1.1 μ. Pour réaliser des guides d’ondes
dans le visible et aux longueurs d’onde inférieures à 1.1 μ, il faut éviter que le substrat en silicium soit en contact avec le champ guidé.
25
Chapitre 1 : L’optique intégrée.
Une couche épaisse de silice est alors formée par oxydation du silicium. La silice représente
en fait le véritable substrat optique car son épaisseur permet d’isoler complètement les guides
d’ondes du silicium.
Pour réaliser les guides d’ondes sur la couche en silice, plusieurs matériaux (déposés sous la
forme d’une couche amorphe ensuite gravée) peuvent être utilisées, tels que la silice dopée
germanium, le nitrure du silicium (Si3N4), ou l’oxynitrure de silicium (SiON). Cela permet la
réalisation des guides passifs d’excellente qualité (avec des pertes inférieures à 0.1 ⁄
et de composants très variés, comme des diviseurs de puissance ou des commutateurs thermo
optiques.
En ce qui concerne la réalisation de composants actifs utilisant les terres rares, la faible solubilité de ces éléments dans la matrice de silice pure en limite l’efficacité. Néanmoins, des
amplificateurs optiques et des lasers intégrés ont été réalisés avec succès en utilisant cette
filière technologique.
Plus récemment, en microélectronique, on a assisté à un très grand développement de la filière
OIS (Optique Intégrée sur Silicium), qui est basée sur une couche monocristalline de silicium,
séparée du substrat par une couche isolante épaisse (très fréquemment la silice). En gravant le
silicium superficiel, on peut crée des guides d’ondes grâce à l’écart d’indice existant entre le
silicium ≈ 3.5 et la silice ≈ 1.5. Ces guides sont adaptés pour des longueurs d’ondes
dans l’infra rouge, pour lesquelles le silicium est parfaitement transparent.
Les deux principaux avantages de cette technologie sont les suivants :
Tout d’abord, cette technologie est compatible directement avec les filières SOI de fabrication des circuits CMOS, ensuite, le grand contraste d’indice de réfraction entre le
silicium et la silice permet d’obtenir un fort confinement et des composants très compacts. Cependant, ce dernier atout devient un problème quand il s’agit de coupler le
composant avec la fibre optique en raison de diamètres de modes très différents entre
les guides SOI et les fibres optiques ;
Les pertes de propagation restent donc de l’ordre de 0.4 ⁄. Néanmoins, des
composants passifs ont été fabriqués. Des applications électro-optiques ou thermooptiques one été présentées. Jusqu’à très récemment, le principal problème des guides
d’ondes en silicium était la difficulté d’obtenir des composants actifs, car le silicium
est un semi-conducteur à bande interdite indirecte qui présente donc une efficacité radiative extrêmement faible [10, 11].
1.3.3 Technologie à base de LiNbO3
Les technologies basées sur des substrats de niobate de lithium (LiNbO3) jouent un rôle
très important dans le panorama de l’optique intégrée.
En effet, ce matériau a plusieurs propriétés qui le rendent précieux pour de nombreuses applications. Le niobate de lithium est transparent dans le domaine du visible, dans l’infrarouge
proche.
Ce matériau est utilisé en cristal ou en film mince, la majorité des applications utilisent la
forme cristalline pour sa haute qualité qui donne de faibles pertes de propagation
0.1 ⁄. Le LiNbO3 est commercialement disponible en disque de quelques pouces à
un coût relativement bas. Cependant, les pertes de propagation des films minces sont encore
de l’ordre de 1 à 2 ⁄.
26
Chapitre 1 : L’optique intégrée.
Les techniques les plus couramment utilisées pour réaliser des guides d’ondes en LiNbO3
sont aux nombres de deux :
La première est la diffusion thermique d’une couche de métal, comme par
exemple le Titane dans le substrat. Les guides d’ondes obtenus sont caractérisés
par de faibles pertes de propagations 0.1 ⁄ avec un contraste
d’indice de réfraction de l’ordre de ≈ 0.01. Comme la technique de diffusion thermique est lente, les guides sont généralement en surface ;
Une deuxième possibilité consiste à réaliser un échange de protons par voix
chimique.
Pendant la réalisation, les ions du lithium de la matrice de LiNbO3 sont échangés par des
protons et ce processus donne lieu à des contraintes mécaniques qui entraînent une forte
biréfringence et un seul état de polarisation est alors apporté. D’autres méthodes sont encore
possibles comme l’échange ionique ou l’implantation d’ions. Ces techniques sont ce pendant
peu utilisées.
Aux remarquables caractéristiques non linéaires, électro-optiques qui rendent le niobate de
lithium intéressant, s’ajoute un avantage considérable qui est la possibilité d’implanter ou de
faire diffuser localement les terres rares (notamment l’Erbium), de telle sorte à rendre actif
seulement des zones limitées du dispositif. Le faible contraste d’indice et la biréfringence
entrainent des difficultés en termes de densité d’intégration et de réalisation de dispositifs
insensibles à la polarisation [10, 11].
1.3.4 Les polymères
Les polymères les plus utilisés en optique intégrée sont les : acrylates, polymides, polyamides, polycarbonates, polyéthers, polyesters, oléfine, siloxanes, silicones, résine d’époxy, …
Les pertes de propagation sont faibles, autour de 0.1 ⁄ pour la gamme de 1550 à 1610
de longueur d’onde, de 0.03 ⁄ pour la gamme de 1260 à 1360 et moins de
0.01 ⁄ pour la gamme de 800 à 900 .
Les guides réalisés avec des polymères peuvent présenter un fort confinement pour les guides
enterrés. L’indice de réfraction des polymères varie de 1.28 à 1.72 à 1550 . La valeur de la
variation de l’indice est contrôlée par la composition du matériau et peut varier de 0 à 30 %.
Un problème majeur des polymères est l’instabilité dans le temps [11].
Les matériaux organiques ont un coefficient thermo-optique élevé et une conductivité thermique basse. Cette combinaison de caractéristiques est exploitée pour réaliser des composants
optiques de commutation de basse consommation.
Les films de polymères peuvent être déposés sur pratiquement tous les substrats (verre, époxy
de circuit imprimé, plastique, etc.…). Le processus typique de fabrication des guides d’ondes
est la gravure de motifs par photo résistance.
Les applications sont nombreuses, surtout dans le domaine des télécommunications optiques :
commutateurs optiques, coupleurs, multiplexeurs, démultiplexeurs, composants thermooptiques (switchers, filtres accordables),
Composants électro-optiques (modulateurs ultrarapides) et composants actifs (amplificateurs).
27
Chapitre 1 : L’optique intégrée.
1.3.5 Technologie à base de substrat de verres
L’intérêt d’utiliser le verre en optique intégrée vient de son faible coût, de son excellente
transparence qui peut être obtenue dans le visible et aux longueurs d’onde des télécommunications optiques, de la possibilité de réaliser des guides insensibles à la polarisation et cela à
cause de sa structure amorphe, ce qui peut constituer un atout important par rapport aux technologies basées sur des substrats cristallins, de sa rigidité mécanique et de sa large production
industrielle. L’indice de réfraction du verre utilisé en optique intégrée est proche de celui des
fibres optiques et, par conséquent, les pertes de couplage entre les guides d’ondes et la fibre
optique peuvent être potentiellement très faibles. Les différents processus de fabrication des
guides d’ondes sur verre sont : le dépôt chimique en phase vapeur, l’implantation d’ions et
l’échange ionique. Cette dernière technique étant la plus utilisée. C’est celle qui sera, par
conséquent, largement détaillée par la suite.
Les verres les plus utilisés sont les verres silicates, mais en fonction de l’application, des
verres germinates et fluorides peuvent être utilisés. Pour la réalisation de dispositifs actifs, les
verres phosphates dopés de terres rares sont employés. Les guides d’ondes sont réalisés en
surface ou sont enterrés. Le processus d’enterrage peut être assisté par un champ électrique.
Les pertes de propagation sont inferieures à 0.1 ⁄.
Les applications les plus courantes sont : les multiplexeurs, les capteurs, les amplificateurs
optiques et les lasers [10, 11].
1.4 Conclusion
Nous avons présenté dans ce chapitre les différentes technologies utilisées pour l’optique
intégrée. Chaque technologie a des avantages et des inconvénients. Le choix d’utiliser le verre
comme substrat optique est motivé par sa très bonne transparence, son indice de réfraction
proche de celui des fibres optiques et, par conséquent, des pertes de couplage potentiellement
très faibles et par son faible coût.
Le verre est un matériau utilisé depuis très longtemps et, même si le choix de sa composition
est un travail extrêmement délicat, un impressionnant savoir-faire empirique a été développé.
On dispose de se fait de substrats de très bonne qualité et adaptés aux besoins de l’optique
intégrée.
28
Chapitre 2 : Les verres.
Les verres
2.1 Introduction
L’étude et la mise au point de la composition d’un verre est un travail très complexe. Si
beaucoup de connaissances empiriques ont été accumulées depuis 4000 ans, le verre constitue
encore aujourd’hui un domaine de recherche très actif. Nous nous sommes intéressés à
l'étude du verre, car il apparaît comme étant l'un des meilleurs candidats parmi les matériaux
susceptibles d'être utilisés pour réaliser des composants passifs d'optique intégrée [10].
Depuis plusieurs années, les recherches se sont tournées vers l’utilisation des verres en optique active, notamment pour deux grandes applications : les amplificateurs optiques et les
lasers.
Face à une forte demande pour des composants optiques passifs et actifs, les verres et la technique d’échange d’ions peuvent apporter des solutions, là où les autres matériaux et les autres
technologies sont inopérants.
Finalement, on peut dire que les verres et la technique d’échange d’ions constituent deux
éléments majeurs de l’optique intégrée, car ils permettent de produire des composants complexes avec les avantages suivants :
Pertes par propagation faibles ;
Bonne compatibilité avec les fibres optiques ;
Facilité de mise en œuvre de la technologie.
En plus de ces avantages, le choix du verre parmi les autres matériaux, est motivé par :
La très bonne transparence qui peut être obtenue dans le visible et aux longueurs
d’onde des télécommunications optiques;
La réalisation de composants qui dépendent très peu de la polarisation de la lumière, à
cause de la structure amorphe;
Un indice de réfraction proche de celui des fibres optiques et, par conséquent, des
pertes de couplage potentiellement très faibles;
Une rigidité mécanique importante ;
Une large production industrielle;
Un faible coût.
L'énumération de ces critères nous amène à nous intéresser aux verres d'oxydes qui satisfont
la majorité de ses critères et qui se présentent comme les candidats les plus favorables pour la
technologie d’échange d’ions. Mais ça n’empêche de passer en revue les autres familles de
verres [9].
Dans les prochains paragraphes nous allons détailler les structures des verres d'oxydes et passer en revue les propriétés physiques importantes qui les caractérisent.
29
Chapitre 2 : Les verres.
2.2 Définition du verre
L’histoire du verre ne peut être dissociée de la silice. La silice est un élément essentiel
dans la définition d’un verre. Pourtant, il existe une multitude de verres ne contenant pas de
silice. Le verre est sans doute obtenu par refroidissement d’un mélange fondu. Néanmoins, il
existe d’autres processus de formation du verre par dépôt chimique à partir d’une phase vapeur (procédé CVD), par procédé sol-gel, ou encore par actions des radiations en phase solide.
Donc, la composition chimique et le procédé d’élaboration du verre ne sont pas des outils
appropriés à la définition du verre. Cependant, il apparaît que tous les verres se partagent
deux caractéristiques importantes. Aucun verre ne comporte d’ordre à longue distance et tous
les verres présentent un comportement dépendant du temps correspondant à une zone de
transformation. Cette zone de transformation est caractérisée par une température dite de transition vitreuse que nous définirons par la suite. Un verre peut donc être défini sans ambiguïté
de la manière suivante :
Le verre est un solide amorphe (non cristallin) ou tout ordre à longue distance est absent et
qui présente une zone de transformation associée à une température de transition vitreuse quelque soit son mode d’élaboration et sa composition chimique de départ [8, 9 ,11].
2.3 La transition vitreuse
Le comportement thermique du verre peut être décrit par l’évolution de variables thermodynamiques telles que le volume spécifique ou l’enthalpie en fonction de la température (figure 2.1) [18].
Volume spécifique
(Enthalpie)
Liquide (stable)
Liquide surfondu (métastable)
Cristallisation
Domaine de transition
vitreuse
Verre
Solide cristallisé
T
Figure 2.1 : Evolution de l’enthalpie (ou du volume spécifique)
d’un corps vitrifiant suivant la température.
30
Chapitre 2 : Les verres.
La prise en compte du volume ou de l’enthalpie dans la description du comportement thermodynamique du verre est arbitraire, étant donné que ces deux variables sont quasi équivalentes.
On considère donc un petit volume d’un liquide d’une certaine substance porté à une température au-delà de sa température de fusion . Lorsque l’on refroidit ce liquide, sa structure
atomique change progressivement et sa configuration va dépendre de la température exacte à
laquelle se trouve le système en tous points. Le volume (ou l’enthalpie) diminue suivant le
refroidissement continu. Dans un cas classique, et au dessous de la température de fusion se
produit une cristallisation avec une diminution abrupte du volume (ou de l’enthalpie). L’état
cristallin est formé avec un ordre à courte et longue distance et un arrangement atomique périodique. Le refroidissement continu induit une diminution continue du volume (ou de
l’enthalpie) due à la capacité calorifique du cristal qui chute en raison du réarrangement brutal
de la structure. Le coefficient de dilatation du cristal est bien entendu plus faible que celui du
verre. Si le passage par le point de fusion est ignoré par le système, il se forme alors un liquide surfondu. La diminution du volume (ou de l’enthalpie) de ce liquide surfondu continue
à se produire mais d’une façon progressive et graduelle sans comportement abrupte. Le refroidissement s’accompagne d’une augmentation de la viscosité du système. Cette viscosité
est tellement importante que les atomes du liquide n’ont pas le temps nécessaire pour atteindre un état d’équilibre. On assiste alors au figeage du liquide (état solide) pour une valeur
élevée atteinte de la viscosité.
Cette déviation correspond à la zone de transformation ou autrement dit la température de
transition vitreuse ou température de figeage. L’état vitreux est atteint et le verre est formé.
On remarquera que le verre possède un volume (ou une enthalpie) supérieur au cristal correspondant. Le verre est dans un état hors équilibre ou métastable par rapport au cristal correspondant du à un excès d’énergie dans le système.
D’une manière générale, le comportement thermodynamique du verre et plus précisément la
transition vitreuse, sont des phénomènes totalement indépendants de la formulation chimique
ou du mode de préparation de celui-ci.
La zone de transformation vitreuse est un intervalle de température et ne peut être caractérisé
par une température unique. Néanmoins, il existe une température qui marque le début de
cette zone et qui est appelée communément la température de transition vitreuse . Cette
température peut être définie par analyse thermique ou par mesure de la dilatation thermique.
Manifestement, il n’est pas très prudent de considérer la valeur de comme une propriété
réelle du verre mais plutôt comme une indication sur le moment où le liquide surfondu devient solide. Il n’en reste pas moins, que la température de transition vitreuse est un paramètre
important et capital dans l’étude de la stabilité du verre.
2.4 Familles de verres
Il existe plusieurs substances pouvant former des verres, mais seul un nombre limité de
ceux-ci ont acquis par leurs applications et leurs propriétés, une importance pratique.
Dans cette partie, les différentes familles de verres sont répertoriées et citées brièvement. Les
verres à base d’oxydes, surtout les silicates sont présentés plus en détails [18, 19].
31
Chapitre 2 : Les verres.
2.4.1 Verres d’oxydes
Parmi les verres inorganiques les plus répandus et les plus attrayants, citons les verres
d’oxydes et plus particulièrement ceux qui dérivent de la silice SiO2, ou encore des oxydes
B2O3, GeO2, P2O5. Le module de base est un tétraèdre SiO4, GeO4, PO4 ou un triangle BO3.
Ces quatre oxydes peuvent vitrifier seuls.
2.4.1.1 Verres de silice
Une des plus importantes familles de verres est celle des verres silicates qui constituent
95% du tonnage des verres industriels. La silice est un formateur de verre de premier choix
grâce à ses propriétés, telles que sa résistance aux agents chimiques (sauf HF) et sa résistance
aux chocs thermiques de par un très faible coefficient de dilatation (~ 0.5×10-6 K-1). La silice
possède en outre une bonne transparence dans l’ultraviolet. Mais son domaine de transparence
dans l’infrarouge est limité par une importante énergie de phonons (1120 cm-1 pour la liaison
Si-O). De plus, ses propriétés optiques dépendent de son degré de pureté. Des fibres de silice
ultra pure ont été produites pour des applications spéciales.
2.4.1.2 Verres sodocalciques
C'est l’un des matériaux de base de l'industrie moderne. Composition de base : SiO2, Na2O
et CaO dans des proportions molaires telles que 70 % SiO2, 20 % Na2O, 10 % CaO. L'oxyde
de sodium est introduit à l'état de carbonate.
2.4.1.3 Verres borosilicates
Le plus connu est certainement le pyrex. Avantage principal : bonne tenue mécanique,
assez bonne conductibilité thermique et faible coefficient de dilatation. Composition : 80,6 %
SiO2, 12,6 % B2O3, 2,2 % Al2O3, 4,2 % Na2O, 0,2 % CaO, 0,2 % autres (en masse).
2.4.2 Verres de phosphate et de borate
Les phosphates forment facilement des verres, tout comme de nombreux borates, dès que
le rapport du nombre d'atomes de P ou de B sur le nombre de cations métalliques est assez
grand. Ces verres sont solubles dans l'eau et présentent de ce fait peu d'intérêt.
Les verres à base de phosphates seuls, n’ont pas d’application pratique mais ont été très étudiés par chromatographie, cette technique permettant la séparation et l’analyse des divers
anions constituant le réseau.
Les verres à base de borates ont un intérêt théorique: ils ont fait l’objet de très nombreux travaux à cause de leur température d’élaboration moins élevée que celle des silicates, ce qui les
rend plus accessibles à de nombreuses techniques expérimentales.
32
Chapitre 2 : Les verres.
2.4.3 Verres chalcogènes
Ces verres qui ne contiennent pas d’oxygène sont basés sur les éléments du groupe VIA
(S, Se, Te) pouvant être associés à ceux du groupe IVA (Si, Ge) ou VA (As, Sb). Le développement de nouveaux dispositifs en optoélectronique a été à l’origine du regain d’intérêt pour
ce type de verres depuis ces dernières années. En effet, ces verres sont intéressants pour leurs
propriétés optiques de transmission dans l’infrarouge, de commutation électrique et
d’enregistrement numérique.
2.4.4 Verres halogènes
Depuis leur découverte, Les verres halogénés ont été largement étudiés pour leurs propriétés originales et uniques. En effet, ces verres qui ne contiennent pas d’oxygène sont particulièrement attrayants pour leur utilisation dans les composants optiques à infrarouge ou dans
les fibres optiques à faibles coefficients d’atténuation par rapport aux verres de silice.
Le fluorure de béryllium BeF2 est un formateur de réseau isostructural affaibli de la silice, la
structure est formée de tétraèdres (BeF4).
Le verre de BeF2 et les fluoroberyllates, isostructuraux des silicates ont eu un intérêt théorique. Ils ont pris ensuite une grande importance pour leurs propriétés optiques exceptionnelles qui en ont fait de très bons candidats comme matériaux pour lasers de grande puissance
envisagés notamment pour la fusion thermonucléaire.
Les verres de fluorozirconates ont des propriétés optiques intéressantes.
Les verres HF-RFn ou R est un élément de valence 2 ou 3 ont un intérêt théorique.
Des verres mixtes oxy-fluorés tels les fluoroborates et fluorophosphates ont été préparés pour
leurs propriétés optiques.
2.4.5 Verres métalliques
Les verres métalliques sont généralement obtenus par trempe ultra-rapide sous forme de
rubans ou de fils. Ce sont soit des alliages métal-métalloïdes (avec un rapport approximatif de
80 - 20) ou métal-métal. Parmi les exemples communs de ces verres, citons les verres Pd80Si20
ou Ni80P20 souvent évoqués dans des recherches de base ou encore le verre Fe40Ni40P14B6
commercialisé sous forme de rubans. Leur structure est de type compact désordonnée. L’une
des principales caractéristiques de ces verres est leur haute résistance à la corrosion due à
l’absence de dislocations ou de joints de grains. D’ailleurs leur utilisation comme revêtements
anticorrosion a été possible par vitrification superficielle au laser. Ils ont également des propriétés mécaniques intéressantes et meilleures par rapport aux phases cristallines qui leur sont
associées, telles qu’une résistance mécanique et une ténacité toutes deux plus élevées.
2.4.6 Verres fluorés
Pendant longtemps, on ne connaissait que les verres à base de BeF2 décrits comme les
analogues fluorés de la silice.
Depuis les années soixante dix, un nombre considérable de nouveaux verres fluorés ont été
découverts et développés : fluorozirconates, fluoroaluminates, verres dérivés de ThF4, UF4,
ZnF2, MnF2, ScF3, LiF, etc. ... Ces verres suscitent un intérêt considérable pour les applications infrarouge et les fibres optiques.
33
Chapitre 2 : Les verres.
2.4.7 Verres chlorés
On connaît ZnCl2vitreux qui est très hygroscopique, ainsi que des verres dérivés de BiCl3.
Récemment, des verres dérivés de CdCl2 ont été découverts. Les applications industrielles de
ces verres sont encore hypothétiques.
2.4.8 Autres verres minéraux
Il existe de très nombreux autres systèmes vitreux. Citons les verres mixtes : oxynitrures,
oxyfluorures, fluorochlorures, oxysulfures, etc. ... Le silicium et le germanium amorphes qui
ne doivent pas être considérés comme des verres! sont également des matériaux de première
importance industrielle, même s'ils sont noirs dans le visible, car ils sont transparents dans
l'I.R. et aussi semiconducteurs.
2.4.9 Verres organiques
Il s'agit de polymères vitreux. Ils sont largement utilisés en pratique. Ce sont des poly méthacrylates. Ils en existent beaucoup d’autres, comme ceux basés sur les radicaux vinyles, les
poly carbonates Nombre de composés organiques forment aussi des verres par refroidissement
contrôlé.
2.5 Structure du verre
Plusieurs hypothèses sur la structure du verre ont été proposées depuis le début du siècle.
Parmi celles-ci, citons la théorie des cristallites développée par Lebedev, puis par Valenkov,
et Porai-Koshitz. Cette théorie sous sa forme généralisée, soutient qu'un verre est formé de
très petits domaines ordonnés, appelés cristallites, qui sont reliés par des domaines désordonnés.
Le deuxième modèle dit de réseau aléatoire proposé par Zachariassen en 1932, exclut l'existence de tout domaine ordonné. Ce modèle a été l’un des premiers modèles descriptifs de la
structure d’un verre. Il se base dans son ensemble sur des concepts cristallographiques. C’est
un modèle empirique tiré des observations faites sur des verres d’oxydes principalement [9].
2.5.1 Structure des verres simples
Les substances qui peuvent former des verres sont très variées. Certains de ces verres ont
acquis une importance pratique : les verres inorganiques à base d’oxydes, surtout les silicates
sont les plus importants [9, 20].
Les verres les plus simples ne sont formés que d’un seul type d’oxyde, ce sont :
Les verres de silice (composé uniquement de molécules SiO2) pour les verres silicates ;
La silice est le formateur de verre par excellence. La silice vitreuse est un verre type dont la
structure est à base de tétraèdres (SiO4) formant un réseau tridimensionnel désordonné.
34
Chapitre 2 : Les verres.
L’importance technique du verre de silice est dû à son excellente résistance aux agents chimiques et de son faible coefficient de dilatation (0,5 x 10-6 K-1) qui lui confère une très bonne
tenue au choc thermique.
La silice possède une bonne transparence dans l’ultraviolet. Ses propriétés optiques dépendent
des impuretés (OH-), ions alcalins, ions de métaux de transition, Al3+ et Ge4+.
Les verres composés uniquement de P2O5 pour les phosphates ;
L’anhydride phosphorique vitreux n’a pas de résistance hygroscopique suffisante pour être
utilisé seul. Sa structure est à base de tétraèdres (PO4) distordus, l’une des quatre liaisons
étant double, seules 3 liaisons participent à la formation du réseau.
Les verres composés uniquement de B2O3 pour les phosphates.
L’anhydride borique est un oxyde qui vitrifie facilement. L’obtention de la forme cristallisée
est très difficile. La structure du verre de B2O3 est un empilement imparfait de cycles boroxols
dans lesquels le bore est tricoordonné (BO3).
B2O3 étant hygroscopique, il n’est jamais utilisé seul dans la pratique. Il fait partie de la composition de nombreux verres industriels.
Les molécules constituant le verre s’arrangent les unes par rapport aux autres de façon aléatoire : c’est le modèle du réseau désordonné. Ces molécules forment des polyèdres dont la
forme dépond de la composition chimique des molécules qui le compose, la façon dont se
construisent ces polyèdres dépend souvent du rapport des rayons cations - anions .
La figure 2.2 illustre les domaines de stabilité des polyèdres de coordination de nombre de
coordinence . . ) suivant la valeur du rapport des rayons du cation et de l’anion .
⁄ 0
N. C.
0.155
2
0.225
3
0.414
4
0.645
6
0.732
8
1.00
8
12
Figure 2.2 : Domaines de stabilité des polyèdres de coordination de nombre
de coordinence suivant la valeur du rapport des rayons du cation et de l’anion.
35
Chapitre 2 : Les verres.
Un examen systématique des structures formées par différents polyèdres de coordination, a
permis à Zachariasen de tirer certaines conclusions concernant un oxyde pouvant former un
verre [9] :
Un atome d’oxygène ne peut être lié qu’à deux cations au plus ;
Les polyèdres n’ont de communs que les sommets et non les arêtes ou les faces ;
Le nombre d’oxygènes entourant un cation doit être petit (3 ou 4), aucun verre contenant d’octaèdres n’avaient été découvert à cette époque, Zachariasen s’est donc restreint à des verres contenant des coordinations 3 ou 4 ;
Au moins trois sommets de chaque polyèdre doivent être partagés avec d’autres polyèdres.
La figure 2.3 représente schématiquement dans un plan, la structure d’un composé hypothétique cristallin A2O3 ainsi que la forme vitreuse du même composé d’après le modèle de Zachariasen [9].
a
b
Figure 2.3 : Représentation schématique plane de la structure :
a - d’un composé hypothétique cristallin A2O3.
b - de la forme vitreuse de ce composé d’après le modèle de Zachariasen.
A partir des règles citées précédemment Zachariasen a conclu que les oxydes de formule A2O
et AO ne peuvent vitrifier seuls. Il a établi une liste des oxydes susceptibles de se trouver sous
forme vitreuse tels que : B2O3, SiO2, P2O5, Sb2O3, V2O2, Nb2O5 ou encore Ta2O5. Pour les
verres fluorés, seul le BeF2 qui est un isomorphe de SiO4 peut former seul un verre.
36
Chapitre 2 : Les verres.
2.5.2 Structure des verres composés
Les verres complexes contenant plus d’un oxyde doivent inclure une proportion importante de cations susceptibles de former des verres seuls et vérifiant les conditions précédentes.
Ces oxydes sont de la forme : AO2, A2O3, A2O5, A2O et AO et qui peuvent jouer des rôles
différents dans le verre [8, 9, 20].
Zachariasen a introduit le concept de formateur qu’il a attribué à ce type de cations qui associés à l’oxygène tels que AO2, A2O3 et A2O5, forment la charpente du verre.
Les cations (alcalins ou alcalinoterreux) qui favorisent la formation du verre mais en présence
de cations formateurs, tels que A2O et AO, sont des modificateurs, ils ne participent pas directement au réseau mais le modifient. Les modificateurs s’insèrent aléatoirement dans des
trous (des défauts) du réseau qui se forment au cours de la formation vitreuse.
Par exemple, dans le cas d’un verre de silice, l’introduction de Na2O implique la rupture de
certaines liaisons Si - O - Si formant des liaisons pendantes Si - O- compensées par une paire
de cations Na+. On assiste alors à une dépolymérisation du réseau primitif SiO2 et l’apparition
d’un certain nombre d’oxygènes non pontants (figure 2.4).
Il existe également des cations qui peuvent agir selon l’environnement dans lequel ils se trouvent, comme formateurs ou modificateurs. Ces cations sont appelés intermédiaires.
Dans un verre, plusieurs types d’oxydes peuvent cohabiter, mais le formateur demeure
l’élément essentiel à la formation vitreuse. Ces derniers peuvent être classés par type comme
le suggère Zachariasen dans le tableau 2.1.
Formateurs
SiO2, GeO2, B2O3, P2O5,
As2O3, As2O5, V2O5.
Modificateurs
Li2O, Na2O, K2O, MgO,
CaO, SrO, BaO.
Intermédiaires
Al2O3, PbO, ZnO, CdO,
TiO2, La2O3.
Tableau 2.1 : Classification des oxydes d’après Zachariasen
Ce sont les proportions relatives de ces trois constituants qui donnent à un verre ses propriétés. C’est pourquoi nous allons passer en revue dans les prochains paragraphes le rôle et
l’influence de chacun d’entre eux.
2.5.2.1 Les oxydes formateurs de réseau
Ce sont des composés à caractère covalent dont l’énergie de liaison est très élevée
335 k joules / mole), ce qui permet à ces espèces chimiques de former un verre, même en
absence d’autres composants. Leur formule chimique est A2O3 pour les formateurs triédriques
et AO2 ou A2O5 pour les formateurs tétraédriques.
L’oxyde de bore B2O3 forme des groupes plans, les oxydes SiO2, GeO2, P2O5 etc. forment des
tétraèdres, ils ont une géométrie tridimensionnelle [8, 9, 20].
37
Chapitre 2 : Les verres.
Effets des oxydes sur les verres :
SiO2 diminue le coefficient de dilatation thermique et donc améliore la tenue au choc
thermique. Il élève la température d’élaboration et améliore la tenue mécanique ;
B2O3 (en proportion inférieure à 15%) diminue le coefficient de dilatation thermique.
Il diminue la viscosité aux températures élevées et la fait augmenter aux basses températures: le verre devient plus court. Il améliore la résistance mécanique ;
P2O5 augmente la transparence dans l’ultraviolet et l’abaisse dans l’infrarouge. Il diminue la résistance chimique du verre.
2.5.2.2 Les oxydes modificateurs de réseau
Ce sont souvent des oxydes d’éléments alcalins (A2O : Na2O, K2O, Li2O) ou alcalinoterreux (AO : CaO, MgO). Ils ne peuvent à eux seuls former une structure vitreuse, car ils ne
satisfont pas aux règles énoncées par Zachariasen.
Ils ont des énergies de liaison faibles avec l’oxygène 240 k joules / mole), et modifient la
structure du verre en cassant certaines des liaisons dans le réseau établi par les oxydes formateurs en donnant des oxygènes non pontants.
On trouve dans les verres silicates alcalins des oxygènes non pontants au voisinage des ions
alcalins, ce phénomène est décrit par l’équation de réaction suivante [8, 9, 20] :
≡ Si O Si ≡ + Na2O → ≡ Si O Na + Na O Si ≡
Oxygène pontant
Oxygène non pontant
Na
!
!
Na
a
b
Figure 2.4 : Rupture d’un pont Si-O-Si par introduction d’un oxyde modificateur de ré
seau Na2O : a) Réseau primitif de silice.
b) Formation d’une paire d’oxygènes non pontants.
Le réseau se trouve rompu (figure 2.5) et il existe des discontinuités, qui entrainent un affaiblissement de la structure vitreuse dont la rigidité augmente avec le nombre de ponts :
Si O Si.
38
Chapitre 2 : Les verres.
Si 4+
O 2-
Na+
Figure 2.5 : Modification de la structure vitreuse
après introduction du Na+ dans le verre.
Parmi les verres qui contiennent des oxydes alcalino-terreux, celui que l’on trouve le plus
souvent est CaO (figure 2.6). Son introduction dans la structure peut être décrite comme celle
d’un oxyde alcalin :
≡ Si O Si ≡ + CaO → ≡ Si O Ca O Si ≡
Figure 2.6 : Modification de la structure vitreuse
après introduction du Ca2+ dans le verre.
39
Chapitre 2 : Les verres.
De manière qualitative ces oxydes modificateurs sont différentiés par leurs influences sur les
propriétés des verres [9, 20] :
Na2O est l’oxyde le plus employé, son introduction abaisse la viscosité, augmente le
coefficient de dilatation et la conductivité électrique. Il diminue la résistance chimique
(les verres SiO2-Na2O sont solubles dans l’eau) ;
Li2O est le flux le plus actif, il augmente l’aptitude à la dévitrification en diminuant
viscosité ;
K2O est le flux qui agit sur la viscosité en allongeant les verres ;
CaO est un ingrédient essentiel des verres industriels, il améliore la résistance chimique des verres (SiO2-Na2O) en diminuant fortement leur solubilité ;
MgO (< 4%) améliore les caractéristiques de viscosité des verres vers 800°C: le verre
devient plus long ;
BaO agit de manière semblable à CaO, en outre il élève l’indice de réfraction du verre,
d’où son application dans les verres d’optique.
2.5.2.3 Les oxydes intermédiaires
Les oxydes tels que : Al2 O3, PbO, ZnO, CdO et TiO2 peuvent fonctionner suivant les
compositions dans lesquelles ils entrent soit comme formateurs soit comme modificateurs.
En effet lors de l’introduction d’Al2O3 dans un verre de silice pure, les ions O2- peu polarisables forcent l’ion Al3+ à la coordination [Al O6], qui ne peut pas former un réseau vitreux et
dans ce cas Al3+ joue le rôle d’un modificateur.
Le plus souvent Al2O3 entre dans la composition d’un verre sodocalcique où se trouvent des
oxygènes non pontants. Ces derniers plus polarisables ne sont liés que d’un côté à un cation
fortement chargé et ainsi est conféré à l’ion Al3+ la faculté de s’adjoindre quatre oxygènes en
[Al O4] et de devenir un formateur [8, 9, 20].
+ Al2O3
- 2 SiO2
"#
$
!
Al 3+
Figure 2.7 : Représentation schématisée du remplacement de SiO2 par
Al2O3 dans un verre de silicate de sodium.
40
Chapitre 2 : Les verres.
Lors du remplacement de SiO2 par Al2O3 les coupures de réseau sont renfermées ce qui restitue à la structure vitreuse sa rigidité originale (figure 2.7).
L’énergie de liaison de ces oxydes est comprise entre 240 et 335 K joules / mole.
Et finalement, voila les effets dus à l’introduction de ces oxydes dans les verres [9, 20] :
Al2O3 allonge le verre, c’est à dire augmente l’intervalle de travail, améliore la résistance mécanique et chimique, augmente le coefficient de diffusion des ions alcalins
(d’où son emploi dans les verres pour trempe chimique) et diminue la tendance à la
démixtion ;
ZnO augmente la dureté des verres de silicates ;
PbO augmente l’indice de réfraction et la résistivité électrique. Il diminue la température de transition vitreuse , et favorise la séparation des phases.
2.6 Propriétés des verres
Structure, constituants du réseau vitreux et leurs caractéristiques étaient le thème de la
première partie de ce chapitre, reste à voir dans ce qui suit, l’influence de ces constituants sur
certaines propriétés physiques du verre.
2.6.1 Indice de réfraction
La grandeur essentielle qui caractérise un milieu transparent d’un point de vue optique est
son indice de réfraction. La valeur de cet indice est donnée par la relation [26] :
%&
'
(2.1)
Où ( et () sont respectivement les vitesses de la lumière dans le vide et dans le milieu considéré qui est dans notre cas, le verre.
L’indice de réfraction % varie avec la longueur d’onde, c’est le phénomène de dispersion.
La dispersion peut être définie par la relation :
+,
* & +Avec :
* : La dispersion.
.% : Variation de l’indice de réfraction.
./ : Variation de la longueur d’onde.
41
(2.2)
Chapitre 2 : Les verres.
Pour des propriétés insensibles à la structure, des relations d’additivité ont été proposées. Ces
relations traitent le verre comme un mélange de composants qui contribuent indépendamment
à la propriété. Cette pratique est courante dans le cas des verres d’oxydes où pour des raisons
pratiques on cherche souvent à prévoir par le calcul les propriétés d’un verre complexe à partir de sa composition [20] :
Une propriété 0 est exprimée par exemple sous la forme :
0 & ∑ 2 02
(2.3)
2 : Coefficients de pondération qui déterminent la proportion de chaque composant.
02 : Facteurs représentant la contribution d’un composant donné à la propriété X.
On utilise souvent des formules du type :
0 & 3 ∑ 2 02
(2.4)
De ce fait, Huggins, Sun et Davis ont déterminé de façon empirique la relation entre densité,
indice de réfraction et composition [17].
L’indice de réfraction est donné par la formule :
% &1
∑5 5 65
7
(2.5)
Avec :
% : Indice de réfraction.
89 : Constante de réfraction de l’espèce M.
9 : Nombre d’ions m par atome d’oxygène (les composants du verre étant de la forme
:; <6 ).
V : volume occupé par les atomes d’oxygène.
Le volume du verre est équivalent au volume occupé par les atomes d’oxygène qu’il contient
du fait que le rayon atomique de l’oxygène est beaucoup plus grand que celui des cations.
Dans le verre de silice, il n’ya que des oxygènes pontants avec une polarisation très faible,
l’indice de réfraction est alors relativement faible.
Pour les verres silicates alcalins binaires, ils existent des oxygènes non pontants qui ont une
polarisabilité plus grande, en conséquence on aboutit à une élévation de l’indice de réfraction
lorsque la teneur en oxydes alcalins augmente.
L’indice de réfraction du verre ne dépend pas uniquement de la polarisabilité, la composition
du verre y influe fortement, le volume molaire joue également un rôle, l’indice augmente
quand le volume molaire diminue (structure plus dense) [9].
Compte tenu de la faible valeur du volume molaire des verres Li2O – SiO2, leur indice de réfraction est plus élevé que celui des autres verres binaires de silicates alcalins (K, Na). Il en va
de même lorsqu’on introduit CaO, MgO, ZnO, PbO ou B2O3.
42
Chapitre 2 : Les verres.
L’introduction d’Al2O3 pour un rapport Al2O3 / Na2O < 1 entraine une faible augmentation de
l’indice de réfraction mais dès que ce rapport devient > 1 dans un verre silicate de sodium,
Al2O3 joue le rôle d’un modificateur et provoque une augmentation plus importante de
l’indice de réfraction.
L’adjonction du fluor diminue l’indice de réfraction mais sa teneur est limitée à moins de 4 %
(par rapport aux oxygènes) car ils fragilisent le verre et diminue sa stabilité chimique [9].
2.6.2 La viscosité
La viscosité est la propriété, industriellement, la plus importante pour la mise en forme
des objets en verre. La viscosité évolue de manière continue depuis le liquide stable jusqu'au
verre à température ambiante [21].
L’inverse de la viscosité est la fluidité != .
2.6.2.1 Définition
La viscosité caractérise la force nécessaire pour déplacer deux faces parallèles à une
distance déterminée l’une de l’autre avec une vitesse donnée.
Les verres font partie des liquides où la viscosité est liée à la contrainte de cisaillement > et
la vitesse de déformation angulaire .?⁄.@ par la relation [9] :
>&
+A
+B
(2.6)
Avec :
> : Contrainte de cisaillement.
+A
: La vitesse de déformation angulaire.
+B
L’unité utilisée par les verriers est la Poise (P), (1 Pascale C Seconde = 10 poises).
La viscosité dans les verres dépend de leur nature et de leur structure et varie fortement avec
la température.
Plus la température est élevée, plus le nombre de liaisons rompues au sein de la structure vitreuse est important et plus la viscosité du verre devient faible.
Inversement lors d’un refroidissement des liaisons se forment d’où une augmentation de la
viscosité avec une diminution de la température.
43
Chapitre 2 : Les verres.
MNO PQ R (Poise)
20
T° de tension
14
13
T° de transition vitreuse ST
T° de recuisson
T° de ramollissement dilatométrique
10
9
6
4
2
0
T° de Littleton (ramollissement)
T° d’écoulement
T° de travail
T° de fusion
500
1000
1500
T°(C)
Figure 2.8 : Variation de la viscosité d’un verre
silico-sodo-calcique en fonction de la température.
En pratique on utilise la formule dite de Vogel-Fulcher-Tamman pour déterminer la courbe
viscosité-température d’un verre (figure 2.8) [9, 20] :
log=G & 3 H
I!IJ
(2.7)
Où est la température en Kelvin et 3, L, et G sont des paramètres déterminés expérimentalement par la mesure de points de viscosité fixes.
Parmi ces points (figure 2.8), citons :
La température de transformation où la viscosité est d’environ 1013 poises. A partir
de cette température le verre commence à ramollir ;
Dans le domaine de viscosité de 106 à 109 poises, on trouve le point de Littleton. Dans
ce domaine le verre est mou et il peut être soufflé ;
Le troisième point fixe se situe au voisinage du domaine de fusion. Dietzel et Bruckner ont proposé le terme de point d’enfoncement. La viscosité est d’environ 104 Poises
à cette température et le verre peut être coulé.
La dépendance de la viscosité des verres en fonction de leurs composition ne peut être étudiée
qu’expérimentalement. Dans le cas des verres silicates, l’introduction d’oxydes alcalins
abaisse notablement la viscosité.
44
Chapitre 2 : Les verres.
L’adjonction d’Al2O3 jusqu’à un rapport molaire Al / Alcalin = 1 dans les verres silicates
augmente la viscosité dans tous le domaine de température. Pour un rapport Al / Alcalin > 1 la
viscosité reste ensuite constante ou décroit faiblement [9].
La polarisabilité du cation peut également agir sur la viscosité du verre. Plus la polarisabilité
est forte, plus le déplacement est facile, et ainsi plus la viscosité deviendra faible. C’est le cas
du PbO dans tous les domaines de températures et du ZnO aux températures élevées.
La présence de CaO et de B2O3 abaisse la viscosité aux températures élevées et l’élève aux
températures basses ce qui rend le verre court : la courbe de viscosité devient raide dans la
gamme 106 à 109 poises.
Lorsque la viscosité varie rapidement dans un faible intervalle de température, le verre est
court. Au contraire, si la viscosité varie peu dans ce même intervalle de température. On parle
de verres longs.
2.6.3 Dilatation thermique
Chaque particule de matière oscille sous l’influence de l’énergie thermique. Quand la
température augmente l’énergie thermique augmente et il en résulte un accroissement de
l’amplitude des vibrations des particules.
Ainsi, deux atomes liés l’un à l’autre par des forces non harmoniques voient la distance qui
les sépare s’accroître à cause de ce processus, on parle alors de dilatation. La dilatation thermique nous renseigne sur les réactions du verre aux chocs thermiques [9].
La figure 2.9 représente l’évolution de la dilatation thermique en fonction de la température,
le point d’inflexion de la courbe correspond à la température de transformation du verre .
La valeur de la pente est appelée coefficient de dilatation. Ce dernier a pour expression [9] :
= ∆V
U&V
J
(2.8)
∆I
Avec :
U : Coefficient de dilatation.
∆V
: Allongement relatif d’un échantillon de longueur initiale XG .
V
J
∆ : Intervalle de température considéré.
La dilatation thermique dépend largement de la composition du verre.
Pour les verres de silices purs le coefficient de dilatation U est faible à cause de la liaison Si-O
qui est forte. Par l’introduction d’oxydes alcalins dans le verre on augmente le coefficient de
dilatation. Pour une teneur constante en alcalins, U croit dans l’ordre Li, Na et K.
L’introduction d’oxydes alcalino-terreux augmente U mais pas de façon aussi importante que
celle engendrée par l’adjonction d’alcalins. Cela s’explique par le fait que la liaison des ions
alcalino-terreux dans le réseau est plus solide.
45
Chapitre 2 : Les verres.
On peut dégager par ailleurs les tendances suivantes :
le coefficient de dilatation U croit avec l’adjonction de Pb et Zn ;
U demeure pratiquement inchangé lorsqu’on substitue SiO2 par Al2O3 ;
Enfin U diminue même si l’on accroit la quantité de B2O3 dans le verre.
∆Y
10Z
Y
6
4
2
0
200
400
ST 600
T°(C)
Figure 2.9 : Courbe dilatométrique d’un verre sodocalcique
de composition molaire : 0.15 Na2O, 0.1 CaO, 0.75 SiO2.
2.6.4 Durabilité chimique
La durabilité chimique est l'expression de la résistance chimique du matériau à un environnement. Pour un verre, elle exprime sa résistance à la dégradation dans les solutions
aqueuses.
L’importance de l’attaque du verre par des agents dégradants dépend de l’énergie de dissociation des ions de leurs sites dans la structure vitreuse d’une part et de l’énergie nécessaire pour
se mouvoir dans le verre d’autre part [18].
L’acide fluorhydrique HF attaque le verre en détruisant la liaison Si-O :
SiO2 + 6HF → H2 [SiF6] + 2H2O
La vitesse d’attaque dépend du pH de la solution HF. Le verre est également sensible aux solutions aqueuses alcalines ou acides : l’attaque se fait par échange ionique entre les ions H+ ou
H3O+ du bain et les ions modificateurs.
Par contre les solutions alcalines détruisent le réseau suivant la réaction :
≡ Si O Si ≡ + OH → ≡ Si O + HO Si ≡
46
Chapitre 2 : Les verres.
La sensibilité du verre à l’attaque dépend non seulement de la proportion de modificateurs de
réseau, mais aussi de leur nature. Ainsi la vitesse d’attaque dépend de la solidité de la liaison
A2O. Elle est faible dans les verres contenant Li2O et plus importante dans les verres contenant Na2O et encore plus élevée dans les verres contenant K2O.
Les ions divalents sont liés solidement à la structure, leur présence accroît la durabilité du
verre. Ils sont d’autant plus efficaces que leur taille est élevée (Ca2+, Pb2+, Mg2+, et Zn2+).
Ainsi le renforcement du réseau agit dans le sens d’une augmentation de la durabilité chimique du verre. On peut obtenir des renforcements importants en introduisant Al2O3 ou B2O3.
D’autre part l’effet d’alcalin mixte permet d’augmenter la durabilité en se plaçant prés du
minimum de la conductivité. L’introduction d’azote augmente également la durabilité chimique du verre.
2.6.5 Conductivité électrique
Depuis longtemps on sait que les verres d’oxydes contenant des ions alcalins (modificateurs) se comportent essentiellement comme des conducteurs électrolytiques solides.
Deux facteurs agissent sur la conductivité : la force de liaison des ions dans le réseau et leurs
dimensions [9].
En effet les verres contenant K2O ou Li2O ont une conductivité plus faible que ceux contenant
Na2O. Ceci est dû pour une part à la différence de tailles entre les ions K+ et Na+ et pour une
autre part à la forte liaison de Li+ au réseau par rapport à l’ion Na+.
La conductivité d’un verre augmente avec l’augmentation en teneur d’alcalin. Par ailleurs
l’introduction d’autres constituants tels que CaO, PbO, MgO, B2O3 dans des verres silicates
de sodium diminue la conductivité.
Quand à Al2O3, son introduction fait augmenter la conductivité. Des recherches attribuent ce
phénomène à la formation de plus grandes chaines dans le réseau, c'est-à-dire une structure
plus relâchée.
D’autres explique que l’introduction d’alumine dans des verres silicates de forte teneur en
alcalins transforme les oxygènes non pontants en oxygènes pontants. Ces derniers liens, plus
faibles que ceux des ions Na+, cause l’augmentation de la conductivité.
Pour un rapport Al / Na < 1 et T < , les études montrent que la conductivité augmente tandis que pour T > ou Al / Na > 1 la conductivité diminue.
La conductivité électrique des verres qui contiennent deux formateurs est plus élevée que pour
ceux qui ne contiennent qu’un seul formateur.
47
Chapitre 2 : Les verres.
La conductivité dans le verre est étroitement liée à la diffusion ionique par la relation de
Nernst-Einstein [9] :
> & % [\
]
^I
(2.9)
Avec :
> : Conductivité électrique.
D : Coefficient de diffusion.
e : Charge électrique sur les ions alcalins.
n : Concentration des ions alcalins.
K : Constante de Boltzmann.
T : Température absolue.
Souvent, la conductivité calculée en utilisant la relation (2.9) est légèrement inférieure à celle
mesurée. Le rapport entre ces deux valeurs s’appelle rapport de Haven _` , il prend généralement des valeurs comprises entre 0.3 et 0.5 pour des verres qui contiennent un seul type
d’ion d’alcalin et en grande quantité, pour la silice _` & 1.
Le rapport de Haven _` dépend généralement de la composition du verre.
En introduisant le rapport de Haven _` la relation (2.9) devient :
> & % [\ ]
a^
I
(2.10)
La diffusion ionique comme la conductivité dépendent de la température. Cette dépendance
varie suivant la loi d’Arrhenius :
* & *G [bcde∆f ⁄g
(2.11)
Avec :
* : Diffusion ionique.
*G : Facteur pré-exponentiel.
∆f : Energie d’activation de la diffusion.
: Constante des gaz parfaits.
: Température absolue.
Pour des valeurs de conductivité élevées, l’énergie d’activation est faible.
2.6.6 Effet des constituants du verre
L’introduction d’un second oxyde alcalin, influe directement sur les propriétés du verre.
Cet effet, dans le cas où cet oxyde est un modificateur est dit effet d’alcalin mixte, et dans le
cas d’un oxyde formateur est dit effet de formateur mixte.
48
Chapitre 2 : Les verres.
2.6.6.1 Effet d’alcalin mixte
L’addition d’un second oxyde alcalin à la composition initiale d’un verre apporte des
changements de ses propriétés physiques [9].
Parmi les caractéristiques physiques qui peuvent être modifiées citons :
La conductivité électrique (la diffusion ionique) ;
La viscosité ;
Les pertes diélectriques ;
La durabilité chimique.
Les modifications les plus significatives dues à l’effet d’alcalin mixte concernent la conductivité électrique et la diffusion ionique du verre qui passent par un minimum lorsque les deux
oxydes sont présents approximativement en proportions égales. Par conséquent l’énergie
d’activation passe par un maximum en ce point.
2.6.6.2 Effet de formateur mixte
Lorsqu’un verre est constitué d’un modificateur (m) et de deux formateurs (f1 et f2), la
conductivité électrique de mf1f2 peut être, pour un rapport modificateur / formateur constant,
supérieure à celle de mf1 et mf2. En fonction du taux de substitution de f1 par f2 la conductivité globale du composé mf1f2 peut être jusqu’à deux ordres de grandeurs supérieure à celle de
chaque constituant mf1, mf2 pris séparément.
L’effet est d’autant plus accentué que le rapport modificateur / formateur est faible.
L’introduction de B2O3 comme deuxième formateur a un effet inverse au précédent, c'est-àdire qu’il diminue La conductivité électrique [9, 20].
2.6.7 La transparence
La transparence d'un verre est une notion liée à la transmission optique définie par la loi
de Beer - Lambert [9, 18] :
h
hJ
& [ !i j
(2.12)
Avec :
I : Intensité du rayon émergeant.
kG : Intensité d’un rayon entrant dans un volume, défini à l’intérieur du verre, d’épaisseur b.
U : Coefficient d’absorption qui est relié à l’indice d’absorption : l/ par [18] :
U&
mn
-
l/
(2.13)
Les verres d’oxydes sont utilisés couramment dans le domaine de l’optique. Ils sont caractérisés par une bonne transparence dans le domaine de l’ultraviolet, du visible et du proche infrarouge.
49
Chapitre 2 : Les verres.
La transparence du verre est limitée dans l'U.V. par l’absorption due essentiellement à
l’interaction de la lumière avec les ions oxygènes du verre. Celle ci se produit d’autant plus
facilement que les ions O2- sont liés plus faiblement (oxygène non pontant).
Techniquement, on modifiera la dispersion en déplaçant la bande d'absorption côté UV vers
les grandes longueurs d'onde par ajout de certains oxydes (Tl, Pb, Bi...).
L’introduction de ces oxydes modificateurs de réseau impose la formation de coupure de réseau, à cause d’ions O2- liés par une seule liaison. Ces derniers sont plus facilement excitables, si bien qu’il y a absorption de la lumière ayant l’énergie la plus faible c'est-à-dire que
les limites d’absorption se déplacent vers le domaine de plus grandes longueurs d’ondes [9].
Les impuretés ions telles que l’ion Fe3+ ont aussi une très forte bande d’absorption dans le
domaine de l’U.V.
L’absorption dans le visible résulte de la superposition des transitions électroniques et vibrationnelles auxquelles il faut ajouter les contributions dues aux impuretés telles que les atomes
des éléments de transition (Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni et Cu). Ces éléments ont des transitions
électroniques qui coïncident avec des rayons de faibles énergies (bande d’absorption dans le
visible).
Les traces d’eau contenues dans les verres d’oxydes sous forme OH-, peuvent également
constituer des impuretés gênantes pour certaines applications.
Dans le proche infra rouge, la bande d’absorption la plus importante est celle due à lion Fe2+
qui absorbe à 1.1 o m. Si le verre est exempt de ces ions il est optiquement transparent
jusqu’à environ de 2.5 o m.
Lors de la traversé d’un rayon lumineux dans un barreau de verre il s’ajoute à l’absorption, la
réflexion de la lumière aux interfaces qui diminue la transmission d’un facteur 1 e 2,
avec [18] :
,!=p
& ,
=p
(2.6)
Il faut prendre en compte la diffusion de la lumière dans le verre. Cet effet est présent lorsque
le matériau possède dans sa masse des particules étrangères, particules vitreuses (démixtion),
cristallines (dévitrification). La diffusion peut également être induite par la présence au sein
du matériau de bulles ou de différences d’indice de réfraction d’un point à l’autre du verre
(inhomogénéités).
Dans ce qui suit nous allons traiter des phénomènes qui peuvent provoquer des inhomogénéités pendant l’élaboration du verre et les moyens de les supprimer.
2.7 Affinage et homogénéisation du verre
Le verre élaboré peut avoir des contraintes où des défauts qui le rendent non utilisable.
La présence des bulles de gaz piégées à l’intérieur du matériau peut affecter de manière importante la qualité du verre. L’origine de ces bulles peut être multiple, elles peuvent en effet
être issues de la dissociation des composants, de l’atmosphère du four ou de la réaction avec
les réfractaires du creuset.
50
Chapitre 2 : Les verres.
L’élimination de ces inclusions s’effectue par affinage à haute température ( > 1200 °C), on
ajoute alors en petite quantité des agents affinants tels que Na2SO4 ou As2O3. Cet affinage
chimique très complexe consiste à libérer en fin de processus de fabrication du verre des
quantités importantes de gaz en les entrainant vers la surface. Cette opération s’effectue selon
la réaction chimique suivante [9] :
Na2SO4 → Na2O + SO2 + (½) O2
L’autre défaut majeur provoquant une inhomogénéité du verre peut être, en première approximation, attribué à des inhomogénéités chimiques macroscopiques dues à une variation
de composition chimique franche et étendue.
On constate alors dans la même pièce de verre, la coexistence de deux ou de plusieurs genres
de verres, leurs volumes individuels étant relativement important. Ces inhomogénéités peuvent être dues :
A un malaxage insuffisant du mélange à enfourner s’il s’agit d’un verre complexe ;
A des réactions inégales ou incomplètes des composés en présence ;
Au mouvement de convection de la masse liquide, souvent très visqueuse, dans laquelle se forment des régions de densités différentes qui ne s’écoulent pas de la même
façon lors du moulage.
On peut faire disparaitre ces inhomogénéités par broyage et refonte complète.
Par ailleurs un contrôle rigoureux de la température et de la manière dont le verre est coulé
peut grandement augmenter la qualité finale du matériau.
Ces inhomogénéités structurales proviennent d’une réorganisation moléculaire due à
l’évolution de la structure en fonction de la température et du temps.
Elles sont à l’image du passé thermique du matériau et leur variété est très grande car elles
peuvent naitre dans une vaste gamme de températures.
On peut les faire naitre, grandir ou disparaitre par une chauffe ou un refroidissement du verre.
Par exemple la trempe thermique qui consiste à chauffer le verre jusqu’à une température voisine de son point de ramollissement puis à le sortir du four et à le refroidir rapidement, provoque l’apparition de tension et crée des contraintes dans le verre. Ces contraintes améliorent
les propriétés mécaniques du matériau, mais dans ce cas il est inhomogène.
Le recuit, au contraire, est destiné à réaliser l’homogénéité du verre au degré nécessaire à
l’usage prévu. Il consiste à réchauffer un verre comportant des contraintes jusqu’à ce que la
viscosité de ce dernier soit assez forte pour qu’il y ait les modifications de structure, et par
conséquent disparition des contraintes.
La température correspondante est appelée température supérieure de recuit ou de relaxation
de contraintes. Après recuit la descente en température est assez lente pour qu’aucune différence de température notable ne puisse apparaitre entre la surface et le cœur du verre. Ce traitement thermique relativement lent est destiné à uniformiser la structure et l’orientation des
particules.
51
Chapitre 2 : Les verres.
2.8 Critères de choix d’un verre
Le choix judicieux de la composition d’un verre influera directement sur les conditions de
fabrication des composants optiques et déterminera à une grande partie la qualité de ces composants. Ce sont les raisons qui nous ont poussés à proposer des critères de sélection des
verres qui seront résumés ainsi [9, 22] :
La transparence doit être la plus élevée possible dans le spectre visible et proche IR ;
L’indice du verre doit être proche de celui des fibres optiques en silice afin de minimiser les pertes de couplage ;
Le verre doit être homogène, sans bulles, ni contraintes internes ;
Le verre doit résister chimiquement à l’eau et aux acides ;
Le verre doit résister aux chocs thermiques ;
La température de transition vitreuse doit être suffisamment élevée pour envisager
la fabrication de composants optiques à des températures de l’ordre de 300 à 400 °C.
Pour permettre un choix judicieux de la composition d’un verre pour des applications visées,
on a fait une récapitulation des plus importants constituants des verres d’oxydes et des effets
dus à l’introduction de certains éléments dans la composition initiale d’un verre [9, 20, 22].
La silice est un élément essentiel dans la formation d’un verre. Il est caractérisé par :
Une bonne transparence dans le spectre visible et proche infrarouge ;
Une diminution du coefficient de dilatation thermique et donc une amélioration de la
tenue au choc thermique ;
Une amélioration de la tenue mécanique ;
Une résistance aux agents chimiques (sauf HF) ;
-6 -1
Un très faible coefficient de dilatation (~ 0.5×10 K ) ;
De plus, ses propriétés optiques dépendent de son degré de pureté ;
Mais, sa température d’élaboration reste élevée ( > 1700 °C) ;
Résistivité électrique élevée ;
Viscosité élevée.
L’adjonction d’oxydes alcalins permet de modifier certaines propriétés du verre, par exemple :
Abaisser la température d’élaboration ;
Diminuer la viscosité ;
Diminuer la durabilité chimique ;
Augmenter le coefficient de dilatation ;
Augmenter la conductivité électrique ;
Augmenter l’indice de réfraction.
Pour améliorer les caractéristiques du verre vis-à-vis des applications visées on peut introduire :
•
CaO :
Augmente la durabilité chimique ;
Diminue la viscosité aux températures élevées et la fait augmenter aux
basses températures, le verre devient plus court ;
52
Chapitre 2 : Les verres.
Diminue la conductivité électrique des verres silicates de sodium.
•
BaO :
Augmente la durabilité chimique ;
Diminue faiblement l’indice de réfraction des verres binaires de silicates
alcalins.
•
MgO :
Diminue la conductivité électrique des verres silicates de sodium ;
Dans une proportion (< 4 %) il augmente la viscosité aux températures
élevées (vers 800 °C) et le verre devient plus court.
•
PbO :
•
Augmente l’indice de réfraction ;
Diminue la conductivité électrique ;
Diminue la température de transition vitreuse ;
Diminue la viscosité dans tous les domaines de températures ;
Augmente le coefficient de dilatation thermique ;
Favorise la séparation des phases (inhomogénéité), donc c’est à éviter.
ZnO :
Augmente la dureté des verres de silicates ;
Diminue la viscosité aux températures élevées ;
Augmente le coefficient de dilatation thermique.
•
B2O3 :
Augmente la durabilité chimique ;
Diminue le coefficient de dilatation thermique ;
Diminue la viscosité aux températures élevées et la fait augmenter aux
basses températures, le verre devient plus court ;
Améliore la résistance mécanique ;
Diminue la conductivité électrique des verres silicates de sodium.
•
Al2O3 :
Augmente la durabilité chimique ;
Améliore la résistance mécanique ;
Augmente le coefficient de diffusion (conductivité électrique) des ions alcalins ;
Diminue la tendance à la démixtion ;
Pour un rapport molaire Al2O3 / Na2O < 1, on a une faible augmentation
de l’indice de réfraction mais dès que ce rapport devient > 1, on aura une
augmentation plus importante ;
Pour un rapport molaire Al / Alcalin = 1 dans les verres silicates, on a une
augmentation de la viscosité dans tous le domaine de température. Pour un
rapport Al / Alcalin > 1 la viscosité reste constante ou décroit faiblement ;
Pour un rapport Al / Alcalin > 1, allonge le verre, c’est à dire augmente
l’intervalle de travail.
53
Chapitre 2 : Les verres.
•
P2O5 :
Augmente la transparence dans l’ultraviolet et l’abaisse dans l’infrarouge ;
Diminue la résistance chimique.
•
fluor :
Diminue l’indice de réfraction mais sa teneur est limitée à moins de 4 %
(par rapport aux oxygènes) car ils fragilisent le verre et diminue sa stabilité chimique.
•
Les agents d’affinage, sont introduits en faibles pourcentage pour améliorer les réactions de fusion et éliminer les gaz dégagés. Il s’agit de B2O3 et de Na2SO4.
•
Les éléments de transition (Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni et Cu) sont à éviter à cause de
leurs bandes d’absorption.
2.9 Conclusion
Pour pouvoir réaliser des guides optiques par échange d’ions sur verre et avec des qualités
souhaitées, la connaissance de la structure et des propriétés des verres ainsi que l’influence
des éléments introduits dans ces derniers sur leurs propriétés, sont primordiales. C’est dans ce
contexte que ce chapitre a été préparé.
Commençant par l’étude des structures des verres d’oxydes, pourquoi les verres d’oxydes ?
Tout simplement parce qu’ils remplissent la majorité des critères de choix proposés auparavant, puis les propriétés de ces verres finissant par les changements des propriétés dus à
l’introduction d’oxydes dans la structure des verres.
54
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
L’échange d’ions
3.1 Introduction
D’une manière générale et en se plaçant dans le cas de structures planaires, un guide peut
être formé fondamentalement de deux manières :
Soit par une augmentation d’indice de réfraction par rapport à celui d’un substrat, en
effectuant le dépôt d’une couche d’indice plus élevé sur sa surface, ou par modification positive d’indice de sa proche surface ;
Soit par réduction d’indice local à une certaine profondeur sous sa surface.
Plusieurs techniques sont disponibles pour produire des guides d’onde sur substrat de verre.
Les plus classiques sont basées sur des méthodes de dépôt, ou de diffusion, d’implantation
ionique ou d’échange d’ions. C'est la technique d'échange ionique qui a été choisie dans ce
travail car c'est une méthode simple et économique pour réaliser des guides d'onde optiques
intégrés [10, 11].
3.2 Historique de l’échange d’ions
L’utilisation de l’échange d’ions est une technique très ancienne qui consiste à faire diffuser à l’intérieur du verre des ions dopants qui en modifient les caractéristiques. Par exemple,
cette technique a été utilisée pour colorer les verres de vitres, en utilisant des métaux de transition. De même, l’étude des propriétés physiques du verre démontre que la résistance mécanique de ce dernier dépend très fortement de son état de surface. Ainsi, même une rayure très
fine peut rendre l’ensemble du verre beaucoup plus fragile. C’est pourquoi l’échange d’ions a
été utilisé à partir de 1913 (avec un processus dit de trempe chimique) pour introduire des
contraintes additionnelles à la surface du verre qui peuvent compenser l’effet des rayures.
Même si l’augmentation d’indice de réfraction obtenu par ce processus avait été observée cinq
ans après la mise en œuvre de la trempe chimique, ce n’est qu’en 1972 que ce phénomène a
été utilisé pour obtenir des guides d’ondes [17].
3.3 Principe de l’échange d’ions
L’échange d’ions est basé sur l’observation que l’indice de réfraction d’un verre dépend
de sa composition. Dans la composition d’un verre, nous avons vu que les éléments modificateurs de réseau se trouvent sous forme ionique dans la matrice et qu’ils ont des énergies de
liaisons relativement faible avec l’oxygène. La possibilité exploitée par l’échange d’ion est de
chauffer le verre pour fournir l’énergie nécessaire pour casser les liaisons des ions modificateurs et les rendre mobiles, sans modifier la matrice beaucoup plus solide formée par les
autres espèces chimiques. En mettant en contact le verre avec une source d’ions (solide ou
liquide), on peut alors faire diffuser les ions modificateurs de réseau à l’intérieur du verre et
ainsi en augmenter localement l’indice de réfraction [10, 11].
55
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
Sur la figure 3.1, se trouve une représentation schématisée de l’échange entre les ions , présents à l’intérieur du verre et les ions , fournis par un bain de nitrate, maintenu à la température souhaitée. Les cations peuvent pénétrer dans le verre soit grâce à l’effet du gradient
de concentration, soit grâce à l’application d’un camp électrique externe.
Si le couple ionique ( , ) qui participe à l’échange est choisi correctement, on peut réaliser une augmentation de l’indice de réfraction. Cet effet peut être dû à deux phénomènes :
La taille ionique de l’ion entrant dans le verre est plus grande que celle de l’ion
, ce qui entraîne des contraintes en compression du verre, qui augmente l’indice de
réfraction ;
La polarisabilité de l’ion est plus grande que celle de l’ion , ce qui se traduit
également par une augmentation de l’indice de réfraction.
Sel fondu
NO3-
B+
Verre
A+
O2-
Si4+
Figure 3.1 : Représentation schématisée du processus de l’échange d’ions.
3.4 Les ions dopants et le choix du verre
Les ions monovalents utilisés pour l’échange ionique des verres à base d’oxydes sont
principalement les ions Na+, K+, Rb+, Ag+, Cs+ et Tl+. Dans le tableau 3.1, nous présentons les
différences de polarisabilités électroniques et rayons ioniques d’ions les plus utilisés. Suivant
les propriétés recherchées, il faut trouver le verre ainsi que la paire d’ions participant à
l’échange.
La composition du verre joue un rôle primordial sur la cinétique de l’échange, la variation
d’indice et les performances des guides obtenus. Plusieurs couples d’ions (tableau 3.1) dont
chacun a ses avantages et ses inconvénients. En particulier, les échanges au Cs+ et au Rb+ sont
difficiles à mettre en œuvre, soit pour des problèmes de tenue du verre à l’échange dans le
cas des échanges au Cs+, soit parce que les sels contenant Rb+ sont inflammables [9, 22].
56
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
Ion dopant
(B+)
Na+
K+
Ag+
Tl+
Rb+
Cs+
Li+
Ion substrat (A+)
Na+
Na+
+
Na ou K+
Na+ ou K+
Na+ ou K+
Na+
Nombre de
coordination
4/6
6
6
6
6
6
4/6
Polarisabilité
[Å3]
0.43
1.33
2.4
5.2
1.99
3.34
0.03
Rayon
ionique [Å]
0.95 / 1.02
1.33
1.26
1.49
1.49
1.65
0.59 / 0.76
∆n
Pertes
dB/cm
-
-
0.001
0.1
0.1
0.015
0.04
0.02
< 0.2
< 0.2
< 0.2
≈1
≈1
>1
Tableau 3.1 : Caractéristiques des principaux couples d’ions utilisés pour l’échange sur verre.
verre
Indice à
λ= 633nm
1.5126
Ions
échangés
Ag+/Na+
∆n
max
0.09
Corning 0211
Aluminoborosilicate
BK7
Soda-lime
1.523
1.5100
Ag+/Na+
Ag+/Na+
0.049
0.122
T
°C
375
330
343
270
1.5151
1.5126
K+/Na+
K+/Na+
0.009
0.008
385
385
0.085
0.065
Pyrex 7740
Corning 0211
Fisher Premium
B270 Schott
1.4711
1.522
1.512
1.5207
K+/Na+
K+/Na+
K+/Na+
K+/Na+
0.007
0.005
0.008
0.008
KF3
1.5127
Tl+/Na+
0.054
Verre Alcatel
BGG21 SchottIOT
1.463
Tl+/Na+
Cs+/Na+
0.048
0.04
385
400
400
450
400
414
480
470
-
0.037
0.14
0.03
0.18
0.048
0.06
-
Soda-lime
D
µm2/min
0.42
0.15
0.12
0.25
µ
µm2/v.min
5.0
1.63 à
330 °C
7
-
18.26
Pertes
d b/cm
< 0.2
< 0.2
0.07
< 0.1
1
< 0.1
1
< 0.1
Tableau 3.2 : Performances des ions candidats à l’échange dans des verres spécifiques.
3.4.1 L’échange Argent / Sodium (Ag+ / Na+)
Permet d’obtenir des guides de très bonne qualité, avec un contraste d’indice relativement élevé (∆ n ≈ 0.1). De plus, l’augmentation de l’indice est essentiellement obtenue grâce
à la différence de polarisabilité des deux ions participant à l’échange et non à cause des contraintes mécaniques induites dans le verre, car le rayon ionique de l’argent est proche de celui
de sodium, ce qui facilite la mobilité et la diffusion pendant l’échange même à des températures modérées (de 200 à 300 °C). Cela permet d’obtenir des biréfringences très faibles, des
pertes inférieures à 0.2 dB/cm et de réaliser l’enterrage des guides.
Malheureusement, l’argent sous forme ionique a une très forte tendance à se réduire sous
forme métallique en présence d’impuretés telles que Fe3+ ou As2+. Sous forme métallique
l’argent se regroupe en cristallites qui deviennent des centres de pertes par diffusion de la lumière.
En conséquence, l’échange à l’argent impose l’utilisation de verres exempts d’impuretés si
l’on veut que les guides soient de bonne qualité optique [9, 10].
57
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
3.4.2 L’échange Potassium / Sodium (K+ / Na+)
Permet d’obtenir une variation d’indice de l’ordre de 0.01 grâce aux contraintes mécaniques introduites dans le verre à cause de la différence de taille ionique entre le potassium et
le sodium, ces contraintes peuvent atteindre 800 N/mm2, entraînant une biréfringence de
l’ordre de 1.5 à 2 10-3. Cette caractéristique rend la température de l’échange un peut élevée,
de l’ordre de 400 °C, rend aussi l’échange Potassium / sodium inadapté à la fabrication de
guides enterrés. Les pertes dans les guides obtenus par cet échange sont inférieures à 0.2
dB/cm [9, 10].
3.4.3 L’échange Thallium / Potassium (Tl +/ K+)
Permet d’obtenir des guides avec un contraste d’indice élevé (∆ n ≈ 0.1), l’augmentation
d’indice est due à la différence de polarisabilité, ce qui permet de minimiser l’effet des contraintes mécaniques dans la structure. Ceci permet de réaliser des guides avec des pertes de
propagation faibles, de l’ordre de 0.1 dB / cm, qu’ils soient à la surface ou enterrés dans le
verre. L’inconvénient majeur de cette technologie est la toxicité du thallium, ce qui entraîne la
nécessité de travailler dans des conditions de sécurité spéciales.
De plus, l’échange se fait à des températures, de l’ordre de 400 à 550 °C, proche de la dévitrification du verre. Une variante possible de l’échange est représentée par le couple (Tl+, Na+),
mais la forte disparité des rayons ioniques pose des problèmes aux niveaux des contraintes
mécaniques qui peuvent être développées pendant l’échange [9, 10].
3.4.4 L’échange Lithium / Sodium (Li+ / Na+)
L’ion Li+ présente une polarisabilité inférieure à celle des ions candidats à l’échange. Sa
taille réduite provoque une augmentation locale de la densité du réseau et par conséquent de
l’indice de réfraction. Cette augmentation d’indice, de l’ordre de 0.015, est suffisante pour
obtenir des guides d’ondes.
La grande différence de taille entre Li+ et Na+ peut entraîner dans certains cas un effondrement et une dévitrification de la structure vitreuse.
L’échange peut être fait à des températures au dessus du Tg du verre. A cette température le
réseau étant souple, il se réarrange autour des ions Lithium. Les pertes dans les guides ainsi
obtenus sont élevées et généralement supérieures à 1dB / cm [9, 10].
3.4.5 L’échange Césium / Potassium (Cs+ / K+)
Le césium à un rayon ionique important de ce fait il est préférable que le verre utilisé
contient une forte teneur en potassium. Cet échange induit une variation d’indice de l’ordre de
0.04.
Le césium est un ion stable mais peut mobile, la température d’échange est élevée (de l’ordre
de 400 °C).
Les pertes pour des guides fabriqués par cet échange sont de l’ordre de 0.1 dB / cm [9].
3.4.6 L’échange Rubidium / Sodium, Potassium (Rb+ / Na+, K+)
Le rubidium est un élement qui s'enflamme spontanément dans l'air, il introduit une variation d’indice faible (de l’ordre de 0.015). Cet échange est souvent utilisé pour
l’amplification optique ou l’optique non linéaire dans des verres spéciaux [9].
58
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
3.5 Théorie de l’échange d’ions
D’une manière générale, lorsqu’un verre contenant des ions mobiles A est mis en contact
avec un milieu (solide, liquide ou gazeux) contenant des ions B de même charge que A, un
échange entre ces deux ions est possible. L’ion B diffuse alors dans le matériau, sous l’effet
d’une différence de concentration.
La diffusion de l’ion dopant provoque une modification locale de la composition du verre.
Lorsque le rayon de l’ion B est plus grand que celui de l’ion A, et / ou l’ion B est plus polarisable que l’ion A, ces deux phénomènes ont pour effet d’augmenter l’indice de réfraction et
de créer une structure guidante à gradient d’indice avec une géométrie bien définie.
La cinétique de l’échange ionique fait intervenir trois facteurs importants [6, 10] :
La concentration du milieu extérieur ;
La réaction chimique à l’interface du verre et du milieu extérieur ;
La mobilité des ions dans le verre.
Ce dernier paramètre impose la cinétique de diffusion de l’ion dopant dans le verre et peut
être contrôlé par la température de l’échange. La profondeur de pénétration des ions dopant
est, quant à elle, fonction des deux paramètres temps et température.
3.5.1 Les lois de la diffusion ionique
Lorsqu'un verre, contenant des ions monovalents liés aux atomes d'oxygène avec
une énergie de liaison faible tels que les modificateurs de réseaux, est mis en contact avec une
source contenant des ions , de même polarité, il y a apparition d'un gradient de concentration et de potentiel. Cet état est décrit sur la figure 3.1. Dès lors, un échange ionique
peut apparaître à la surface du verre et peut être représenté par la relation chimique suivante :
(3.1)
Dans le cas où la source est un bain de sels à une température où la mobilité des ions devient
importante, la cinétique de la réaction dépend principalement de l'agitation thermique dans le
verre et du gradient de concentration créé. Les ions , diffusent d'une manière isotrope
de plus en plus loin dans le substrat pour réduire le déséquilibre. L'augmentation de la température liée à une agitation thermique plus intense accélère le processus [6, 10].
Dans ce paragraphe, on pose comme hypothèse que seul un couple d’ion , intervient
dans l’échange. Le traitement est basé sur la séparation des processus d’échange intervenant à
la surface du verre de ceux de diffusion dans son volume. La surface est traitée en écrivant les
interactions entre les ions et sous forme d’une réaction d’équilibre thermodynamique.
(3.2)
Qui est caractérisée par la constante de réaction K, définie par les concentrations à
l’équilibre [27] :
!""! !""! 59
(3.3)
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
Au début de l’échange, on suppose qu’il n’y a pas d’ion à l’intérieur du verre. La concentration n0 de cites disponibles pour accueillir des ions à la surface étant constante, la
somme des concentrations ioniques à la surface est constante.
#
$% # $% &'
(3.4)
La définition de la concentration normalisée du bain en ion :
( (3.5)
Permet de relier le taux de substitution en ion :
&
) À la constante d’équilibre :
!""! *
+. -
&
) .-+/.
(3.6)
(3.7)
Si l’on suppose que la cinétique de diffusion ne perturbe pas l’équilibre en surface et que la
condition d’équilibre est établie dans un temps suffisamment rapide pour être considéré négligeable devant la durée globale de l’échange, la relation (3.7) nous permet de calculer la
concentration en surface à partir de la concentration du bain x.
En ce qui concerne l’étude de la diffusion à l’intérieur du verre, on peut décrire les flux des
ions grâce à la première loi de Fick :
99999999991 :
01 34 5678
2
(3.8)
Où :
2
01 : Le flux de l’ion .
4 : Coefficient de diffusion de l’ion .
: : Concentration de l’ion dans le verre.
Si les coefficients de diffusion 4 et 4 ne sont pas strictement identiques, les ions et ne se déplacent pas à la même vitesse. Cela entraine la formation d’une zone de charge
d’espace qui a pour effet d’accélérer l’ion le plus lent au détriment de l’ion le plus rapide.
Aux flux ioniques dus à la diffusion de Fick, on superposera donc l’effet dû au champ électrique interne de la zone de charge d’espace. De même, un champ externe (dont les effets
s’additionnent à ceux du champ interne) peut être appliqué pour influer sur la diffusion. Les
flux ioniques totaux seront donc obtenus par la somme des effets dus aux gradients et aux
champs.
L'application d'un champ électrique externe ;91-< génère un flux 0122
0122 3= : ;91<<>
(3.9)
;91<<> ;91< ;91-<
(3.10)
60
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
Avec :
0122 : Le flux de l’ion dû au champ ;91<<> .
= : Mobilité ionique de l'ion .
: : Concentration de l’ion dans le verre.
;91< : Champ électrique interne du à la charge d'espace.
;91-< : Champ électrique externe appliqué.
Le flux total 01 est la somme des deux flux9102 et 0122 .
99999999991 : = : ;91<<>
01 012 0122 = 34 5678
(3.11)
= et 4 sont reliés par la relation de Nernst-Einstein :
4 ?@A
B
=
(3.12)
Où :
T : Température de l’échange (en Kelvin).
K : Constante de Boltzmann (k = 1,38. 10-23 j . k -1).
q : Charge de l’électron (q = 1,6.10-19 C).
H : Rapport de Haven, coefficient sans unité.
De même pour = et 4 d'où :
CD
ED
CF
EF
(3.13)
Si l'on néglige la charge d'espace, c'est-à-dire si l'on suppose que les sites libérés par les ions
A sont remplis par les ions B, on a alors conservation des ions B et A en tout points du verre,
ce qui s'écrit :
: : :'
(3.14)
:' : Concentration initiale en ions A dans le verre.
D’où la relation :
99999999991
99999999991 :
5678: 35678
(3.15)
Car :
99999999991 :' 0
5678
61
(3.16)
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
Cette conservation des ions se traduit par la deuxième loi de Fick :
HID
38JK01
(3.17)
HIF
38JK01
(3.18)
H<
H<
Et d’autre part :
HID
H<
HIF
H<
HID IF H<
:
On pose :
C : concentration normalisée.
L
Et :
9991 01 0
38JK0
ID
(3.19)
(3.20)
I*
CF / CD
CF
(3.21)
En utilisant les équations : (3.11), (3.19), (3.20), (3.21) on obtient :
8JK ML. 99999999991
5678: ?@A 1 3 L:;91<<> O 0
B
HI
H<
8JK34 9999999999991
. 5678: = :;91<<> (3.22)
(3.23)
Dans le cas général cette équation n’a pas de solution analytique.
En l’absence d’un champ extérieur :
999999991
;-< 91
0
Le champ total n’est fonction que du champ interne, ce dernier a pour expression :
Alors (3.23) devient :
@A
99999991
;P< 3 B
HI
H<
Avec :
Q
./QI
99999999991
5678:
99999999991 4 5678
99999999991 :
5678
C
D
4 ./QI
D : Coefficient d’interdiffusion (=RS /min .
62
(3.24)
(3.25)
(3.26)
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
Dans le cas de sources diluées, : XX 1 l’équation (3.25) se simplifie à 4 4 , La constante
d’interdiffusion est égale la constante de diffusion de l’ion B.
L’équation (3.25) a alors une solution analytique de la forme :
: (, % :' Y6Z& [
Y6Z&( S c
` Y(a
√_ -
-
S\CD <
]
(3.27)
3b S 8b
(3.28)
Y6Z&( : Fonction erreur complémentaire.
Le terme 2\4 % où t est la durée totale de l’échange est appelée profondeur effective de
diffusion. Elle est définie comme la profondeur à partir de la surface du guide pour laquelle le
rapport de concentration à pour valeur :
ID
I*
Y6Z&1 0.157
(3.29)
Pour 0 X L X 1 l’allure du profil de concentration est proche d’une gaussienne :
-k
: :' exp j3 C <l
(3.30)
D
ID
I*
.
pour ( \4 %
(3.31)
Pour l’échange Ag+ / Na+, avec un bain très dilué en argent (0.1% en fraction molaire d’argent
dans le bain) on observe un profil de concentration proche de erfc [23].
A l’opposé pour l’échange Tl+ / Na+, Rb+ / Na+ on obtient aisément des profils proches d’un
saut d’indice.
Pour l’échange Cs+ / K+, le profil est en erfc car tous les ions qui participent à l’échange ont
des constantes de diffusions voisines [9].
Dans le cas d’un échange avec un champ externe et pour de faibles concentrations en ions B+,
4 peut être considéré comme très peut différent de 4 et la solution analytique s’écrit dans ce
cas :
.
:(, % S mY6Z& n
-/ED o!pq .<
S\CD <
r Y(a M
63
ED o!pq .-
CD
O Y6Z& n
-ED o!pq .<
S\CD <
rs
(3.32)
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
Généralement, il s’agit de mettre l’équation (3.25) sous une forme adaptée au calcul numérique [24]. Finalement le profil de concentration peut être écrit sous la forme générale suivante :
tI
M
tI
M
t<
t<
tkI
3
?@A
tkI
3
?@A
CD
OM
CD
OM
./QI
./QI
t- k
t- k
B
;<
tI
B
;<
tI
t-
t-
O3
BCD
?@A
;-<
O 3 = ;-<
tI
t-
tI
t-
(3.33)
(3.34)
Avec les conditions aux limites :
:0, % 1 pour % u 0
:(, 0 0 pour ( u 0
L’équation (3.33) ou bien (3.34) peut être résolue par une méthode numérique, telle que
l’application d’un schéma aux différences finies [25].
Si l’augmentation d’indice est obtenue sans faire entrer en jeu des contraintes mécaniques
excessives, la variation d’indice peut être considérée comme proportionnelle à la concentration normalisée d’ions , permettant ainsi d’obtenir des profils d’indice qui peuvent être
ensuite utilisés pour calculer les paramètres électromagnétiques du guide d’onde [26]. En
d’autres termes, si :( représente le profil normalisé de concentration des ions dans le verre,
le profil d’indice est donné par [27] :
v( v
∆vx- :(
(3.35)
Avec :
v( : Profil d’indice.
v
: Indice du substrat non échangé.
∆vx- : Variation maximale d’indice qu’on peut obtenir en supposant une substitution totale
des sites disponibles.
:( : Profil normalisé de concentration des ions dans le verre.
3.6 Résolution de L’équation du profil de concentration par la méthode aux différences
finies
Pour résoudre l’équation (3.33) ou bien (3.34) on utilise la méthode des différences finies.
On pose :
Avec :
(x R ∆(
et
R 1 … Rx- et
64
% v ∆%
v 1 … vx-
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
En donnant à la concentration :(, % le symbole numérique équivalent :R, v, les approximations de la méthode des différences finies nous donne :
tI
t<
tk I
t- k
Iz,{ /Iz,
(3.36)
Iz{, /Iz|{,
(3.37)
∆<
tI
t-
Iz{, /SIz, Iz|{,
∆-k
S∆-
(3.38)
On peut donc écrire l’équation (3.33) ou bien (3.34) sous la forme numérique suivante :
:x,. } M 3
∆S
O :x/., #1 3 2}$:x, } M Avec :
∆S
O :x.,
(3.39)
4
1 3 L:
∆%
}
∆(S
~4
#; 1 3 L:;-< $
€1 3 L: <
=
#; 1 3 L:;-< $
3
1 3 L: <
3
Et les conditions aux limites s’écrivent :
:0, v 1 pour % u ∆%
:R, 0 0 pour (x u ∆(
3.7 Détermination des paramètres caractéristiques de l’échange
Chaque couple verre / ions diffusants a ses propres paramètres d’échanges caractéristiques.
Ces paramètres sont [9] :
La variation d’indice ∆vx- à la surface après échange ;
Les coefficients de diffusion 4 et 4 de chacun des deux types d’ions ;
Les mobilités respectives des ions : = et = .
65
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
3.7.1 Variation d’indice de surface
A partir des profils d’indice des guides planaires, on obtient la variation d’indice ∆vxà la surface du substrat (point d’abscisse ( 0). Les guides obtenus par échange d’ions sont à
gradient d’indice, dont le taux de substitution maximal est en surface, puis la variation
d’indice diminue graduellement lorsqu’on se déplace perpendiculairement à la surface.
La valeur de ∆vx- dépend des types d’ions échangés, de la concentration des ions dopants
dans le bain et de la composition du verre.
Pout le même type d’ions dopants la valeur de ∆vx- croit avec l’augmentation de la concentration du bain en ions. Cette croissance s’effectue jusqu’à une concentration limite où ∆vxreste constante. La saturation est atteinte lorsque tout les sites du verre favorables à l’échange
Ont été occupés par les ions dopants B.
On peut tracer la courbe de saturation d’un verre donné avec un ion diffusant B donné (variation de ∆vx- en fonction de la concentration du bain en ions dopants), en faisant différents
échanges et en augmentant progressivement la concentration du bain.
Plusieurs méthodes sont disponibles pour la détermination de l’indice à la surface d’un guide,
dans ce travail on a choisi l’une des méthodes les plus simples qui est la méthode de Brewster.
Cette méthode sera détaillée dans le cinquième chapitre [4].
3.7.2 Le coefficient de diffusion D et la mobilité ‚
La détermination des paramètres qui caractérisent le processus de diffusion consiste à
réaliser des guides plans, relever les indices effectifs des modes guidés par la méthode des Mlines et enfin remonter au profil d’indice de ces guides en employant la méthode WKB inverse.
Une étude détaillée de la caractérisation des guides plans par la méthode des M-lines et la méthode WKB inverse sera décrite dans le cinquième chapitre.
Pour les profils diffusés ayant une forme proche d’une fonction erreur complémentaire on
peut déterminer le coefficient de diffusion D en mesurant l’abscisse de la courbe ayant pour
valeur en ordonnée 0.157 ∆vx- . Pour cette valeur de l’ordonnée, l’abscisse est égale à
2√4% .
Pour des profils d’indice de forme différente de la fonction ercf (c'est-à-dire 0 X L X 1), il
n’ya pas de mesure directe de la valeur de D. La courbe expérimentale est alors approchée
numériquement à l’aide de l’équation (3.25), en ajustant les paramètres D et L dans le programme simulant le processus la cinétique de diffusion.
Quand à la détermination de la mobilité = , elle nécessite la réalisation de guides planaires
sous champ électrique. Le profil expérimental est approché par un profil théorique résultant
de la résolution numérique de l’équation (3.32), en introduisant 4, L, le temps d’échange, le
champ appliqué et en ajustant = jusqu’à avoir une bonne concordance entre les deux profils,
ce qui nous donne la valeur de = recherchée [9].
66
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
3.8 Réalisation des guides d’ondes par échange d’ions sur verre
Le principe de réalisation des guides d’ondes est représenté sur la figure (3.2). Il comporte
dix étapes principales utilisant des technologies empruntées à la microélectronique [8, 11, 17].
3.8.1 Étapes de réalisation
Pour réaliser un circuit intégré optique, il est nécessaire de confiner la lumière. Il faut
donc réaliser des échanges d’ions entre le substrat et le bain de sel. Les différentes phases de
réalisation d’un composant à partir d’un substrat de verre sont les suivantes :
Nettoyage du substrat : le substrat doit être exempt de toutes poussières pour permettre l’adhérence et l’uniformité de la couche d’aluminium. Pour maintenir cette état
de propreté jusqu’à l’étape sept, le travail s’effectue en salle blanche ;
Dépôt du masque : une couche imperméable aux ions est déposée sur la surface de
l’échantillon. La nature de cette couche et le système pour la déposer peut varier selon
le type d’échange choisi. Pour l’échange K+ / Na+, on utilise très souvent une couche
d’aluminium déposée par évaporation dont l’épaisseur est d’environ 200 nm. Pour les
échanges basés sur l’argent et le thallium, on préfère utiliser des couches d’alumine
plus fines (autour de 40 nm), déposées par pulvérisation cathodique réactive ;
Dépôt de la résine : une couche de résine photosensible de 0.5 =m est déposée sur le
masque ;
Insolation UV : la résine est insolée à travers un masque qui reproduit les motifs des
guides. Cette importante étape conditionne beaucoup la qualité des guides qui dépend
de la résolution du masque, de la qualité de contact entre le masque est la résine, de la
rugosité de la couche de résine et de l’homogénéité du faisceau. Le masque est un
substrat de quartz avec une couche de chrome comportant des ouvertures aux endroits
où la résine doit être enlevée. Ces ouvertures ont quelques micromètres de la largeur ;
Développement de la résine : le substrat est plongé dans une solution basique. La résine qui a été exposée à la lumière se dissout dans la solution ;
Gravure de l’aluminium : les parties non protégées de l’aluminium sont gravées à
l’aide d’une solution d’acide orthophosphorique. A la fin de ces différentes étapes, le
motif du masque est transféré sur l’aluminium qui recouvre le substrat de verre ;
Retrait de la résine : le masque en résine est retiré ;
Echange d’ions : l’échange d’ions est effectué en plongeant la plaquette dans un four
contenant le bain de sels fondus, qui fournit les ions à échanger avec ceux du verre.
Cette phase produit des guides en surface dont la géométrie suit les ouvertures de la
couche masquante ;
67
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
Retrait du masque en aluminium : après nettoyage, le masque en aluminium est retiré ;
Enterrage : éventuellement, si l’on souhaite réaliser des guides enterrés, le processus
d’enterrage est effectué en appliquant un champ électrique à l’échantillon, de façon à
faire migrer les ions vers l’intérieur de la plaquette ;
Nettoyage, polissage et découpage de l’échantillon : afin d’assurer un bon couplage entre les fibres et le guide, il faut découper le verre perpendiculairement aux
guides. Pour polir les arrêtes ainsi formées, on utilise des poudres d’alumine avec des
grains de tailles décroissantes.
1. Nettoyage.
6. Gravure de
l’aluminium.
2. Dépôt du masque.
7. Retrait de la résine
3. Dépôt de la résine.
8. Echange d’ions.
UV
4. Insolation UV.
9. Retrait du masque.
5. Développement de
la résine.
10. Enterrage.
Figure 3.2 : Principe de réalisation des guides d’ondes par échange d’ions.
3.9 Dispositifs réalisés par échange d’ions
3.9.1 Dispositifs passifs
L’utilisation du verre rend les composants d’optique intégrée réalisés sur ce substrat naturellement compatibles avec les fibres optiques, qui sont en silice. Les pertes de Fresnel aux
interconnexions peuvent être réduites grâce aux indices de réfraction très proches entre le
composant et la fibre. De plus, en utilisant des guides enterrés, il est possible d’obtenir des
modes guidés dont la symétrie est pratiquement circulaire et qui sont très similaires à ceux des
fibres optiques. Ces deux aspects permettent de minimiser les pertes de couplage, tandis que
le processus de diffusion des ions tend à lisser les rugosités et permet de minimiser les pertes
de propagation. On obtient ainsi des composants avec des pertes d’insertion (couplage et propagation) faibles (< 1 dB).
68
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
Les substrats utilisés le plus fréquemment pour les applications passives sont les verres silicates, car ils sont transparents dans le visible et l’infrarouge jusqu’à une longueur d’onde de
2 µm. Ils constituent la classe des verres la plus commune et la mieux maîtrisée.
Plusieurs fonctions passives ont été réalisées par échange d’ions, tels que des coupleurs directionnels, des multiplexeurs, des capteurs etc. [9, 28].
3.9.2 Dispositifs actifs
Nous avons vu précédemment que le verre est un substrat naturellement adapté à la réalisation de guides d’ondes qui se prête bien à la réalisation de composants passifs avec
l’échange d’ions. Deux aspects sont à prendre en compte pour réaliser des composants actifs.
D’un côté, il faut confiner efficacement la lumière : un amplificateur optique est avant tout un
bon guide d’onde ; de l’autre part, la réalisation de composants actifs repose sur la possibilité
d’introduire des terres rares dans le verre, et rendre ainsi possible l’amplification de la lumière.
Un grand nombre de réalisations d’amplificateurs optiques et lasers par échange d’ions ont été
faites [19, 28].
3.9.3 Hybridation de fonctions actives et passives
En particulier, l’échange d’ions est très efficace pour réaliser des composants à la fois
actifs et passifs, mais les substrats utilisés dans les deux cas sont incompatibles entre eux. En
effet, la réalisation d’un composant actif nécessite un substrat dopé avec des terres rares qui
absorbe l’énergie à la longueur d’onde du signal lorsque les dispositifs ne sont pas pompés.
Cela s’avère être un inconvénient lors de l’intégration monolithique des fonctions, car un amplificateur optique complet contient non seulement un guide d’onde actif, mais aussi des fonctions d’interfaçage passives.
Il faut donc assurer la coexistence d’éléments passifs tels que les multiplexeurs et actifs tel
que le guide amplificateur. Une solution possible pour résoudre ce type de problème est la
structure hybride. Il s’agit de déposer une couche active de haut indice sur un substrat comportant un guide d’onde réalisé par échange d’ions sur un substrat passif. L’épaisseur et
l’indice de réfraction de la couche sont suffisants pour que le champ soit essentiellement guidé à l’intérieur de cette dernière, le guide d’onde échangé s’occupant alors uniquement
d’assurer le confinement latéral du mode guidé [10].
Comme présenté précédemment, l’échange d’ions sur verre a prouvé son intérêt et son efficacité pour la réalisation de fonctions actives et passives en optique intégrée. Un enjeu actuel de
la recherche en optique intégrée réside dans l’intégration de fonctions élémentaires sur une
même plaque optique. La technologie de l’échange d’ions sur verre, naturellement compatible
avec celle des fibres optiques, est une excellente candidate pour répondre à ce défi.
69
Chapitre : 03 L’échange d’ions.
3.10 Conclusion
Dans ce chapitre, une étude détaillée concernant la technologie d’échange d’ion a été
présentée, de plus, nous avons vu que l’échange d’ions sur verre joue un rôle important car il
permet de réaliser des composants actifs et passifs de bonne qualité. L’intégration monolithique sur un même substrat des fonctions actives et passives n’étant pas possible directement,
des technologies d’hybridation ont étés mise en places pour réaliser des amplificateurs sur un
substrat passif. De plus la technologie de l’échange d’ions sur verre, est une excellente candidate face au défi d’intégration de fonctions élémentaires sur une même puce.
70
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
Caractérisation des structures
guidantes
4.1 Introduction
Une fois la réalisation des guides d’ondes terminée, vient une étape importante avant leur
utilisation : c’est l’étape des caractérisations optiques. Elle permet, d’une part, de déterminer
la qualité des guides réalisés ainsi que leurs différentes caractéristiques, à savoir : la modalité,
la plage de monomodicité, les pertes, le profil d’indice,… D’autre part, ces tests permettent de
déduire les ajustements à effectuer sur le processus de fabrication, en l’occurrence sur le
temps d’échange, la concentration du bain de sel et la température d’échange afin d’aboutir
aux caractéristiques convoitées à la longueur d’onde de travail.
Nous nous proposons dans le cadre de ce travail de présenter le procédé de caractérisation des
guides d’ondes tout en se focalisant plus particulièrement sur la détermination du profil
d’indice par la technique utilisant le couplage par prisme de la lumière avec le guide, qu’est la
spectroscopie des franges noires nommée aussi la spectroscopie des m-lines.
Pour pouvoir déterminer parfaitement le profil d’indice d’un guide d’ondes, il faut tout
d’abord connaitre l’indice à la surface du guide . Cette valeur est à déterminer
correctement pour avoir le profil le plus régulier [29, 30].
4.2 Caractérisation de l’indice de surface
Une des méthodes les plus simples pour mesurer l’indice de réfraction de la surface d’un
guide est la méthode de Brewster [17, 31].
•
Principe de la méthode de Brewster
Cette méthode utilise le dioptre air- surface du guide. Elle consiste à faire réfléchir un faisceau parallèle de lumière polarisée sur la surface du guide (figure 4.1). Si la lumière du faisceau incident est polarisée dans le plan d’incidence (formé par les rayons incident et réfléchi),
nous montrons, en considérant le rapport des intensités de la lumière réfléchie et de la
lumière incidente (formule de Fresnel), qu’il existe une valeur particulière de l’angle
d’incidence pour laquelle l’intensité lumineuse du rayon réfléchi est nulle. Cette condition est
définie par :
⁄2
(4.1)
Avec :
: Angle d’incidence de Brewster.
: Angle de réfraction de Brewster.
Nous obtenons, par la suite, d’après la loi de Descartes :
tan 71
(4.2)
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
Plan d’incidence
1
Figure 4.1 : Schéma de principe de la méthode de Brewster.
Dans la pratique, l’état de surface n’étant pas parfait, le rayon réfléchi ne s’éteint pas complètement mais l’intensité lumineuse passe par une valeur minimale qui correspond aux réflexions dues aux irrégularités de surface.
⁄ 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
15
30
45
60
75
90
Angle
d’incidence i (°)
Figure 4.2 : Intensité lumineuse réfléchie en fonction de l’angle d’incidence.
4.3 Caractérisation de l’indice du guide
Il est évident que la détermination du profil d’indice exige, en plus de l’indice de la surface du guide, la connaissance des indices effectifs des modes pouvant se propager dans ce
guide [32, 33]. Pour cela on doit confiner la lumière dans le guide.
72
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
4.3.1 Les différentes techniques de couplage
Pour confiner la lumière dans le guide, plusieurs techniques sont généralement utilisées.
Parmi lesquelles on cite :
4.3.1.1 L'injection par tranche
Le faisceau incident est focalisé sur la tranche du guide d'onde. Le couplage peut s'effectuer à partir d'une source laser, d'une fibre optique, ou par l'intermédiaire d'un second guide.
Cette méthode est couramment utilisée en optique intégrée surtout pour les microguides et
paraît, à première vue, relativement simple d'emploi. Toutefois, sa mise en œuvre nécessite
une bonne stabilité et un très précis alignement des éléments constituant le banc optique. Elle
requiert également un polissage de grande qualité des tranches d'entrée et de sortie du guide.
Il est à noter que cette technique ne permet pas de sélectionner un mode guidé puisqu'elle excite tous les modes en même temps.
4.3.1.2 Le couplage par biseau
Cette méthode consiste à polir l'extrémité du guide en forme de biseau sur une distance égale à 10 à 100 fois la longueur d'onde utilisée. Cette méthode est particulièrement
intéressante pour caractériser des guides à fort indice (comme dans le cas du GaAs) pour lesquels il est difficile de trouver un prisme d'indice élevé et transparent à la longueur d'onde
utilisée. Cette technique est très peu utilisée car elle est difficile à mettre en œuvre et ne permet pas d'exciter sélectivement les modes guidés. De plus, l'efficacité théorique du couplage
est faible.
4.3.1.3 Le couplage par réseau
Cette technique consiste à graver un réseau à la surface du guide. Le faisceau incident
est alors diffracté par le réseau et peut être couplé à des modes guidés dès lors que la condition d'accord de phase est réalisée le réseau présente l'avantage de constituer un coupleur
permanent et sélectif. Sa mise en œuvre est aisée mais c'est la fabrication du réseau qui est
délicate et nécessite un appareillage et des techniques particulières. L'efficacité dépend fortement du pas et de la profondeur du réseau, des caractéristiques du faisceau incident et de la
zone de couplage.
4.3.1.4 Le couplage prisme
Cette méthode est couramment utilisée en optique guidée compte tenue de sa facilité
de mise en œuvre. Elle est détaillée dans le paragraphe suivant.
4.3.2 Mesures des indices effectifs
Pour pouvoir mesurer les indices effectifs, plusieurs techniques sont disponibles, commençant par la spectroscopie en champ proche jusqu’à arriver à la spectroscopie m-lines.
73
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
4.3.2.1 Spectroscopie en champ proche
La spectroscopie en champ proche fait appel au couplage de la lumière dans un guide, à
partir d’une fibre optique. Contrairement à la technique des m-lines, cette méthode permet
d'analyser des guides canaux. Elle consiste à injecter une onde lumineuse monochromatique
par une extrémité du guide, et à visualiser le profil du signal transmis lors de sa sortie à l’autre
extrémité. L'excitation des modes guidés est réalisée par transfert d'énergie à partir du champ
du faisceau laser. Le schéma du principe est illustré sur la figure 4.3.
Fibre optique
Guide
Laser
Objectif
Caméra
Substrat
Figure 4.3 : Représentation schématique d'un montage de champ proche.
La lumière monochromatique, émise par une diode laser (λ = 633 nm ou λ = 1540 nm), est
guidée par une fibre optique monomode vers le guide dans lequel elle est injectée. La qualité
du couplage entre la fibre et le guide est assurée par micropositionnement de la fibre dans les
trois directions de l’espace. En sortie du guide, un objectif grossissant permet de focaliser
l’image du champ proche sur une caméra infrarouge.
Le traitement informatique de cette image fournit alors les profils d’intensité des modes guidés. Pour un couplage optimal de la lumière dans le guide, la mise en œuvre de cette technique nécessite des échantillons avec des arêtes de grande qualité optique. Ce critère essentiel
est obtenu pendant la préparation de l'échantillon lors de la découpe et du polissage des arêtes.
4.3.2.2 Spectroscopie des m-lines
Avec cette technique, les modes du guide à analyser sont excités par couplage de la lumière, à l’aide d’un prisme. Cette méthode, aisée à mettre en œuvre, permet de caractériser
rapidement et précisément les modes en tout point du guide plan. En effet, elle rend compte
des indices effectifs de chaque mode guidé ainsi que de l'épaisseur du guide.
Les mesures des indices effectifs vont nous permettre de reconstruire le profil d’indice des
guides plans. Dans un premier temps, nous allons décrire la méthode de couplage par prisme
qui repose sur la notion de réflexion totale frustrée (ou effet tunnel optique).
Le principe, les conditions d’excitation d’un mode et la reconstruction des profils d’indice
sont exposés ci-après.
74
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
4.3.2.2.1 Principe du couplage par prisme
Pour confiner la lumière dans un guide, plusieurs techniques de couplage peuvent
être utilisées, parmi lesquelles on peut citer le couplage par prisme. Cette méthode est couramment utilisée en optique guidée compte tenu de sa facilité de mise en œuvre et de sa stabilité, elle permet aussi d’exciter sélectivement les modes guidés et d’être non destructive pour
les matériaux. Ces caractéristiques permettent entre autre d’avoir une efficacité de couplage
assez importante [21, 34].
Le couplage par prisme consiste à réaliser l’accord de phase entre l’onde incidente et un des
modes guidés. Cet accord de phase se produit quand la composante horizontale du vecteur
d’onde de l’onde incidente dans le prisme est égale à celle d’un mode guidé [4].
%
Prisme
"
$
#
Guide
Substrat
&
!
Gap
d’air Figure 4.4 : Principe du couplage par prisme.
Le guide est placé à une distance de la base du prisme. Le faisceau incident sur la base du
prisme est alors totalement réfléchi, et pour certaines angles d’incidence dit angles synchrones, l’énergie est transférée aux modes guidés à exciter (figure : 4.5).
En réalité l’excitation des modes guidés s’effectue par l’intermédiaire des ondes évanescentes
crées dans l’espace d’air entre le prisme et le guide. Si l’épaisseur du gap d’air est bien optimisée, il y a recouvrement entre le champ évanescent à la base du prisme et le champ évanescent d’un mode propre du guide. Cette situation implique qu’il est possible de coupler de
l’énergie (transférer de l’énergie) du prisme dans le guide.
Bien que non formalisée dans le cadre de cette étude, une analogie peut être proposée entre ce
type de couplage par champ évanescent et l’effet tunnel, pour lequel un transfert d’énergie
peut avoir lieu malgré l’existence d’une barrière de potentiel.
La figure : (4.4) illustre le principe de recouvrement des champs évanescents [7].
75
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
Onde incidente
Ondes évanescentes
Prisme
Recouvrement
Gap d’air (g)
Guide
Substrat
Mode guidé
Figure 4.5 : Recouvrement des champs évanescents lors du couplage par prisme.
4.3.2.2.2 Rôle de l’épaisseur du gap d’air
Le gap d’air entre le prisme et le guide joue un rôle tés important dans la méthode de
couplage par prisme. Si cette couche mince d’air est assez large, l’onde évanescente s’atténue
avant d’exciter le mode guidé du guide. Donc pour que le couplage par prisme soit efficace, il
faut que l’épaisseur séparant le guide et le prisme soit inferieure à la longueur d’atténuation de
l’onde évanescente, soit '⁄4 , '⁄8. Il ne faut pas en revanche trop approcher le prisme de la
surface du guide au risque de perturber les modes guidés. Il faut aussi prendre en compte les
ondes évanescentes crées à l’interface guide - air qui peuvent se coupler dans le prisme [21].
4.3.2.2.3 Observation des lignes noires
Le faisceau lumineux focalisé d’un laser polarisé verticalement est injecté dans le
guide plan grâce à un prisme de fort indice % (figure 4.4), dont la base est mise en contact
avec la surface du guide de façon à laisser entre elles une couche mince d’air inferieur à la
longueur d’onde. La lumière étant focalisée, elle attaque le guide selon plusieurs angles
d’incidences. Pour un angle d’incidence particulier ", une partie de la lumière pénètre dans le
guide, on dit qu’un mode d’indice effectif + à été excité [21, 29].
L’indice effectif du mode est donné par la relation :
+ % . sin $
Avec :
+ : L’indice effectif du mode.
% : Indice du prisme.
$ : Angle d’incidence à la base du prisme.
La relation (4.3) est appelée condition de synchronisation.
76
(4.3)
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
Pour un large domaine d’angle ", la lumière introduite dans le prisme présente pour la face
hypoténuse un angle d'incidence qui correspondrait à une réflexion totale en l'absence de
guide. Par contre, si ce guide est amené très près, l'onde évanescente (créée dans l'air) peut
exciter un mode pourvu que la condition de synchronisation (4.3) soit satisfaite. Celle-ci correspond à une valeur particulière de l’angle ". Dans le cas contraire, où la synchronisation
n'est pas réalisée, la lumière ne pénètre pas dans le guide, est réfléchie dans le prisme et ressort dans l'air de façon symétrique.
Nous visualisons sur un écran la lumière issue du prisme. La figure observée est une tache
lumineuse correspondant au faisceau laser réfléchi sur le guide, striée de lignes sombres dues
à un manque d’énergie lumineuse dans le faisceau réfléchi. Ces lignes appelées m-lines, correspondent à la lumière guidée se propageant jusqu’à la face de sortie du guide (fig. 4.6) [27].
A cause de la diffusion, ces lignes sombres se transforment en lignes brillantes sur un fond
sombre à l’extérieur de cette tache. En mesurant l’angle qui correspond à une ligne noire,
c’est à dire pour un mode excité, nous pouvons remonter à l’indice effectif de ce mode guidé.
Ligne noire
Tache lumineuse
Ecran
sombre
Ligne brillante
Lumière
incidente
Prisme
Guide
Substrat
Tête de réglage
Figure 4.6 : Schema de principe de la méthode m-lines.
4.3.2.2.4 Condition d’excitation des modes guidés
Pour déterminer cette condition, il suffit d’appliquer la relation de Descartes au point
où a lieu la réflexion totale frustrée (figure 4.4) :
% sin $ sin &
77
(4.4)
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
Avec :
% : Indice du prisme.
$ : Angle d’incidence à la base du prisme.
: Indice du guide.
& : Angle de réfraction à l’interface prisme-guide.
La condition d’excitation établit l’égalité des composantes longitudinales du vecteur d’onde
défini dans le prisme (/ % sin $) et dans le guide (/ sin &, noté !). Nous obtenons cette
condition en multipliant l’expression précédente (4.4) par / (/ 2⁄' d’où :
/ % sin $ / sin & !
(4.5)
Avec :
dans le vide.
/ : Module du vecteur d’onde /
' : Longueur d’onde dans le vide.
! : Composante longitudinale du vecteur d’onde défini dans le guide, nommée aussi constante de propagation du mode guidé.
Si nous faisons intervenir l’indice effectif , nous obtenons alors :
% sin $ 0
12
(4.6)
Pour le mode d’ordre m, l‘indice effectif est lié à l’angle $+ par la relation :
+ % sin $+
(4.7)
Il est plus commode d’exprimer l’indice effectif en fonction de l’angle d’incidence " et en
faisant intervenir #, l’angle au pied du prisme, nous obtenons la relation suivante :
345 673 85 9:; < =3?> @ 673? 85 A
B⁄?
. 673 <
(4.8)
4.3.2.2.5 Choix du prisme
La relation (4.8) montre que la gamme d’indices effectifs mesurables dépend du
choix du prisme, qui doit être transparent aux longueurs d’ondes utilisée et avoir un indice de
réfraction assez élevé pour pouvoir mesurer les indices effectifs des premiers modes du
guides [7].
4.3.2.2.6 Numérotation des modes
Lors de la mesure expérimentale des indices effectifs d’un guide, un problème qui se
pose concerne la numérotation des modes. En effet, suivant les conditions expérimentales, il
est possible que les modes de bas ordre ne soient pas excités ou tout simplement non observables.
Ceci implique que le premier mode observé n’est pas nécessairement le mode d’ordre zéro
(c'est-à-dire le mode fondamentale).
78
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
Afin d’obtenir une numérotation correcte des modes observés, on fait appel à l’équation (4.9).
Dans le cas d’un guide plan, il existe une relation de linéarité entre l’indice du mode au carré
et le carré du numéro du mode correspondant qui s’exprime sous la forme mathématique suivante [7] :
C
D E. D 1C F
,
(4.9)
Où : a et b sont des constantes.
4.4 Reconstruction du profil d’indice
Pour des guides d’ondes plans à gradient d’indice, Marcuse (1973) a utilisé
l’approximation WKB (Wenzel-Kramers-Brillouin) pour déterminer les valeurs des indices
effectifs des modes à partir de la connaissance du profil d’indice. White et Heydrich (1976)
ont posé le problème inverse en cherchant à déterminer le profil d’indice du guide plan connaissant le spectre des indices effectifs des modes et ont posé une méthode théorique pour
obtenir ce résultat. La méthode expérimentale pour mesurer l’indice effectif d’un mode a été
proposée par Tien et al. (1969) et se base sur la théorie du couplage par prisme formalisée par
Tien (1971), Ulrich et Torge (1973) et Tien et al. (1974) [7].
Donc, la méthode WKB nous permet de calculer les indices effectifs (autrement dit les constantes de propagation) d’un guide à profil d’indice donné. Inversement, il est possible de remonter au profil d’indice à partir de la connaissance des indices effectifs, par la méthode
WKB inverse [25, 31, 35].
4.4.1 La méthode WKB inverse
•
Principe
Une fois les indices effectifs mesurés, le profil d’indice est reconstruit en utilisant la méthode
WKB inverse. La relation de dispersion dans le cas d’un guide à gradient d’indice est [4, 25] :
J
C LI M
/ . G K HC I @ +
N
O D
(4.10)
Où + et I+ sont respectivement l’indice effectif et la profondeur du mode P+ , l’objectif
étant de déterminer I+ . Nous nous intéressons à un guide qui présente au total N modes
d’indice effectif + tel que :
I I+ +
(4.11)
Le profil d’indice est défini de façon approchée par la connaissance de (indice de la surface du guide) et des couples (+ , I+ ).
Nous transformons la relation de dispersion (4.10) au moyen de différentes hypothèses suivantes :
79
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
1. 3Q R 36 S 345 S 36TU V
Nous nous plaçons dans le cas où le superstrat est l’air, 1.
Ainsi, nous obtenons :
M
EWX Y
[ \[
ZK
2
[ \[
]^_
ZK
`
a⁄C
b
N
C
(4.12)
Cela est équivalent à assimiler l’interface air-guide à une paroi parfaitement réfléchissante.
Et l’équation (4.10) devient :
J
C LI Y
/ . G K HC I @ +
cdO+
O
` . D 0,1,2,3 … …
(4.13)
2. On suppose que I est linéaire entre deux points tournants consécutifs :
I+\a
I+
+ +\a
I
x
Figure 4.7 : Profil d’indice d’un guide d’onde
plan à gradient d’indice.
Pour I+\a S I S I+ l’indice a pour expression :
I + +\a @ + JK \J
JK \JKhi
(4.14)
3. Nous faisons une approximation de I au sein de la somme I + .
Puisque dans le segment jI+\a ; I+ l, I varie entre +\a et + , nous prenons la valeur
moyenne de I lorsque cet indice intervient dans une somme avec un autre indice effectif.
Par conséquent, pour I+\a S I S I+ :
I K dKhi
80
C
(4.15)
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
Cette approximation intervient notamment dans :
C
C I @ +
jI + l. jI @ + l
(4.16)
Qui peut s’approximer par :
C
C I @ +
Y
cK d Khi
C
` . jI @ + l
(4.17)
Le mode fondamentale qui correspond à D 0 qui a un indice effectif a permet d’écrire
I entre I 0 et I Ia comme :
I a 2 \i
Ji
Ia @ I
(4.18)
Où 0 : indice à la surface.
Quand on remplace entre 0 et Ia , I a par a Ia m
i d 2
C
, l’équation (4.13) donne :
o√C
(4.19)
an H2 \i H2 dci
Et comme I est supposé linéaire entre deux points tournants successifs on peut trouver la
formule de récurrence :
I+da I+ Où
C
s c ∑+
1wa u
vhi d v
C
c
a
√C HK dcKqi HK \Kqi
+da
Jv \ Jvhi
vhi \ v
Y
O+dco
r
@ s`
(4.20)
=1\a @ +da c⁄C @ 1 @ +da c⁄C A (4.21)
4.5 Reconstruction du profil du champ électromagnétique
Pour reconstruire le profil du champ électromagnétique, il existe plusieurs méthodes [14],
parmi les plus connues, nous pouvons citer les méthodes de Runge Kutta (RK), WKB. La
première est relativement simple à exploiter et fournit le tracé en tout point du guide, en revanche, la méthode WKB ne s’applique pas à la région où l’indice du milieu est égal à
l’indice du mode étudié. C’est pourquoi, par la suite, que nous utiliserons la méthode de RK.
81
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
4.5.1 La méthode de Runge Kutta
4.5.1.1 Principe
Afin de comprendre le principe de la méthode de RK, nous proposons dans un premier
temps, à titre d’exemple, d’intégrer un système de deux équations différentielles du premier
degré. Ensuite, nous appliquerons cette méthode à l’intégration d’une équation différentielle
du second degré et au tracé du champ électromagnétique dans un guide d’onde plan [4].
•
Intégration d’un système de deux équations différentielles du premier degré
Les équations différentielles à résoudre sont de la forme :
x
yI, z, {
(4.22)
x|
}I, z, {
(4.23)
xJ
xJ
Puisque ces équations dépendent des mêmes variables, elles sont couplées. Nous cherchons à
les intégrer sur un intervalle ∆I. Pour ce faire, nous utilisons la méthode de Runge Kutta qui
consiste à découper cet intervalle en  pas de longueur € petite. Les valeurs de { et z sont
calculées à la fin de chaque pas à partir des valeurs en début. Par étapes successives, tout le
domaine peut ainsi être décrit. Les conditions initiales sont les valeurs des coordonnées { (soit
{ ) et z z au début de cet intervalle, prises arbitrairement à l’origine en I 0.
Posons : I . €
Aux extrémités de chaque pas, les inconnues { et z prennent les valeurs :
{ et z en I .
{da et zda en Ida .
Afin de procéder à l’intégration, il est nécessaire de définir auparavant pour chacun des pas
(c’est-à-dire pour chaque valeur particulière de ) et de façon successive, les quantités suivantes :
D € . yI, z, {
/ € . }I, z, {
€
/a
Da
DC € . y ‚I ƒ , ‚z ƒ , „{ …†
2
2
2
€
/a
Da
/C € . } ‚I ƒ , ‚z ƒ , „{ …†
2
2
2
€
/
D
…†
Da € . y ‚I ƒ , ‚z ƒ , „{ 2
2
2
€
/
D
/a € . } ‚I ƒ , ‚z ƒ , „{ …†
2
2
2
Dc € . yjI €, z /C , { DC l
/c € . }jI €, z /C , { DC l
82
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
A partir des valeurs D … … Dc , / … … /c , il est possible de calculer les valeurs {da et zda
prises par les inconnues en fin de pas à partir des valeurs { et z en début de pas. Nous obtenons ainsi :
a
{da { D 2Da 2DC Dc (4.24)
n
a
zda z / 2/a 2/C /c (4.25)
n
Ces relations permettent ainsi de déterminer, pas à pas, les valeurs de { et z pour différentes
positions correspondantes au découpage du domaine de variation de I.
•
Application de la méthode de RK à l’intégration d’une équation différentielle du
second ordre
L’équation du second degré à résoudre est de la forme :
x[ |
‡I, z 0
xJ [
(4.26)
Introduisons la variable secondaire { définie comme étant la dérivée première de z :
x|
Ce qui implique :
x
xJ
{ xJ
(4.27)
@‡I, z
(4.28)
La correspondance avec le paragraphe précédent permet d’écrire :
x
xJ
yI, z, { @‡I, z
x|
xJ
(4.29)
}I, z, { {
(4.30)
Les quantités D … … Dc, / … … /c ,deviennent alors :
D @€ . ‡I , z / € . {
€
/
Da @€ . ‡ ‚I ƒ , ‚z ƒ†
2
2
/a € . „{ €
/a
DC @€ . ‡ ‚I ƒ , ‚z ƒ†
2
2
/C € . „{ Dc @€ . ‡jI €, z /C l
/c € . „{ 83
D
…
2
Da
…
2
+[
…
C
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
La formule de calcul pas à pas de { (dérivée première de z) reste la même :
x|
„ …
xJ da
x|
„ … xJ D 2Da 2DC Dc a
n
(4.31)
Celle du calcul de l’inconnue z se simplifie en :
x|
zda z € „xJ … •
ˆ
n
D Da DC (4.32)
Application de la méthode de RK au tracé du champ électromagnétique dans un
guide d’onde plan
L’amplitude du champ correspondant au mode P d’un guide satisfait l’équation scalaire :
x[ ‰J
xJ [
C l.
/C jC I +
I 0
(4.33)
L’application du paragraphe précédent donne :
C l.
‡I, z /C jC I +
I
(4.34)
Les quantités D … … Dc, / … … /c se calculent alors à partir de la valeur de l’indice effectif
+ (supposée connue) et de la valeur du champ en début de pas, c’est-à-dire en I .
x‰
C l
D @€/C jC I @ +
/ € „xJ …
ˆ
12
…
/a € Y„xJ … ˆ
1i
…
/C € Y„xJ … C
Da @€/C YC „I C… @ +
` . „ C
C
DC @€/C YC „I C… @ +
` . „ C
x‰
x‰
x‰
C l. Dc @€/C jC I € @ +
/C +2
C
`
+i
C
`
/C € Y„xJ … DC `
Les calculs du champ et de sa dérivée se font grâce aux formules (4.35) et (4.36) :
x‰
„ …
xJ da
x‰
„ … xJ x‰
a
n
D 2Da 2DC Dc da € „xJ … ˆ
n
D Da DC 84
(4.35)
(4.36)
Chapitre : 04 Caractérisation des structures guidantes.
Pour effectuer ces calculs, il est nécessaire de fixer des conditions initiales. Il est commode de
se donner arbitrairement la valeur unité en début du domaine d’intégration. Il faut également
préciser la valeur initiale de la dérivée première. Comme le guide plan étudié présente un superstrat d’indice constant et connu (généralement de l’air : 1) s’étendant jusqu’à l’infini,
il est pratique de prendre comme position initiale le plan d’interface entre cette région et la
zone guidante.
Dans ces conditions et avec l’hypothèse d’un champ initial égal à l’unité, la dérivée première
se calcule aisément par :
Jw 1
(4.37)
x‰
„ …
xJ Jw
CN
o
C @ C
H+
(4.38)
4.6 Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons montré que les guides d’ondes, une fois réalisés, une caractérisation optique pour déterminer leurs propriétés opto-géométriques est plus qu’indispensable.
L’une des plus importantes propriétés est le profil d’indice. Pour pouvoir reconstruire ce profil, il faut tout d’abord connaitre l’indice à la surface du guide. Pour caractériser cet indice,
plusieurs méthodes sont disponibles, parmi les plus simples la méthode de Brewster. En plus
de l’indice à la surface du guide, il faut déterminer les indices effectifs des modes pouvant se
propager dans ce guide. Pour cela on a utilisé la spectroscopie des m-lines, une méthode qui
est basée sur la technique de couplage par prisme.
Cette technique, si elle est utilisée dans des conditions optimales peut se révéler comme un
outil de caractérisation très performant.
85
Résultats et discussion.
Résultats et discussion
5.1 Tracé du profil d’indice
Le profil d'indice est défini de façon approchée par la connaissance de l'indice à la surface du guide et des couples , , où et sont respectivement l'indice effectif et la profondeur du mode d'ordre .
L’indice de réfraction à la surface du guide peut être déterminé par l’une des méthodes les plus simples qu’est la méthode de Brewster ;
Les indices effectifs sont déduits des angles synchrones, ces derniers sont déterminés par la méthode des m-lines ;
Les profondeurs sont déterminées par la méthode WKB inverse.
Ces trois grandeurs, une fois déterminées, on peut remonter au profil d’indice.
5.2 Tracé du profil du champ électromagnétique
Pour reconstruire le profil du champ électromagnétique, il faut résoudre l’équation de
propagation (pour les modes TE) :
.
0
La présence du gradient d'indice qui caractérise ce genre de guide complique cette équation.
On a recourt à la méthode de Runge Kutta (RK), cette méthode est relativement simple à exploiter et fournit le tracé en tout point du guide vis-à-vis la méthode WKB inverse, qui ne
s’applique pas à la région où l’indice du milieu est égal à l’indice du mode étudié.
5.3 Programme de simulation
Un programme sous Matlab a été élaboré pour le tracé du profil d’indice et du profil du
champ électromagnétique.
Pour le tracé du profil d’indice : le programme permet de calculer, , et les couples
, ;
Pour le tracé du profil du champ électromagnétique : il permet de résoudre l’équation
de propagation pour chaque mode du guide.
5.4 Exemple d’application n° 1
5.4.1 Tracé du profil d’indice
Le programme élaboré a été appliqué à plusieurs guides, et en voila l’exemple n° 1 d’un
guide d’onde plan formé par échange d’ions (Ag+/Na+) dans un verre SODA-LIME.
86
Résultats et discussion.
Paramètres caractéristiques :
Angle au pied du prisme : 60°.
Indice du prisme : 2.4411.
Angle d’incidence de Brewster : "# 57.2.
Indice à la surface du guide : 1.55.
Tableau 5.1: Paramètres caractéristiques
du guide d’onde plan étudié.
&
- 59.95
- 60.90
- 61.80
- 62.65
- 63.20
1.5431
1.5363
1.5300
1.5242
1.5206
1.5465
1.5397
1.5332
1.5271
1.5224
2.4443
3.7065
4.8276
5.8310
7.9365
Profil d'indice
1.550
Indice de réfraction n(x)
0
1
2
3
4
1.545
1.540
1.535
1.530
1.525
1.520
0
2
4
6
8
Profondeur x en (micron)
Figure 5.1 : Profil d’indice du guide
d’onde plan étudié.
5.4.2 Tracé du profil du champ électromagnétique (modes TE)
On a tracé pour le même guide le profil du champ électromagnétique (modes TE) des
premiers modes.
m=1
m=0
m=2
m=3
Figure 5.2 : Premiers modes du guide d’onde plan étudié.
87
Résultats et discussion.
5.5 Exemple d’application n° 2
5.5.1 Tracé du profil d’indice
Paramètres caractéristiques :
Angle au pied du prisme : 30°.
Indice du prisme : 2.636.
Angle d’incidence de Brewster : "# 58.096.
Indice à la surface du guide : 1.6045.
Tableau 5.2 : Paramètres caractéristiques
du guide d’onde plan étudié.
Profil d'indice
1,61
&
19.55
18.90
18.20
17.50
16.80
1.5964
1.5878
1.5785
1.5691
1.5597
1.6005
1.5921
1.5832
1.5738
1.5644
2.2214
3.2199
3.8977
4.5619
5.1164
1,60
In d ic e d e re fra c tio n n (x )
0
1
2
3
4
1,59
1,58
1,57
1,56
1,55
0
1
2
3
4
5
6
Profondeur en (micron)
Figure 5.3 : Profil d’indice du guide
d’onde plan étudié.
5.5.2 Tracé du profil du champ électromagnétique (modes TE)
Figure 5.4 : Premiers modes du guide d’onde plan étudié.
88
Résultats et discussion.
5.6 Exemple d’application n° 3
5.6.1 Tracé du profil d’indice
Paramètres caractéristiques :
Angle au pied du prisme : 45°.
Indice du prisme : 2.640.
Angle d’incidence de Brewster : "# 56.100.
Indice à la surface du guide : 1.487.
Tableau 5.3 : Paramètres caractéristiques
du guide d’onde plan étudié.
m
θ (°)
0 - 29.800
1 - 30.350
2 - 30.800
nem
1.481
1.474
1.469
nm
1.483
1.478
1.471
I n d ic e d e r é f r a c t io n n ( x )
1,490
Tableau 5.4 : Paramètres caractéristiques
du guide d’onde plan d’après la référence [1].
xm(micron)
2.849
3.622
5.213
m
0
1
2
nm
1.484
1.475
1.470
xm(micron)
2. 950
3.750
5.150
n-./
1.486
Profil d'indice
1,485
1,480
1,475
1,470
0
1
2
3
4
5
6
Profondeur (en micron)
Figure 5 : Profil d’indice d’un guide d’onde Figure 6 : Profil d’indice d’un guide d’onde
plan étudié.
plan d’après la référence [1].
∆ 1.487 + 1.471 0.016, pour le guide d’onde plan étudié.
∆ 1.486 + 1.470 0.016, d’après la référence [1].
5.6.2 Tracé du profil du champ électromagnétique (modes TE)
89
Résultats et discussion.
Figure 5.7 : Premiers modes du guide d’onde plan étudié.
5.7 Conclusion
La caractérisation optique des guides permet, d’une part, de déterminer la qualité des
guides réalisés ainsi que leurs différentes caractéristiques, à savoir : la modalité, la plage de
monomodicité, les pertes, le profil d’indice. Ce dernier, qui contient toutes les informations à
propos du guide doit être déterminé avec soin. Dans ce sens un programme de simulation a
été élaboré.
Ce programme a été appliqué à plusieurs guides déjà caractérisés, dont trois ont été donné
comme exemples, et a donné des résultats qui donnent preuve à son application pour caractériser de nouveaux guides.
Le profil d’indice représente la boite noire d’un guide optique, dans l’espérance de l’exploiter
au maximum, ce travail doit être suivi d’un programme simulant la cinétique de diffusion.
Bien que non formalisé dans le cadre de ce mémoire, ce programme est donné en annexe à
titre d’information.
90
Conclusion générale.
Conclusion générale
Le sujet de ce mémoire s’inscrit dans le contexte de nombreuses approches existantes
d’étude et de caractérisation des structures guidantes.
L’objectif était d’introduire les concepts physiques nécessaires à la compréhension de
l’optique guidée. Ces aspects sont à la base des développements des structures guidantes.
Dans un premier temps, une étude a été faite par la théorie d’optique géométrique et la
théorie électromagnétique. La description de l’optique géométrique, bien qu’approximative,
permet d’expliquer les processus du guidage de la lumière. Cependant, c’est la théorie électromagnétique qui reste l’approche incontestable dans la description des phénomènes qui se
produisent dans une structure guidante planaire.
Les guides d’ondes optiques plans peuvent être réalisés sur plusieurs matériaux et avec
des technologies différentes.
Parmi les méthodes de préparation, c’est la technique d’échange d’ions sur verres qui parait le
leader, car elle permet de fabriquer des guides avec des qualités optiques meilleures, et cela en
exploitant les propriétés optiques extraordinaires du verre.
Avant toute utilisation de ces structures, il est nécessaire de déterminer leurs propriétés
optiques. Pour cela plusieurs techniques de caractérisation sont disponibles. Le profil d’indice
qui est l’élément clé de ces propriétés peut être déterminé par la méthode des m-lines. Cette
technique classique, comme elle parait, si elle est utilisée dans des conditions optimales peut
se révéler comme un outil de caractérisation très performant.
Ce travail s’achève par l’élaboration d’un programme qui permet la reconstruction du
profil d’indice à partir des constantes de propagation déterminées par la méthode m-lines,
ainsi que le profil du champ électromagnétique.
Ce programme a été appliqué à plusieurs guides déjà caractérisés, dont trois ont été donné
comme exemples, et a donné des résultats qui donnent preuve à son application pour caractériser de nouveaux guides.
Malgré que ce travail paraisse classique, il est primordial pour l’optique intégrée. Et malgré que les guides plans ne peuvent être utilisés en optique intégrée, mais ils présentent
l’intérêt d’être faciles à mettre en œuvre pour pouvoir étudier les phénomènes mis en jeu lors
de la formation des guides par échange ionique.
L’étude de ces structures permet, d’une part, de prévoir la qualité des guides qui vont être
réalisés ainsi que leurs différentes caractéristiques, d’autre part, cette étude permet de déduire
les ajustements à effectuer sur le processus de fabrication afin d’aboutir aux caractéristiques
convoitées.
91
Bibliographie.
Bibliographie
[1] R. Oven, M. Yin and P. A. Davis, ‘‘Characterization of planar optical waveguides formed by
copper-sodium, electric field assisted, ion exchange in glass’’, J. Phys. D : Appl. Phys. 37
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Y3Al5O12 et YAlO3 dopés terres rares pour la conversion de fréquence’’, Thèse de doctorat,
Université de Lyon 1, Juin 2006.
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issue 16, 3 aout 2006.
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Annexe 1 : 5éme Séminaire National sur le laser et ses applications - UKM Ouargla- 16 et 17 décembre 2009.
Les résultats de ce mémoire ont donné lieu à une participation au 5éme séminaire national sur le Laser
et ses applications, 16 – 17 décembre 2009, Ouargla – Algérie.
5éme Séminaire National sur le laser et ses applications - UKM Ouargla- 16 et 17 décembre 2009
pC23
ETUDE DU PROFIL D'INDICE D'UN GUIDE OPTIQUE PLAN
Saïd MEHELLOU et Ferhat REHOUMA
Département de physique, Institut des sciences et technologie, Centre Universitaire d'El-Oued
E-mail: [email protected]
Résumé : Les guides optiques, une fois fabriqués, possèdent des indices de réfraction qui sont inconnus à l’utilisateur.
Le problème est de déterminer le profil d’indice de ces guides. Plusieurs méthodes ont pour objectif la résolution de ce
problème, et cela par la déduction du profil d'indice du guide optique à partir de ses constantes de propagation de ses
différents modes avec d'autant de précision qu'il y a d'avantage de modes. L’une des méthodes les plus connues, est la
méthode des m-lines, qui est basée sur le principe de couplage par prisme pour déterminer l’indice effectif d’un mode
guidé. Une fois les indices effectifs des modes guidés sont déterminés on peut remonter au profil d’indice du guide en
utilisant la méthode W.K.B. inverse (Wenzel – Kramer – Brillouin).
Mots Clés : Guide optique plan, profil d'indice, méthode W.K.B. inverse, mode guidé.
1. Introduction
De nombreuses méthodes physicochimiques permettent d'obtenir des guides optiques plans dont
l'indice n varie continûment en fonction des profondeurs selon une loi n(x), le terme
‘Profil
d'indice’ désigne cette loi ou sa représentation graphique.
La méthode employée pour retrouver le profil d'indice est la mesure des constantes de propagation
des modes guidés, puis l'utilisation de la méthode W.K.B. inverse.
Le profil d'indice est défini de façon approchée par la connaissance de l'indice à la surface du guide
et des couples (nem, xm), où nem et xm sont respectivement l'indice effectif et la profon-deur du mode
d'ordre m. L'objectif est donc de déterminer les profondeurs xm et les valeurs de l'indice du guide en
ces points.
2. Les guides optiques plans
Dans leur forme la plus simple, les guides optiques plans sont constitués par la superposition de trois
couches diélectriques :
- Un milieu d'indice nc nommé superstrat qui est en général l'air (no = 1) ;
- Une zone guidante d'épaisseur h et d'indice ng constant ou variable ;
- Un milieu d'indice ns nommé substrat ;
Pour que l'énergie lumineuse puisse être confinée dans le guide d'indice ng, deux conditions doivent
être respectées :
- Les indices de réfraction des trois milieux constituant le guide plan doivent vérifier la condition :
n g > ns ≥ nc ;
- L'épaisseur du guide ne doit pas être inférieure à une limite critique en dessous de laquelle il n'y a
plus de guidage;
Selon la distribution de l’indice de réfraction on distingue deux types de guides optiques plans :
- Guide plan à saut d’indice;
- Guide plan à gradient d’indice;
95
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ETUDE DU PROFIL D'INDICE D'UN GUIDE OPTIQUE PLAN
MEHELLOU S. et al – Poster C23
3. Propagation guidée de la lumière
Le principe de la propagation de la lumière dans les guides optiques plans peut être traité dans une
première approche par la théorie des rayons, issue de l’optique géométrique, et dans une seconde
approche, par l’optique ondulatoire décrite par les équations de Maxwell.
3.1 Théorie des rayons
3.1.1 Guide plan à saut d'indice
Un guide est dit à saut d'indice si son indice est constant dans chaque région (fig. 1. b).
superstrat z
n0
r
r
n(x) n0
y
kx
k
n0
z
θ
sub
ng
θ
guide
h ng
ng
h
substrat
ns
θsup
ns
r
ns
β
=
k
z
x (a)
x (b)
x
Figure 1 : Guide d’onde à saut d’indice.
Figure 2 : Propagation de la lumière dans
(a) Structure. (b) Profil d’indice.
un guide d’onde à saut d’indice.
L'approche la plus simplifiée de la propagation d'un rayon lumineux dans un tel guide consiste en sa
réflexion totale ou partielle aux interfaces guide-substrat et guide-superstrat (fig. 1. a).
Le rayon est guidé lorsque son angle d'incidence θ par rapport à la normale aux interfaces est
inférieur à π ⁄ 2 et est supérieur aux angles critiques θsub et θsup définis par : (fig. 2).
θsub = arcsin (ns /ng)
(1)
θsup = arcsin (n0 /ng)
(2)
Lorsque cette condition n'est pas respectée, les modes ne sont plus guidés, on parle alors de modes à
fuite ou rayonnés. Dans le cas d'ondes planes associées aux rayons dans la zone guidante, les
différents modes sont caractérisés par leur constante de propagation :
β = k . sinθ
(3)
où k est le module du vecteur d'ondes, normal à la surface du plan d'onde de chacune des ondes. Le
r
module du vecteur k peut s'écrire :
k = 2π / λ = (2π / λo). ng = ko. ng
(4)
r
avec : ko : module du vecteur k dans le vide.
λo : longueur d'onde dans le vide.
λ : longueur d'onde dans le guide.
En introduisant la notion d'indice effectif nem d'un mode d'ordre m on aura :
nem = ng sinθ = β ⁄ ko
(5)
Cet indice doit vérifier la condition :
ng > nem > ns
et par conséquent :
ko . ng > β > ko . ns
(6)
3.1.2 Guide plan à gradient d'indice
Pour ce type de guide, l'indice de réfraction ng varie graduellement en fonction de la profondeur x,
depuis l'interface guide – superstrat jusqu'à l'indice du substrat (fig. 3. b). Le profil d'indice peut
prendre différentes formes analytiques (parabolique, exponentielle, gaussienne,…..) qui dépendent
de la méthode de fabrication et de la nature du matériau utilisé.
96
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superstrat
n(x) n0
n0
y
h
ng
ns
(b)
x
z
ng
guide
ns
substrat
x
n(x) ne n0
ng
z
xt
ns
(a)
x
x
Figure 3 : Guide d’onde à gradient d’indice.
Figure 4 : Propagation de la lumière dans
un guide d’onde à gradient d’indice.
(a) Structure. (b) Profil d’indice.
La lumière guidée est représentée par un rayon lumineux se propageant suivant un chemin courbé
périodique limité par des points tournants plus ou mois profonds dans la couche guidante (qui
dépend du profil d'indice et du mode de propagation) et éventuellement par des réflexions totales
successives à l'interface guide – superstrat (fig. 3.a et fig. 4).
3.2 Théorie électromagnétique
L'étude des guides plans à partir des équations de maxwell (théorie électromagnétique) s'avère
nécessaire et beaucoup plus rigoureuse que l'approche géométrique.
La résolution de ces équations admet pour solution une suite discrète de modes pouvant se propager
dans le guide.
3.2.1 Equation de propagation
Dans un milieu diélectrique (conductivité électrique σ = 0), non magnétique (perméabilité
r
r
magnétique µ = µ 0) isotrope et linéaire ( D = ε E ) les équations de Maxwell s'écrivent :
r
r
∇ × E = − µ 0 ∂H ∂t
(7)
r
r
∇ × H = ε 0 n 2 ∂E ∂t
(8)
où : µо : perméabilité magnétique du vide.
εо : permittivité diélectrique du vide.
La constante diélectrique relative est liée à l'indice de réfraction par la relation :
(9)
n² = εr
Le développement des équations de Maxwell en un milieu diélectrique, non magnétique d'indice n
montre que les ondes électromagnétiques susceptibles de se propager dans des guides plans sont
régies par l'équation de propagation des champs électrique et magnétique a pour forme générale :
(∂ 2ϕ ∂x 2 ) + (k 02 n 2 − β 2 ) ϕ = 0
(10)
où : ϕ = Ey dans le cas du mode TE.
ϕ = Hy dans le cas du mode TM.
TE : mode transverse électrique , il caractérise la propagation d'une onde électromagnétique dont le
r
champ électrique ne présente qu'une seule composante selon l'axe oy , E = ( 0 , Ey , 0) et le champ
r
magnétique associé est tel que : H = ( Hx , 0 , Hz ) .
r
TM : mode transverse magnétique, il correspond à la propagation d'une onde dont les champs E et
r
r
r
H sont définis par les composantes suivantes : H = (0 , Hy , 0 ) et E = ( Ex , 0 , Ez ) . En faisant
intervenir l'indice effectif nem, l'équation (10) prend la forme : 11
(
(
97
)
)
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3.2.2 Guide plan à saut d'indice
Equation de propagation.
(∂ ϕ
Répartition du champ
électromagnétique
(Mode TE).
Dans l’air x
2
)
(
[
[k
[− k
2
2
E y = E 0 exp k 0 nem − n0 . x
≤ 0:
Dans le guide : 0 ≤ x ≤ h :
Dans le substrat x
Relation de dispersion.
)
2
∂x 2 + k 02 n 2 − nem
ϕ =0
≥ h:
E y = E g cos
E y = E s exp
]
2
ng2 − nem
. x +ϕ
0
0
(11)
]
(12)
]
2
nem
− ns2 . (x + h)
2
k 0 h n g2 − nem
= ϕ g 0 + ϕ gs + mπ
(13)
(14)
(15)
 n g  2γ n 2 − n 2 
 n g  2γ n 2 − n 2 
em
0
em
s
 ϕ gs = arctg  

ϕ g 0 = arctg  
2
2
2
2
n
n
−
−
n
n
n
n
 0 


0 
g
em 

g
em


où ϕ g 0 et ϕ gs représentent respectivement les demi-avances de phase due à la réflexion totale du
rayon aux interfaces guide-superstrat et guide-substrat.
avec : γ = 0 pour les modes TE.
γ = 1 pour les modes TM.
Phase.
3.2.3 Guide plan à gradient d'indice
3.2.3.1 Equation de propagation
La présence du gradient d'indice qui caractérise ce genre de guide complique l'équation de
propagation :
2
∂ 2ϕ ∂x 2 + k 02 n 2 ( x ) − nem
ϕ =0
(16)
La résolution de cette équation est plus compliquée que dans le cas des guides plans à saut d'indice.
Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour ce but parmi lesquelles on peut citer la méthode
approchée W.K.B.
(
)
(
)
3.2.3.2 Répartition du champ électromagnétique
L'approximation W.K.B.
Un moyen de résoudre l'équation (16) consiste selon l'approximation W.K.B. à chercher des solutions
de la formes (cas des modes TE) :
E y (x ) = exp[ jk 0 s ( x )]
(17)
l'injection de Ey(x) dans la relation (20) conduit à l'écriture d'une équation différentielle du second
ordre en s(x) :
(18)
En considérant le développement limité de s(x) et en se limitant au premier ordre, s(x) peut s'écrire :
s ( x ) = s 0 ( x ) + s1 ( x ) k.0
(19)
En reportant l'expression de s(x) dans l'équation (18), nous obtenons un polynôme que nous pouvons
ordonner suivant les valeurs de k0 et k02. Afin de vérifier la relation (18) les cœfficients des termes k0
et k02 doivent être nuls. Ceci conduit au système à deux équations suivant:
(20) , (21)
Les solutions de ce système sont de la forme :
2
s 0 ( x ) = ± ∫ n 2 ( x ) − nem
dx + c1
(22)
j
2
s1 (x ) = − ln[± n 2 ( x ) − nem
] + c2
2
(23)
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D'après l'approximation W.K.B., les solutions approchées du champ Ey (cas du mode TE) peuvent
x


2
2
s'écrire sous la forme : E y ( x ) = c exp  jk 0 ∫ n 2 ( x ) − nem
(24)
dx  4 n 2 ( x ) − nem
0


Répartition du champ
électromagnétique
≤0
Pour 0
≤ x ≤ xm
Pour
Relation de dispersion
:
x ≥ xx
:
 xm
π
cos  ∫ K 1 ( x ) dx − 
4 
K1 (x )
 x
 x

A1
exp − ∫ K 2 ( x ) dx 
K 2 (x )
 xm

E y (x ) =
:
pour
n( x )
>
nem
2
K 2 ( x ) = k 0 nem
− n 2 (x )
pour
n( x )
<
nem
xm
2
k 0 ∫ n 2 (x ) − nem
dx ≈
[
ϕ g 0 = arctg (n(0) n0 )
2γ
π
4
]
2 A1
E y (x ) =
2
K 1 ( x ) = k 0 n 2 ( x ) − nem
0
Phase
[
2
E y (x ) = A0 exp k 0 nem
− n02 . x
Pour x
+ ϕ g 0 + mπ
(n
2
em
− n02
(25)
(26)
(27)
(28)
) (n (0) − n )]
2
2
em
4. Caractérisation des structures guidantes
4.1 Caractérisation de l'indice de surface
Une des méthodes les plus simples pour mesurer l'indice de réfraction est la méthode de Brewster,
qui consiste à utiliser le dioptre air-surface du matériau. Son principe consiste à faire réfléchir un
faisceau parallèle de la lumière polarisée sur la surface du matériau utilisé. Si la lumière du faisceau
incident est polarisée dans le plan d'incidence (formé par les rayons incident et réfléchi), nous
montrons en considérant le rapport des intensités de la lumière réfléchie Ir et la lumière incidente Ii
(formule de Fresnel), qu'il existe une valeur particulière iB de l’angle d'incidence pour laquelle
l'intensité lumineuse du rayon réfléchi est nulle. (fig. 5). Cette condition est définie par :
i B + rB = π ⁄ 2
(29)
nous obtenons, par suite, d'après la loi de Descartes : nsur = tg(iB)
(30)
avec : nsur indice à la surface et iB angle de Brewster.
r
E Plan d’incidence
iB
n0
nsur
rB
ng
Figure 5 : schéma de principe
de la méthode de Brewster.
4. 2 Caractérisation de l'indice du guide
Pour confiner la lumière dans un guide, plusieurs techniques de couplage peuvent être utilisées,
parmi lesquelles on peut citer le couplage par prisme. Cette méthode est couramment utilisée en
optique guidée compte tenu de sa facilité de mise en œuvre. Elle repose sur la notion de réflexion
totale frustrée (ou effet tunnel optique). Le principe, les conditions d'excitation d'un mode, et la
reconstruction du profil d'indice sont exposés ci-après.
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4.2.1 Principe
Le faisceau lumineux focalisé d'un laser polarisé verticalement et injecté dans le guide plan grâce à
un prisme de fort indice np.
La lumière étant focalisée, elle attaque le guide selon plusieurs angles d'incidence.
Pour un angle d'incidence particulier θ, la lumière peut exciter un mode dont l'indice effectif est
donné par la relation :
nem = np . sin α
(31)
Pour un large domaine d'angle θ, la lumière introduite dans le prisme présente pour la face
hypoténuse un angle d'incidence qui correspondrait à une réflexion totale en l'absence du guide (fig.
6). Par contre si ce guide est amené très prés, l'onde évanescente (crée dans le gap d'air) peut exciter
un mode pourvu que la condition de synchronisation (31) soit satisfaite (fig. 7). Celle-ci correspond
à une valeur particulière de l’angle θ.
Dans le cas contraire où la synchronisation n'est pas réalisée, la lumière ne pénètre pas dans le guide,
est réfléchie dans le prisme et ressort dans l’air de façon symétrique.
Onde incidente
Onde évanescente
np
Prisme
θ
ε
Guide
Prisme
Gap d’air
α
ng
β
r
Guide
Gap
d’air
Substrat
Substrat ns
Mode guidé
Figure 6 : Réflexion totale frustrée.
Figure 7:Mécanisme de couplage par prisme.
Nous visualisons sur un écran la lumière issue du prisme (fig. 8). La figure observée est une tache
lumineuse correspondant au faisceau laser réfléchi sur le guide, striée de lignes sombres appelées mlines, qui correspondent à la lumière guidée se propageant jusqu'à la face de sortie du guide. A cause
de la diffusion, ces lignes sombres se transforment en lignes brillantes sur un fond sombre à
l'extérieur de cette tache. En mesurant l'angle qui correspond à une ligne noire, c'est-à-dire pour un
mode excité, nous pouvons remonter à l'indice effectif de ce mode guidé, en utilisant la relation (36).
Lumière Prisme
incidente
Ecran
Ligne noire
Tache lumineuse
Guide
Ligne brillante
Substrat
Ecran
sombre
Figure 8 : Schema de principe de la méthode
m-line basée sur le couplage par prisme.
4.2.2 Condition d'excitation
Pour déterminer cette condition, il suffit d'appliquer la relation de Descartes au point où à lieu la
réflexion totale frustrée :
np. sin α = ng. sin r
(32)
La condition d'excitation établit l'égalité des composantes longitudinales du vecteur d'onde défini
dans le prisme (k0 . np. sin α) et dans le guide (k0 . ng. sin r).
(33)
k0 . np . sin α = k0 . ng . sin r = β
Si nous faisons intervenir l'indice effectif ne nous obtenons alors :
100
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np . sin α = β/k0 = ne
(34)
Pour le mode d'ordre m, l'indice effectif nem est lié à l’angle αm par La relation :
nem = np . sin αm
(35)
Il est plus commode d'exprimer l'indice effectif en fonction de l'angle d'incidence θ. Après un calcul
simple faisant intervenir ε, l'angle du prisme, nous obtenons la relation suivante :
nem = sinθcosε+(np2– sin2θ)1/2 sinε
(36)
4.2.3 Reconstruction du profil d'indice
Une fois les indices mesurés, le profil d'indice est reconstruit en utilisant la méthode W.K.B.inverse.
La relation de dispersion dans le cas d'un guide à gradient d’indice est:
xm
2
k 0 ∫ n 2 (x ) − nem
dx = ϕ g 0 +
π
+ mπ
(37)
4
Où nem et xm sont respectivement l’indice effectif et la profondeur du mode. L’objectif est donc la
détermination de xm.
Le profil d’indice est défini de façon approché par la connaissance de nsur (indice à la surface du
guide) et des couples (nem, xm). Nous transformons cette relation de dispersion au moyen des
hypothèses suivantes :
- L’interface air-guide est assimilé à une paroi parfaitement réfléchissante donc : ϕ g 0 = π 2
- On suppose que n(x) est linéaire entre deux points tournants consécutifs :
0
n( x ) = n m + [(n m −1 − n m ) ( x m − x m −1 )] ( x m − x )
-
On fait alors l’approximation suivante :
n 2 ( x ) − n m2 ≈ (n( x ) − nm ) [(n m−1 + 3n m ) 2]
n( x ) + n m ≈ [(n m −1 + n m ) 2] + n m
L’équation (37) s’écrit alors :
xm
∫
pour
xm-1 < x < xm
(38)
pour : xm-1 < x < xm
donc n( x ) ≈ (n m −1 + n m ) 2
2
n 2 ( x ) − nem
dx = [(4m + 3) 8] . λ0
(39)
m = 0,1,2,3,……
(40)
0
Le mode fondamentale qui correspond à m = 0 qui a un indice effectif n1 permet d’écrire n(x) entre x
= 0 et x = x1 comme :
n( x ) = n1 + [(n sur − n1 ) x1 ] ( x1 − x )
(41)
où : nsur = n(0), l’indice à la surface.
Quand on remplace entre 0 et x1, n( x ) + n1 par : n1 + [(n1 + n sur ) 2] l’équation (40) donne :
x1 =
9 λ0 2
(42)
16 n sur − n1 n sur + 3n1
Et comme n(x) est supposé linéaire entre deux points tournants consécutifs on peut trouver la
3
1
 (4m + 3) λ0

formule de récurrence : x m +1 = x m +
− S
(43)

8
2 nm + 3nm +1 nm − nm+1 

où :
S=
x − x k −1
2 m n k −1 + n k
+ n m +1 k
∑
3 k =1
2
n k −1 − n k
101
[
3
nk −1 − n m+1 − 3 n k − n m+1
]
Annexe 1 : 5éme Séminaire National sur le laser et ses applications - UKM Ouargla- 16 et 17 décembre 2009.
ETUDE DU PROFIL D'INDICE D'UN GUIDE OPTIQUE PLAN
MEHELLOU S. et al – Poster C23
4.2.3.1 Détermination du tracé du profil d’indice
Tableau 1: Paramètres caractéristiques d’un
guide d’onde plan formé par échange d’ions
(Ag+/Na+) dans un verre SODA-LIME, avec une
dilution molaire de 20% du nitrate d’argent
dans le nitrate de sodium. (D’après [10]).
ε = 60˚, np =2.4411, iB = 57.2, nsur = 1.55
m
0
1
2
3
- 59.95
- 60.90
- 61.80
- 62.65
nem
1.5431
1.5363
1.5300
1.5242
nm
1.5465
1.5397
1.5332
1.5271
Indice de réfraction n(x)
θ
Profil d'indice
1.550
xm
2.4443
3.7065
4.8276
5.8310
1.545
1.540
1.535
1.530
1.525
1.520
0
2
4
6
8
Profondeur x en (micron)
Figure 9 : Profil d’indice d’un guide d’onde plan
formé par échange d’ions (Ag+/Na+) dans un verre
SODA-LIME, avec une dilution molaire de 20% du
nitrate d’argent dans le nitrate de sodium. Profil
d’indice de forme Gaussienne (d’après [10]).
4.2.4 Reconstruction du profil du champ électromagnétique
Pour reconstruire le profil du champ électromagnétique, il existe plusieurs méthodes, parmi
les plus connues, nous pouvons citer les méthodes Runge Kutta (RK), W.K.B. inverse. La
première est relativement simple à exploiter et fournit le tracé en tout point du guide, en
revanche, la méthode W.K.B.inverse ne s’applique pas à la région où l’indice du milieu est
égal à l’indice du mode étudié. C’est pourquoi par la suite, nous utiliserons la méthode RK.
4.2.4.1 Application de la méthode RK au tracé du champ électromagnétique
[
= −h k [n ( x
= −h k [n ( x
= − h k [n ( x
]
2
m0 = −h k 02 n 2 ( x n ) − nem
ϕn
m1
m2
m3
2
0
2
2
0
2
2
0
2
n
n
n
]
](ϕ
2
+ h 2 ) − nem
(ϕ n + k 0 2)
2
+ h 2 ) − nem
]
n
+ k1 2 )
2
+ h ) − nem
(ϕ n + k 2 )
k 0 = h (dϕ dx )n
(44)
k1 = h [(dϕ dx )n + m0 2] (45)
k 2 = h [(dϕ dx )n + m1 2] (46)
k 3 = h [(dϕ dx )n + m2 ]
(47)
Les quantités m0, …... m3, k0, ……, k3 se calculent à partir de la valeur de l’indice effectif nem
(supposée connue) et de la valeur du champ En en début de pas c'est-à-dire en xn.
Les calculs du champ et de sa dérivée se fond grâce aux formules suivantes :
(dϕ
dx )n +1 = (dϕ dx )n + (1 6 )[m0 + 2m1 + 2m2 + m3 ]
ϕ n +1 = ϕ n + h (dϕ dx )n + (h 6)[m0 + m1 + m2 ]
(48)
Pour effectuer ces calculs, il est nécessaire de fixer des conditions initiales:
2
ϕ x =0 = 1 et (dϕ dx ) x =0 = (2π λ0 ) nem
− n02
4.2.4.2 Détermination du tracé du profil du champ électromagnétique (modes TE)
102
(49)
Annexe 1 : 5éme Séminaire National sur le laser et ses applications - UKM Ouargla- 16 et 17 décembre 2009.
5éme Séminaire National sur le laser et ses applications - UKM Ouargla- 16 et 17 décembre 2009
Figure 10 : Premiers modes d’un guide d’onde plan formé par échange
d’ions (Ag+ / Na+) dans un verre SODA-LIME (d’après [10]).
Conclusion
Elaborer des guides optiques sans déterminer leurs profils d’indices est un travail inachevé et
sans intérêt, c’est sur cette idée qu’a été fondé ce travail.
En premier lieu une étude a été faite des guides plans à saut et à gradient d’indice par la
théorie des rayons et la théorie électromagnétique, cette dernière s’avère plus rigoureuse que
les autres approches. Apres avoir mis en évidence les modes propres susceptibles de se
propager dans une telle structure, le travail a été étendu à la caractérisation de ces guides en
exposant une des méthodes les plus connues, qu’est la méthode des m-lines, basée sur le
couplage par prisme pour déterminer l’indice effectif d’un mode guidé, jusqu’à remonter au
profil d’indice du guide en utilisant la méthode W.K.B. inverse. Les résultats obtenus sont
conformes à ceux donnés dans [10]. Le profil d’indice représente la boite noire du guide
optique, dans l’espérance de l’exploiter au maximum, ce travail doit être poursuivi.
Références
[1] F. Rehouma, ‘‘Etude de l’échange d’ions à l’argent dans un verre aluminoborosilicate ’’,
Thèse de doctorat, Institut national polytechnique de Grenoble, Septembre 1994.
[2] G. Lifante, “Integrated photonics: Fundamentals”, Universidad Autonoma de Madrid,
Wiley, 2003.
[3] E. Giacobino, ‘‘Propagation guidée de la lumière’’, Technique de l’ingénieur, Traité
sciences fondamentales.
[4] K. S. Chiang, ‘‘Construction of refractive – index profiles of planar dielectric waveguides
from the distribution of effective indexes’’, J. of Lightwave Technology, Vol. LT-3, N° 2,
April 1985.
[5] R. Srivastava, C.K. Kao, R.V. Ramaswamy, ‘‘W.K.B. Analysis of planar surfac
waveguides with truncated index profiles’’, J. of Lightwave Technology, Vol. LT-5, N°
11, November 1987.
[6] K. S. Chiang, C. L. Wong, H. P. Chan, Y. T. Chow, ‘‘Refractive-index profiling of gradedindex planar waveguides from effective indexes measured for both mode
types and at
different wavelengths’’, J. of Light wave Technology, Vol. 14, N° 5, May 1996.
[7] K. S. Chiang, ‘‘Simplified universal
dispersion curves for graded-index planar
waveguides based on the WKB method’’, J. of Light wave Technology, Vol. 13, N° 2,
February 1995.
[8] D. Marcuse, ‘‘TE modes of graded-index slab waveguides’’, J. of Quantum electronics,
Vol. QE-9, N° 10, October 1973.
[9] A. K. Ghatak, E. Khular, K. Thyagarajan, ‘‘Modes in optical waveguides formed by
Silver-Sodium ion exchange’’, J. of Quantum electronics, Vol. QE-14, N° 6, June 1978.
[10] G.C. Righini, S. Pelli, R. Saracini, G. Battaglin, ‘‘A. Scaglione, Analysis of the refractive
index profile in ion-exchanged waveguides’’, SPIE Vol. 1513 Glasses for Optoelectronics
II (1991).
103
Chapitre : 05 Détermination du tracé des profils du guide optique plan à gradient d’indice.
% INTRODUCTION DES DONNEES :
% * L'angle d'incidence de Brewster (ib).
% * L'indice du prisme (np).
% * L'angle au pied du prisme (Ap).
% * L'angle synchrone (teta).
% * Le nombre de modes (m).
clear all; clc;
ib=input('donner la valeur de ib = ');
np=input('donner la valeur de np = ');
Ap=input('donner la valeur de Ap = ');
m =input('donner la valeur de m = ');
for i=1:m;
teta(i)=input('donner la valeur de teta = ');
end
% CALCUL DES PARAMETRES CARACTERISTIQUES DU GUIDE :
% * indice à la surface (ns).
% * indice effectif (Nm).
% * indice de refraction (n).
Nm=0 ; Y=0 ; w=0 ; Z=0 ; M=0 ; I=0 ; C=0 ; n=0 ;
[M]=zeros(1,m+1);
ns=tan(ib*3.14/180);
M(1)=ns;
w(1)=ns;
for i=1:m;
Nm(i)=sin(Ap*3.14/180)*sqrt((np^2)(sin(teta(i)*3.14/180))^2)+(cos(Ap*3.14/180))*sin(teta(i)*3.14/180);
Y(i)=Nm(i);
if (i==1)
M(i+1)=Y(i);
w(i+1)=(M(i+1)+M(i))/2;
Z(i)=1/((sqrt(w(i)-Y(i)))*sqrt(3*Y(i)+w(i)));
else
Z(i)=(3/sqrt(2))*1/((sqrt(Y(i-1)-Y(i)))*(sqrt(3*Y(i)+Y(i-1))));
M(i+1)=Y(i);
w(i+1)=(M(i+1)+M(i))/2 ;
end
n(i)=w(i);
Nm(i)=Y(i);
C(i)=Z(i);
I(i)=M(i);
end
104
Chapitre : 05 Détermination du tracé des profils du guide optique plan à gradient d’indice.
C(i)=Z(i);
I(i+1)=M(i+1);
% CALCUL DE LA PROFONDEUR DU MODE X :
S=0 ; X=0 ; K=0 ; T=0 ; A=0 ; B=0 ; lemda0=.6328 ;
[D]=zeros(m,m-1);
for i=1:m;
for j=1:i-1;
if(i>=j+1);
D(i,j)=(2/3)*(sqrt((((I(j)+I(j+1))/2)+I(i+1))))*(1/(I(j)-I(j+1))*(((I(j)-I(i+1))^(3/2))((I(j+1)-I(i+1))^(3/2))));
S(i,j)=D(i,j);
end
S(i,j)=D(i,j);
end
end
i=1;
K(i)=0;
K(i+1)=(9*sqrt(2)*lemda0*C(i))/16;
T(i)=K(i+1)-K(i);
X(i+1)=K(i+1);
for i=2:m;
for j=1:i-1;
A(j)=T(j)*S(i,j);
end
B(j)=sum(A);
K(i+1)=K(i)+ C(i)*((((4*(i-1)+3)*lemda0)/8)- B(j));
T(i)=K(i+1)-K(i);
X(i+1)=K(i+1);
end
% AFFICHAGE DES RESULTATS :
disp('indice à la surface est :')
ns=w(1)
disp('indice effectif est :')
Nm(i)=Y(i)
disp('indice de refraction est :')
n(i+1)=w(i+1)
disp('la profondeur est : ')
X(i)=K(i)
% RESOLUTION DE L'EQUATION DE PROPAGATION (POUR LES MODES TE) :
% Optimisation des paramètres Ci.
% X0 Valeurs initiales des Ci.
X0 =[0.0015, 0.4750 , 0.1, 0.0955, .5000];
options = optimset('MaxFunEvals',3000,'TolFun',1e-6,'TolX',1e-6,'MaxIter',3000);
X1=lsqnonlin('nfit',X0,[n],[X],options);
105
% la fonction d'optimisation lsqnonlin appelle la foction llsfit (là où se trouve l'expression
de lls).
% et retourne les paramètres Ci dans le vecteur X1.
Par=X1 ;
% le vecteur sera affiché après le calcul.
c1=Par(1);
c2=Par(2);
c3=Par(3);
c4=Par(4);
c5=Par(5);
h=0.004;
E(1)=1;
x(1)=0;
% pas d'intégration.
% initialisation E0.
% initialisation x0.
K0=6.28/.6328;
u(1)= K0*sqrt((Nm(1))^2-1);
j=1;
while j<=m;
i=1;
% initialisation compteur itérations.
while x<=X(j+1); % intervalle sur lequel on résout l'équation de propagation.
% les points avant les op * / et ^ ==> opération point à point (non matricielle).
n1=ns-c1*(c3*real(x(i)./c2)+c4*real((x(i)./c2).^2)+c5);
n2=ns-c1*(c3*real((x(i)+h/2)./c2)+c4*real(((x(i)+h/2)./c2).^2)+c5);
n3=ns-c1*(c3*real((x(i)+h)./c2)+c4*real(((x(i)+h)./c2).^2)+c5);
% determination coefficients RK.
m1=-h*(K0^2)*((n1^2)-(Nm(j).^2))*E(i);
k1=h*u(i);
m2=-h*(K0^2)*((n2^2)-(Nm(j).^2))*(E(i)+k1/2);
k2=h*(u(i)+m1/2);
m3=-h*(K0^2)*((n2^2)-(Nm(j).^2))*(E(i)+k2/2);
k3=h*(u(i)+m2/2);
m4=-h*(K0^2)*((n3^2)-(Nm(j).^2))*(E(i)+k3);
k4=h*(u(i)+m3);
u(i+1)=u(i)+(1/6)*(m1+2*m2+2*m3+m4); % détermination de u au pas i+1
E(i+1)=E(i)+h*u(i)+(h/6)*(m1+m2+m3);
% détermination de E au pas i+1
x(i+1)=i*h;
i=i+1;
end
% TRACE DU PROFIL DU CHAMP ELECTRIQUE
plot(x,E);
xlabel('Profondeur (micron)');
ylabel('Champ electrique');
pause;
j=j+1;
end
106
Annexe 2 : programme simulant la cinétique de diffusion
%Programme simulant la diffusion ionique.
% Introduction de données.
clear all ; clc ;
D =input('Donner la valeur du coeficient de diffusion D=');
Eext =input('Donner la valeur du champ elect. ext. Eext=');
Alpha=input('Donner la valeur de Alpha=');
while((Alpha <0 )| (Alpha >=1));
disp('la valeur de Alpha est inexacte , donner la valeur de alpha comprise entre 0 et 1 ');
Alpha=input('Donner la valeur exacte de Alpha=');
end
X =input('Donner la valeur de la profondeur X=');
t =input('Donner la valeur du temps de diffusion t=');
disp('voulez vous utilisez la temperture ou bien la mobilité')
disp('si vous voulez utilisez la mobilité , "jj" doit prendre la valeur " 1 " ')
disp('si vous voulez utilisez la Température , "jj" doit prendre une valeur " autre que 1 " ')
j0=input('donner une valeur à jj , jj =');
if(jj==1);
M=input('Donner la valeur de la Mobilité M =');
disp('la valeur de la température est : T = ');
T=(11600*D/M)-273
else
T=input('Donner la valeur de la Température T =');
disp('la valeur de la Mobilité est : M = ');
M=11600*D/(T+273)
end
m=input('Donner la valeur de m=');
n=input('Donner la valeur de n=');
deltaX=X/m;
deltat=t/n;
L=deltat/(deltaX.^2);
while(L >(.5*(1-Alpha))/D)
disp('les valeurs de m et n ne sont pas compatibles , donner d autres valeurs de m et n');
m=input('Donner la valeur de m=');
n=input('Donner la valeur de n=');
end
disp('la valeur du pas de la profondeur est : ');
deltaX=X/m
disp('la valeur du pas temporel est : ');
deltat=t/n
for j=1:n;
CC(1,j)=1.;
XX(1,j)=0.;
t=deltat*j;
tt(1,j)=t;
for i=2:m+1;
C(1,j)=1;
C(i,1)=0;
X=deltaX*i;
107
XX(i,1)=X;
A=D/(1-(Alpha*C(i,j)));
B=-Eext*M;
Z=A*Alpha/M;
S=M/(1-(Alpha*C(i,j)));
GradC=(C(i+1,j)-C(i-1,j))/(2*deltaX);
Eint=-Z*GradC;
C(i,j+1)==(L*(A-(A*B*deltaX/2)))*C(i-1,j)+(1(2*L*A))*C(i,j)+L*(A+(A*B*deltaX/2))*C(i+1,j)-(deltat*S*Eint*GradC);
CC(i,j+1)=C(i,j+1)
end
end
108
Résumé.
Résumé
L’histoire de l’optique intégrée ne peut être dissociée de l’optique guidée. Cette dernière permet d’introduire les concepts physiques nécessaires à la compréhension de l’optique intégrée.
Ces aspects sont à la base des développements prévus des guides intégrés.
Le guide optique est un des fondements du développement de l’optique intégrée dans divers
domaines. De nombreuses méthodes physicochimiques permettent d'obtenir ces structures
optiques sur différents substrats.
La technique d’échange d’ions est l’une de ces méthodes et le verre est l’un de ces substrats,
ces deux candidats sont des éléments majeurs de l’optique intégrée.
Les guides optiques, une fois réalisés, possèdent des indices inconnus et qui varient continûment en fonction des profondeurs selon une loi, le terme : profil d'indice, désigne cette loi ou
sa représentation graphique.
Plusieurs méthodes ont pour objectif la déduction du profil d'indice du guide optique à partir
des constantes de propagation de ses différents modes avec d'autant de précision qu'il y a
d'avantage de modes. L’une des méthodes les plus connues, est la méthode des m-lines, qui
est basée sur le principe de couplage par prisme pour déterminer l’indice effectif d’un mode
guidé. Une fois les indices effectifs des modes guidés sont déterminés on peut remonter au
profil d’indice du guide en utilisant la méthode W.K.B. inverse (Wenzel-Kramers-Brillouin).
Le programme élaboré, appliqué à des guides déjà caractérisé a donné des résultats similaires,
ce qui donne preuve à son utilisation pour caractériser de nouveaux guides.
Mots Clés : Optique guidée, Optique intégrée, Guide optique plan, mode guidé, profil d'indice,
méthode W.K.B. inverse.
Abstract
The history of the integrated optics can’t be dissociated from the guided optics. This last one
let introducing the physical concepts needed for the comprehension of the integrated optics.
These aspects are the basis of the expected development of the integrated guides. The optical
guide is one of the fondations of development of the integrated optics in different fields.
Many physicochemical methods let holding these optical structures on different substratums.
The technical of exchange of ions is one of these methods and the glass is one of the substratums, these two candidates which are the major elements of the integrated optics. The optical
guides once realized will posses unknown indexes and which vary continuously in function of
depth according to a low which the term : index profile will design this low or its graphic
representation.
109
Résumé.
Many methods have as objective the deduction of index profile of the optical guide from the
propagation constants of its different modes with more precision if there are many modes.
One of these methods is the most known is the method of m-lines which is based on the principle of coupling by prism to determine the effective index of guided mode. Once the effective indexes of guided modes are determined we can reach to the index profile of guide by
using the inverse WKB method (Wenzel-Kramers-Brillouin).
The elaborated program applied on guides which have already marked has given similar results. Which give proof to its use to characterize new guides.
Key words : guided optics, integrated optics, optical planar guide, guided mode, index profile,
Inverse WKB method.
110