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X Physique 2 PC 2007 — Énoncé 1/7
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE
ÉCOLESUPÉRIEUREDEPHYSIQUE ETDECHIMIEINDUSTRIELLES
CONCOURSD’ADMISSION2007 FILIÈREPC
DEUXIÈMECOMPOSITIONDEPHYSIQUE
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesestautorisée pourcette épreuve.
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Équilibresthermodynamiquesen situationsinhomogènes
Dansles systèmesinfinisetenl’absence deforcesextérieures, l’équilibrethermodynamique
correspond,auxfluctuationsprès,àdesphasesuniformes.Iln’envapasdemêmepourdes
systèmesprésentantdesfrontièresou pourdes systèmes soumisàdesforcesextérieures.
Dansdetels systèmes, l’équilibrethermodynamiquerésultedelacompensationexactede
diverscourantsantagonistesdeparticules.Cettesituationestexaminée danslapartieIoù
l’onétudiel’équilibredemacromoléculesensolution dansun champ depesanteur.Lapartie
II estconsacrée àune étudesimplifiée d’unestructureMétal-Oxyde-Semiconducteuret,plus
particulièrement,àladistribution d’équilibredesélectronsetdestrousen présence d’un champ
électrostatique,auvoisinagedel’interface oxyde-semiconducteur.
Charge élémentaire:e=1,6×10−19 C
ConstantedePlanck:h=6,6×10−34 J·s
ConstantedeBoltzmann :kB=1,38 ×10−23 J·K−1
Constantedesgazparfaits:R=8,31 J.K−1·mol−1
Permittivitédu vide:ε0=(µ0c2)−1=8,85 ×10−12 F·m−1
I.Équilibrethermodynamique etdiffusion
Cettepartieviseàmontrerqueladiffusion desparticulesestune composante essentiellede
l’équilibrethermodynamique.
I.1.Onconsidèreun fluidegazeuxdansun champ depesanteuruniforme~g=−g~ezoù~ezestle
vecteurunitairedel’axezorientésuivantlaverticaleascendante.Àl’équilibrethermodynamique,
satempératureTestuniforme etsamassevolumiqueρnedépend quedel’altitudez.Ilsera
considéré commeparfait.
a)Écrirel’équilibremécaniqued’unetranched’épaisseurdzetdesurface Scomprise entre
lesaltitudeszetz+dz.
b)En déduirequelapression du gazP(z)vérifielaloi : P(z)
P(z0)=expÇ−Mg(z−z0) RTåoù
Mestlamassemolairedu fluide etRlaconstantedesgazparfaits.
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c)Lefluide estconstituédeparticulesindépendantesdemassem.Déduiredelarelation
précédentequeladensitévolumique(nombreparunitédevolume)departiculesdu fluiden(z)
àl’altitudezvérifie:
n(z)=n(0)expÅ−mgz
kBTã
oùkB=R/NAestlaconstantedeBoltzmann,NAétantlenombred’Avogadro.
d)En utilisantl’expression du potentielchimiqueµ(P,T)d’un gazparfait,montrerquela
relationcaractérisantl’équilibredansle champ depesanteur,àlatempératureT,setraduitpar
lefaitquelaquantitéµ(P,T)+Mgzpossèdelamêmevaleurentoutpointdu fluide.
I.2.Soitunesolution diluée demacromoléculesdansun solvant,solutionconsidérée comme
idéale.Lesmacromolécules sontsupposéesdeformesphérique,derayona,demassem;soitn(z)
leurdensitévolumiquesupposée nedépendrequedel’altitudez.Aucoursdesonmouvement
danslesolvant,unemacromolécule estsoumiseàdiverstypesdeforces:son poidsetlesforces
d’interactionavec lesmoléculesdu solvant (lesmacromolécules sontsuffisammentdiluéespour
quel’on puissenégligerleursinteractionsmutuelles).Onadmettraquelesinnombrableschocs
entreunemacromolécule enmouvementetlesmoléculesdu solvantdonnentlieu,outrelapoussée
d’Archimède,àuneforce defrottementvisqueuxs’exerçantsurlamacromolécule:~ F=−α~v.
On désigneraparm′lamassedefluidepossédantlemêmevolumequ’unemacromolécule.
a)Montrerqu’il enrésultepourlesmacromoléculesunevitessede chutelimite~vd.
b)En déduireladensitéde courantdemacromolécules~ jgassociéauxforcesdepesanteuret
aufrottementvisqueux(courantdit« dedérive»).
I.3.Àl’inhomogénéitéspatialedelaconcentrationn(z)demacromoléculesestassociéun
courantdediffusion;soitDle coefficientcorrespondant.Àl’équilibrethermodynamique, il est
nécessairequ’il n’yaitglobalementaucun courantdemacromolécules.
Écrirel’équation différentiellequedoitvérifiern(z)etlarésoudre.
I.4.a)Commentfaut-il modifierlerésultatdelaquestion1.cpourprendre encomptela
poussée d’Archimède?
b)Paridentificationavec laloin(z)déterminée en3,obtenirlarelationentrelescoefficients
Detα.
I.5.Pourunesphèrederayonasedéplaçantdansun liquidedeviscositéη, le coefficientde
frottementvisqueuxαestdonnépar:α=6πηa.
Lesfiguresci-dessousprésententenéchellelog −log lerésultatdesmesuresdu coefficient
dediffusionDpourdiversesmacromolécules,porté enfonction deleur rayon d’unepart et
deleurpoidsmoléculaired’autrepart.Lamodélisation précédenterend-ellebiencomptedes
résultatsexpérimentaux?Onadopteralamêmemassevolumiquepour touteslesmacromolécules
organiques.
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Figure1.Coefficientdediffusiondediversesmacromolécules
I.6.Dansunesolutionidéale, lepotentielchimiquemolaired’un solutéStrèsdiluéde concen-
trationCSestdelaformeµS(T)=µ0
S(T)+RTln(CS/C0 S),oùµ0 S(T)estlepotentielàla
concentration deréférence C0
S.
Montrerque cette expressionestcohérenteavec la généralisation delapropriétéobtenue en1.d.
II.StructureMétal-Oxyde-Semiconducteur
UnestructureMOS(Métal-Oxyde-Semiconducteur) estcomposée d’un substratsemiconduc-
teur,parexempledu silicium.Dansun semiconduceur, laconductionélectrique estassurée par
desélectronsde charge(−e),avec e>0,etpardes«trous» de charge(+e).Dansce quisuivra,
lesdensitésvolumiquesd’électronsetdetrous,notéesrespectivementnetp,sont reliéesparla
relation:
np=n2
iavec ni=1,0×1016 m−3
oùniestune constante caractéristiquedu silicium(densitéintrinsèque).
Àlasurface du silicium,onfaitcroîtreparoxydation del’oxydedesilicium(silice SiO2).
L’épaisseurddelacouched’oxyde estdel’ordredequelquesnanomètres.Onsupposequel’oxyde
estun isolantparfait; l’oxyde estdoncunebarrièreimpénétrablepourlesélectronsetlestrous.
Enfin,on déposesurl’oxydeune couchemétallique, la«grille»G.
Danstoutce quisuivra,onassimileral’interface Si-SiO2au planxOyetl’onorienteral’axe
z′OzdanslesensSiO2-Si(voirfigure2).L’originedespotentielsélectrostatiquesφ(z)seraprise
danslesilicium, loin del’interface,enB,soitφ(B)=0.Lesdifférencesdepotentielde contact
desélectrodesmétalliquesavec lesdiversmatériauxserontignorées;ellesn’introduisentquedes
décalagesconstantsquel’on prendranuls.On noteVGB=φ(G)=Vox +φ(0);pourle champ
électrique,on pose~ E(z)=E(z)~ez.
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Figure2.StructureMétal-Oxyde-Semiconducteur
Soientεox etεSilespermittivitésdiélectriquesrespectivesdel’oxyde etdu silicium.Pourles
applicationsnumériques,on prendra:εox/ε0=4etεSi/ε0=12.
Lesiliciumestdopéuniformément:desatomes«accepteurs»introduitslorsdesonélabo-
ration,dedensitévolumiqueNa,piègentlesélectrons,constituantalorsdescharges(−e)fixes
demêmedensitéNaetcréantautantdetrousmobiles(+e).
II.1.Distribution dechargesdanslesiliciumloin del’oxyde.
II.1.1OnsupposeNa=1,0×1023 m−3.Écrirelaneutralité électriqueauvoisinagedu point
B.En déduirequep(B)≃Na.
II.1.2En déduireladensitéd’électronsn(B); lacompareràNa.Quelle conclusionentirez-
vous?
II.2.Distribution dechargesdanslesiliciumpourVGB<0.Accumulation.
Onseplace àl’équilibrethermodynamique etélectrostatique,etl’onsupposequel’ona
polariséla grillenégativementpar rapport ausiliciumàl’aided’un circuitextérieur.
II.2.1Expliquerpourquoideschargesmobiles+e(lestrous)sontattiréesauvoisinagede
l’interface Si-SiO2.
II.2.2Onsupposele champélectriqueuniformedansl’oxydeSiO2sousla grille en négligeant
leseffetsdebord.Donnerl’expressionCox delacapacitéparunitédesurface delacouched’oxyde
enfonction dedetεox.
II.2.3Unemodélisationsimple consisteàconsidérerqueleschargesdéplacéesformentune
couchesurfaciqueàl’interface z=0etquelesiliciumresteneutrepourz>0.Quelle estalors
lacharge électriqueQGportée parla grille enfonction deVox puisdeVGB?
Onabandonne cettemodélisation poureffectuerune étudeplusfine.Soitp(z)ladensité
volumiquedetrousetφ(z)lepotentielélectrostatiquedanslesilicium.
II.2.4Exprimerladensitévolumiquede chargesρ(z)enfonction dep(z),Naete.
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II.2.5Ladensitédetrousestdonnée par:
p(z)=p(B)expÇ−eφ(z)
kBTå=NaexpÇ−φ(z) VTåavec VT=kBT e.
Àlalumièredel’étude effectuée en partieI,commentercette expression.Préciserlesignealgé-
briquedeφ(z).
Dansun milieumatériel, l’équation dePoissonà 1 dimension,reliantpotentieletdensitéde
charges,s’écrit:
φ′′(z)=−ρ(z)/ε
oùεdésignelapermittivitédiélectriquedu matériau.
II.2.6Écrirel’équation différentiellesatisfaiteparφ(z).Bétantsuffisammentloin del’inter-
face,onadmettraqueφ′(B)=0.Compte-tenu desconditionsauxlimites,montrerque
φ′2=2eNaVT
εSiïexpÅ−φ VTã+φ VT
−1ò.
II.2.7Relierlachargetotaleparunitédesurface QS,accumulée danslesiliciumauvoisinage
del’interface,àφ′(0).On poseu=−φ(0)
VT
etL2=εSiVT
eNa
;exprimeralorsQSenfonction deεSi,
VT,Letu.Quelle estlachargetotaleQGsurl’électrodeG?
II.2.8Onsuppose|φ(0)|≪VT;préciseralorslelienentreQGetφ(0);en déduirelacapacité
apparenteCSi,parunitédesurface,delapartiesiliciumdelastructureMOS.Quelle estalors
lacapacité équivalentedel’ensembledelastructureMOS.
II.2.9Application numérique.On donneVT=26 mV,Na=1,0×1023 m−3,d=40 nm.
CalculerCox,LetCSi.CalculerVGBpouru=1,puis3et5.
II.3.Distribution dechargesdanslesiliciumpourVGB>0.Déplétion.
La grille estmaintenantpolarisée positivement, leschargesmobiles(trous)sontalorsrepous-
séesparle champetéloignéesdel’interface.Dansce quisuitonsupposequ’auvoisinagede
l’interface, il n’yaplusaucune chargemobilejusqu’àlacotez=zD; il n’yrestequelescharges
négativesfixes(−e)(cellesquiontdonnénaissance auxtrousmobiles).Au-delà,pourz>zD,
lesiliciumestneutre.
II.3.1Montrerquelepotentielélectrostatiqueφ(z)danslesiliciumestdonnépar:
φ(z)=eNa
2εSi
(z−zD)2si06z6zDetφ(z)=0sizD6z.
II.3.2Exprimerenfonction dezDlachargetotaleparunitédesurface danslesilicium;en
déduirelachargeQportée parla grilleGpuisladdp Voxenfonction dezD.
II.3.3ExprimeralorsVGBenfonction dezD.En déduirequezDestdonnépar:
zD=dεSi
εox 1+VGB V0
−1!
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