SEQUENCE … : POLYGONES REGULIERS

SEQUENCE … : POLYGONES REGULIERS
VOCABULAIRE :
Polygone régulier : tous ses côtés ont la même longueur et tous ses angles ont la même
mesure. Exemples : triangle équilatéral, carré…
METHODES :
 Pour tracer un polygone régulier à 𝒏 côtés :
On trace un cercle, et on calcule 360 ÷ 𝑛.
Le résultat de ce calcul donne les angles à tracer au centre.
Il suffit ensuite de placer les sommets sur le cercle.
Exemple avec un hexagone régulier :
𝑛 = 6 et 360 ÷6=60.
 Pour calculer des mesures d’angles, penser à utiliser les propriétés suivantes :
 Dans un triangle, la somme des mesures des angles vaut 180°.
 Dans un triangle équilatéral, chaque angle mesure 60°.
 Dans un triangle isocèle, les angles « à la base » ont la même mesure.
Exemple : Ici, le triangle ABC est isocèle en A,
donc les angles « à la base » sont 𝐴𝐶𝐵
̂ et 𝐴𝐵𝐶 ̂.
 Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle
est rectangle . De plus, ce côté est son hypoténuse .
 Propriétés sur les angles inscrits, angles au centre (revoir la séquence) :
EXERCICE CLASSIQUE :
Au brevet, il y a peu d’exercices faisant intervenir uniquement les polygones réguliers.
Souvent, ils font l’objet de QCM ou de vrai/faux.
Ex : Voici un octogone régulier ABCDEFGH.
1. Représenter un agrandissement de cet octogone en
l’inscrivant dans un cercle de rayon 3 cm.
Aucune justification n’est attendue pour cette
construction.
2. Démontrer que le triangle DAH est rectangle.
3. Calculer la mesure de l’angle 𝐵𝐸𝐻
̂ .
4. Calculer la mesure de l’angle 𝐵𝐶𝐷
̂ .
Figure
Dans un cercle, deux angles inscrits qui interceptent le
même arc de cercle ont la même mesure .
Dans un cercle, la mesure d’un angle au centre est le
double de celle d’un angle inscrit qui intercepte le
même arc.

Correction :
1. Tracer un cercle de centre O et de rayon 3 cm.
Ici 𝑛 = 8 (octogone). On calcule 360 ÷ 8 = 45°.
2. [DH] est un diamètre du cercle.
Si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est
rectangle . De plus, ce côté est son hypoténuse .
Donc DAH est un triangle rectangle et son hypoténuse est [DH].
DAH est donc rectangle en A.
3. 𝐵𝐸𝐻
̂est un angle inscrit, qui intercepte le même arc de cercle que l’angle au centre 𝐵𝑂𝐻
̂.
𝐵𝑂𝐻
̂ mesure 90°. Donc 𝐵𝐸𝐻
̂ mesure 45° (la moitié de la mesure de l’angle au centre).
4. La somme des angles dans le triangle BCO fait
180°, donc 𝐵𝐶𝑂
̂ + 𝐶𝐵𝑂 ̂+ 45 = 180.
Ainsi, 𝑩𝑪𝑶
̂ + 𝑪𝑩𝑶 ̂= 135°.
Le triangle BCO est isocèle en O donc 𝐵𝐶𝑂
̂ et 𝐶𝐵𝑂 ̂
ont la même mesure.
On peut donc écrire 𝟐 × 𝑩𝑪𝑶
̂=135°.
L’angle 𝐵𝐶𝐷
̂ qui est demandé dans l’énoncé
correspond au double de 𝐵𝐶𝑂
̂, donc il mesure 135°.