Angles, sécantes et parallèles

Angles, sécantes et parallèles
1.Angles adjacents, complémentaires et supplémentaires
Définitions!: •!Deux angles sont adjacents si ils ont le même sommet et un côté
commun!;
•!Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à un angle
droit!;
•!Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à un angle
plat.
Exemples!: Sur la figure ci-contre
tOy
et
zOy
sont adjacents
tOx
et
tOy
sont complémentaires
(et adjacents)
tOx
et
tOz
sont supplémentaires (et
adjacents)
Dans un triangle la somme des
angles est égale à un angle plat, soit
deux droits,
alors, un triangle rectangle ayant un angle droit!:
Théorème!: Dans un triangle rectangle les angles aigus sont complémentaires.
2.Angles déterminés par deux sécantes
Définition!: Deux angles symétriques par rapport à leur sommet commun sont appelés
angles opposés par le sommet.
Théorème!: Deux angles opposés par le sommet ont la même mesure.
Exemple!: Les droites (xx’) et
(yy’) sont sécantes en O.
Le point O est le centre de
symétrie de la figure, donc les
angles
xOy
et
x ' Oy '
sont
symétriques par rapport à O :
ils sont opposés par le sommet et égaux!;
de même
xOy '
et
x ' Oy
sont opposés par le sommet et égaux.
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3.Angles déterminés par une sécante à deux droites
Sur cette figure codée, les droites (AD) et (EG) sont perpendiculaires à (AB) et
ADF =BCD
.
Définition!: sur la figure ci-contre!:
•!Les angles
BCD
et
EGD
sont des angles correspondants!;
•!Les angles
ADF
et
GFD
sont des angles alternes-internes.
Théorèmes!: •!Si les droites (BC) et (EG) sont parallèles, alors les angles correspondants
BCD
et
EGD
sont égaux!;
•!Si les droites (AD) et (EG) sont parallèles, alors les angles alternes-internes
ADF
et
GFD
sont égaux.
Réciproquement!:
Théorèmes!: •!Si les angles correspondants
BCD
et
EGD
sont égaux,
" " " " alors les droites (BC) et (EG) sont parallèles!;
•!Si les angles alternes-internes
ADF
et
GFD
sont égaux,
" " " " alors les droites (AD) et (EG) sont parallèles.
Exercice!: Montrer que le quadrilatère ABCD de la figure ci-dessus est un trapèze.
•!les droites (AD) et (EF) sont perpendiculaires à (AB) donc elles sont parallèles,
par suite les angles alternes-internes
ADF
et
GFD
sont égaux!;
•!dans le triangle DFG isocèle en D, les angles à la base sont égaux donc
GFD =FGD
, ce qui prouve que
ADF =FGD
!;
•!or on sait que
ADF =BCD
, donc les angles correspondants
BCD
et
EGD
sont
égaux et par suite les droites (EG) et (BC) sont parallèles!;
•!les droites (AD) et (BC) étant toutes deux parallèles à (EG), elles sont donc
parallèles entre-elles, ce qui prouve que ABCD est bien un trapèze.
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