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Master Recherche Optique, Photonique, Signal et Image
Option Signal-Image
Introduction aux Modèles Markoviens
pour le Signal et l’Image
Stéphane DERRODE
[e-mail]
Version 1.3 - Janvier 2012

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Notes bibliographiques
Ce cours présente une introduction aux modèles markoviens pour le traitement numérique du signal et de
l’image. Les modèles statistiques exposés ici sont classiques (modèle aveugle, chaîne de Markov, champs
de Markov), et quelques passages de ce document s’inspire largement de cours ou de rapports techniques,
certains disponibles sur Internet, dont voici les principaux :
?Olivier Cappé, Modèles de mélange et modèles de Markov cachés pour le traitement automatique de la
parole, juin 2000, http://www.tsi.enst.fr/~cappe/cours/tap.pdf.
?Wojciech Pieczynski et Alain Hillion, Bases mathématiques pour le traitement des images de télédétection,
Master Statistique, Université Paris VI, mars 2006.
?François Le Gland : Introduction au filtrage en temps discret. Filtrage de Kalman et Modèles de Mar-
kov cachés, Université de Rennes 1, Master Recherche Électronique, spécialité SISEA (Signal, Image,
Systèmes Embarqués, Automatique), http://www.irisa.fr/aspi/legland/rennes-1/
?Polycopié de cours de M. Sigelle and F. Tupin [ST99] intitulé Champs de Markov en traitement d’images,
perso.telecom-paristech.fr/~tupin/cours/polymrf.pdf.
D’autres part, un certain nombre d’articles et de livres qui traitent en détail les sujets abordés dans ce cours
peuvent être consultés :
?Article de L. R. Rabiner [Rab89] intitulé A tutorial on hidden Markov models and selected applications
in speech recognition,http://www.cs.ubc.ca/~murphyk/Bayes/rabiner.pdf.
?Article de W. Pieczynski [Pie03], intitulé Modèles de Markov en traitement d’images,http://www-public.
int-evry.fr/~pieczyn/A31.pdf.
?Rapport technique de J. Bilmes [Bil97] intitulé A gentle tutorial on the EM algorithm and its application
to parameter estimation for Gaussian mixture and hidden Markov models,http://www.icsi.berkeley.edu/
ftp/global/pub/techreports/1997/tr-97-021.pdf.
?Livre de O. Cappé, E. Moulines et T. Rydén [CMR05], intitulé Inference in hidden Markov models.
Mais bien sûr, des centaines d’autres références sont possibles. . . !
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Table des matières
1 Introduction et motivations 8
2 Décision bayésienne 11
2.1 Position du problème ......................................... 11
2.2 Stratégie bayésienne ......................................... 12
2.3 Exemple : cas gaussien ........................................ 14
3 Modèle de mélange - cas indépendant 17
3.1 Modèle de mélange .......................................... 17
3.2 L’algorithme EM ........................................... 21
3.2.1 Principe ............................................ 22
3.2.2 Propriétés ........................................... 22
3.3 EM et mélange gaussien ....................................... 24
3.3.1 Quantité intermédiaire .................................... 25
3.3.2 Formules de ré-estimation des paramètres ......................... 25
3.4 Simulations et exemples en segmentation d’images ........................ 27
3.5 Synoptique de l’algorithme complet de mélange aveugle ..................... 28
4 Chaînes de Markov cachées 31
4.1 Le modèle de chaîne de Markov cachée ............................... 32
4.1.1 Loi de Xa priori ....................................... 33
4.1.2 Loi de (X, Y )......................................... 34
4.1.3 Probabilités « forward-backward »............................. 36
4.1.4 Loi de Xa posteriori .................................... 38
4.2 Décision bayésienne .......................................... 38
4.2.1 Critère du MPM ....................................... 39
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