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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2012 — Énoncé 1/10
ÉCOLEPOLYTECHNIQUE
CONCOURSD’ADMISSION2012 FILIÈREMP
COMPOSITIONDEPHYSIQUE ETSCIENCESDEL’INGÉNIEUR–(X)
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
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Pompeàchaleur
Lapompeàchaleurestun dispositifqui, enmode"chauffage"puisel’énergiethermiquedans
l’air,danslesolou dansl’eau desnappesphréatiques,pourlatransférerverslelocalàréchauffer.
Elle estconstituée d’un circuitfermédanslequelcirculeun fluide caloporteuràl’étatliquide,
gazeuxou biphaséselonlesélémentsqu’il traverse.Lacirculationsefaitenrégimepermanent;
on négligelesvariationsd’énergiescinétique etdepesanteur.
Lestroispartiesdel’épreuvesontindépendanteset traitentsuccessivementdelathermo-
dynamiquedelapompeàchaleur,d’une étudemécaniquedu compresseuretdelarégulation
thermiquedel’installation.
1Thermodynamiquedelapompeàchaleur
1.1DiagrammedeMollier
LediagrammedeMollier (figure1) représentelelogarithmedelapressionpenfonction de
l’enthalpiemassiquehdu fluide caloporteuretpermetainsidereprésenterl’évolution del’état
thermodynamiquedu fluideaucoursdu cycledelapompeàchaleur.
1.Montrerqu’àpressionconstante, latempératureTestunefonctioncroissantedeh.Est-elle
strictementcroissante?
2.Commentlit-onsurce diagramme ce quisenommaitautrefoislachaleurlatentemassique
de vaporisationàlapressionp?
3.CettequestionconcernelescourbesisothermesdanslediagrammedeMollier.
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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2012 — Énoncé 2/10
Fig.1:DiagrammedeMolliersimplifié.
a)Quelle estapriori leurallurepourlaphaseliquide,supposée incompressible et
indilatable?
b)Quelle estapriori leurallurepourlaphasegazeuse,modélisée commeun gazparfait?
c)Quelle estapriori leuralluredanslazonede changementd’état?
4.Rappelerl’expression deladifférentielledel’enthalpiemassiqueh,considérée comme
fonction del’entropiemassiquesetdelapressionp.On noteravlevolumemassique.
5.Montrerque,danslediagrammedeMollier, lapentedescourbesisentropiquesestpositive.
6.Montrerque,surune courbeisenthalpiquedu diagrammedeMollier, l’entropie estune
fonction décroissantedelapression.
7.On notehAethBlesenthalpiesmassiquesdu fluideauxpointsAetBdu circuit.Lefluide
reçoitd’unepart letravail massiqueutile,fourniparle compresseur,w(etquine comprend donc
pasletravail desforcesdepression nécessairepourfaire entreretsortirlefluidedu volumede
contrôle),d’autrepart l’énergiethermiqueq.MontrerquehB−hA=w+q.
1.2Cycledelapompeàchaleur
Le cycledelapompeàchaleurse composedequatre étapes(figure2),en dehorsdesquelles
leséchangesthermiquesoumécaniques sontsupposésnuls:
–Compression: legazsubitune compressionadiabiatique et réversiblequi l’amènedel’état
1(p1,T1)àl’état2(p2,T2).On notewletravail massiquereçu parlefluide.
–Condensation: legazseliquéfietotalementàpressionconstantep2jusqu’àlatempérature
T3.Ilcèdedel’énergieàlasource chaude,etl’on noteq23 <0l’énergiemassique échangée.
–Détente: lefluidetraverseun tuyauindéformable etnepermettantpasleséchangesther-
miques.Lapression du fluideredescend jusqu’àp1etsatempératurevautalorsT4.
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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2012 — Énoncé 3/10
Fig.2:Cyclefrigorifiqued’unepompeàchaleur;lesflèchesépaissesindiquentlesensdestrans-
fertsénergétiques.
–Évaporation: leliquides’évaporetotalementàpressionconstantep1jusqu’àlatempérature
T1.Ilreçoitl’énergiemassiqueq41 >0delasource froide.
8.Montrerquelaphasededétente estisenthalpique.
9.Représentersurun diagrammedeMollier(lnp,h)lesquatre étapesdu cycle,ainsiqueles
quantitésq23,q41 etw.
10.Quelle est relationliantlesquantitésq23,q41 etw?Représentercesquantités surle
schémadelaquestion9.
11.Justifierladéfinition del’efficacitédelapompeàchaleurη=−q23/wetmontrerque
η>1.
12.LeDocumentRéponsereprésentelediagrammedeMollierd’un fluide caloporteurcou-
rant.Danslaperspectivedevosréponsesàlaquestion3, laphaseliquideyapparaît-elleincom-
pressible etindilatable?Laphasegazeuseyapparaît-elle commeun gazparfait?
13.On donnep1=0,3MPa,p2=1MPa,T1=5◦CetT3=0◦C.Représenterle cycle
correspondantdansleDocumentRéponse,àrendreavec votre copie.Pourchacun despoints1à
4du cycle, indiquerdansun tableaulesvaleursnumériquesrespectivesdel’enthalpiemassique,
lapressionetlatempérature.Indiqueraussi l’étatdu fluide enchacun de cespoints.
14.Àpartirdu diagrammedeMollier,estimernumériquementl’efficacitédelapompeà
chaleur.Comparerlavaleur trouvée àcellequicorrespondraitàun cycledeCarnotfonctionnant
entrelesmêmestempératures.
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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2012 — Énoncé 4/10
15.Calculerledébitmassiquedu fluidepermettantd’assurerunepuissance de chauffagede
4kW.
1.3Cycledu compresseur
Fig.3:Schéma deprinciped’uncompresseur(ici, enphased’aspiration).Lesélémentsconsti-
tutifsensontle cylindre,lepiston,le clapetd’aspiration(A),le clapetderefoulement(R),la
bielle etle volant.
Le compresseur,supposéparfaitementcalorifugé,assurelacirculation du fluide caloporteur
entrelescircuitsbassepressionethautepression(figure3).Le cycledu compresseur,supposé
réversible,s’effectue entroistemps:
–Aspiration:Le clapet (A)estouvert etle clapet (R)fermé.Lepiston,desectionS,des-
cend, lefluidepénètredansle cylindre.
–Compression:Lesdeuxclapets sontfermés.Lepistonmonte.Lapression du fluideaug-
mente.
–Refoulement:Lorsquelapression dansle cylindreatteintlapressionp2,(R)s’ouvre et
lefluide estévacuésouslapressionp2,jusqu’aumomentoulepistonatteintlafin desa
course.Onsupposealorsqu’il n’yaplusdefluidedansle cylindre(levolumeditmortest
nul).
Puis, le clapetderefoulementseferme etun nouveaucycle commence.
Onsupposequelafermeturede(R), l’ouverturede(A)etlachutedelapression dep2àp1sont
instantanéesetsimultanées.
16.En notantv1etv2lesvolumesmassiquesau débutetàlafin delaphasede compression,
représenterdansun diagramme(p,v)lestroisphasesdefonctionnementdu compresseur.
17.Commentdétermine-t-on,surce diagramme, letravail massiquefourniaucoursd’un
cycle?
18.Laphasede compressionestisentropique; lefluide estconsidéré commeun gazparfait
dontlescapacitéscalorifiquesmassiquesisobarecpetisochorecvsontconstantes.Déterminer
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X Physique et Sciences de l’ingénieur MP 2012 — Énoncé 5/10
letravail reçu parce fluidepourun aller-retourdu pistonenfonction dep1,v1,p2,v2etde
γ=cp/cv.
19.On donnep1=0,3MPa,p2=1MPa,T1=5◦Cetγ=cp/cv=1,12.CalculerT2.
Compareravec lavaleurdéterminée graphiquementàlaquestion13.
2Différentestechnologiesdecompresseur
2.1Dispositifbiellemanivelle"classique"
Lafigure4présente certainsélémentsdelamodélisation du systèmede compression: la
rotationautourdeOdu volantmanivelle(1)par rapport au bâti(0)estparamétrée parl’angle
θ1,celleautourdeBdelabielle(2)estparamétrée parl’angleθ2quefaitcettedernièreavec l’axe
~x0.EnBsetrouveunearticulationentrelabielle etlepiston(3)dontlatranslationrectiligne
estparamétrée parladistance OB, notée x3.On poseOA=e,(c’estl’excentrique)etAB=ℓ.
Onintroduira au besoinlesquantités sansdimensionk=e
ℓetX3=x3 ℓ.Lediamètredu
pistonestnotéD.L’originedestempstest tellequeθ1(0)=0.
Fig.4:Schéma de compresseurclassique.
20.Levolant (1)estaniméd’un mouvementderotation devitesseangulaire constanteΩ.
a)Établirlarelation,diteloientrée sortie,quireliex3àθ1.
b)Tracerl’alluredex3(θ1)surun tourdu volantpourk=1
2.
c)Exprimerlittéralementlacylindrée Vdelapompe(volumebalayéparle cylindre).
21.Exprimerlavitessev3du piston par rapport au bâtienfonction deθ1,deΩetdesgran-
deursgéométriquespertinentes.En déduirel’expression du débitinstantanéqdu fluiderefoulé
parlapompe;tracerl’alluredeq(θ1)en précisantlesphasesderefoulementetd’aspiration.
22.Levolantestentraîné enrotationàunevitesseΩ=1800 tr.mn−1,générantun dépla-
cementalternatifdu pistonàunefréquence élevée,ce quinevapas sansdifficultémêmepour
un piston demasseM=640 g.Lapression durantlaphasederefoulementestp=1MPa.
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