Université Paris-Est Marne-la-Vallée M1 maths et applications. Algèbre Feuille d’exercices 1’ : groupes (compléments sur les morphismes et quotients). Exercice 1. Soit G un sous groupe d’indice fini de (C∗ , ·). Montrer que G = C∗ . (indication : on pourra montrer qu’il existe k tel que pour tout z ∈ C∗ , z k ∈ G) Soit f : g → G0 un morphisme de groupes finis. Soit H un sous groupe de G. Montrer que l’ordre de f (H) divise les ordres de G et G0 . Exercice 2. Exercice 3. Soit G un groupe fini et H un sous groupe distingué d’indice m et d’ordre n. On suppose que m et n sont premiers entre eux. Montrer que H est l’unique sous groupe d’ordre n de G. (utiliser l’exercice précédent) Exercice 4. Soit p un nombre premier et G un groupe abélien d’ordre pn , où n ∈ N. 1. Montrer que G admet un élément d’ordre p. 2. Montrer que pour tout k, G admet un sous groupe d’ordre pk . Exercice 5. Soit G un groupe, on note D(G) (sous-groupe dérivé de G) le sous groupe engendré par : xyx−1 y −1 , x, y ∈ G . 1. Montrer que G est abélien si et seulement si D(G) est réduit à l’élément neutre. 2. Montrer que D(G) est invariant par tout automorphisme de G. En déduire que D(G) est un sous-groupe distingué de G. 3. Montrer que G/D(G) est un groupe commutatif. 4. Soit A un groupe abélien. Montrer que tout morphisme φ : G → A se factorise à travers G/D(G), i.e. il existe un morphisme φ : G/D(G) → A tel que φ = φ ◦ π où π : G → G/D(G) désigne le morphisme canonique. Le groupe G/D(G) s’appelle l’abélianisé de G. 5. Soit H un sous-groupe distingué de G tel que G/H est commutatif, montrer que D(G) est inclus dans H. 6. Montrer que si H est un sous groupe de G contenant D(G), alors H est distingué (indication : montrer que H = π −1 (π(H)), où π est comme ci dessus. Pourquoi π(H) est il distingué ?) Exercice 6. Soit p un nombre premier. On note Fp le corps (Z/pZ, +, ·). 1. Montrer que tout morphisme de groupes entre Fnp et Fm p est une application Fp -linéaire. 2. Déterminer le cardinal de Aut(Fnp ). 1