SEQUENCE … : POLYGONES REGULIERS Propriétés sur les angles inscrits, angles au centre (revoir la séquence) : Figure VOCABULAIRE : Polygone régulier : tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même mesure. Exemples : triangle équilatéral, carré… Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle ont la même mesure . METHODES : Pour tracer un polygone régulier à 𝒏 côtés : On trace un cercle, et on calcule 360 ÷ 𝑛. Dans un cercle, la mesure d’un angle au centre est le double de celle d’un angle inscrit qui intercepte le même arc. Le résultat de ce calcul donne les angles à tracer au centre. Il suffit ensuite de placer les sommets sur le cercle. Exemple avec un hexagone régulier : 𝑛=6 et 360 ÷ 6 = 60. EXERCICE CLASSIQUE : Au brevet, il y a peu d’exercices faisant intervenir uniquement les polygones réguliers. Pour calculer des mesures d’angles, penser à utiliser les propriétés suivantes : Dans un triangle, la somme des mesures des angles vaut 180°. Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°. Dans un triangle isocèle, les angles « à la base » ont la même mesure. Souvent, ils font l’objet de QCM ou de vrai/faux. Ex : Voici un octogone régulier ABCDEFGH. 1. Représenter un agrandissement de cet octogone en l’inscrivant dans un cercle de rayon 3 cm. Exemple : Ici, le triangle ABC est isocèle en A, Aucune justification n’est attendue pour cette ̂ et 𝐴𝐵𝐶 ̂. donc les angles « à la base » sont 𝐴𝐶𝐵 construction. 2. Démontrer que le triangle DAH est rectangle. ̂. 3. Calculer la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐻 Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle . De plus, ce côté est son hypoténuse . ̂. 4. Calculer la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷 Correction : 1. Tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm. Ici 𝑛 = 8 (octogone). On calcule 360 ÷ 8 = 45°. 2. [DH] est un diamètre du cercle. Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle . De plus, ce côté est son hypoténuse . Donc DAH est un triangle rectangle et son hypoténuse est [DH]. DAH est donc rectangle en A. ̂. ̂ est un angle inscrit, qui intercepte le même arc de cercle que l’angle au centre 𝐵𝑂𝐻 3. 𝐵𝐸𝐻 ̂ mesure 90°. Donc 𝐵𝐸𝐻 ̂ mesure 45° (la moitié de la mesure de l’angle au centre). 𝐵𝑂𝐻 4. La somme des angles dans le triangle BCO fait ̂ + 45 = 180. 180°, donc ̂ 𝐵𝐶𝑂 + 𝐶𝐵𝑂 ̂ + 𝑪𝑩𝑶 ̂ = 135°. Ainsi, 𝑩𝑪𝑶 ̂ et 𝐶𝐵𝑂 ̂ Le triangle BCO est isocèle en O donc 𝐵𝐶𝑂 ont la même mesure. ̂ = 135°. On peut donc écrire 𝟐 × 𝑩𝑪𝑶 ̂ qui est demandé dans l’énoncé L’angle 𝐵𝐶𝐷 ̂ , donc il mesure 135°. correspond au double de 𝐵𝐶𝑂