Physique Générale : Electrostatique [Bioingé - Polytech - Solvay] Nico Englebert 1. Introduction

Physique Générale : Electrostatique
[Bioingé - Polytech - Solvay]
Nico Englebert
1. Introduction
1.1 Généralités
Nous allons nos intéresser dans ce chapitre à l'électromagnétisme, c'est à dire à la réunion de deux
interactions fondamentales : l'électricité et le magnétisme.
L'électrostatique concerne les systèmes figés ou statiques, c'est à dire qu'il en est de même pour la
distribution des différentes charges.
1.2 Etymologie
Electricité vient du mot grec elektron qui signifie ambre.
1.3-4 Charles-François Dufay : deux "sortes" d'électricité & B. Franklin
Dufay considérait deux sortes d'électricité qui s'attirent quand elles sont mélangées, mais se
repoussent si présence d'une électricité de "sorte" semblable.
Electricité résineuse
Electricité vitrée
Franklin proposa ensuite l'algèbre de l'électricité. Deux charges (+ ou -) de même types créent une
répulsion tandis que deux charges différentes causent une attraction.
Cela permit d'additionner des charges électriques en tenant compte de leur nature.
La charge positive est due à la charge électrique des protons constituant les noyaux des atomes.
1.5 Connaissances modernes
On sait aujourd'hui que le proton et l'électron ont la même charge électrique en valeur absolue,
valeur valant 1,6 . 10-19 C
Autre notion importante : La charge électrique de tout système isolé est conservée.
Notons que grâce à la relation d'Einstein (E = mc²), la masse n'est pas nécessairement conservée.
1.6 Electrisation par frottement
Le frottement provoque l'attachement des électrons périphériques, ils sont attirés par la substance la
plus électronégative. L'autre corps aura ainsi un excès de charge +, il sera chargé positivement.
Une différence d'électronégativité est nécessaire pour électriser par frottement.
Ce sont uniquement les charges - qui sont transférée par frottement, les électrons sont porteurs de la
charge électrique.
Notons néanmoins que des porteurs positif existent, par exemple l'ion sodium peut contribuer au
courant électrique. Le terme "ion" signifie en grec "voyageur".
1.7 Générateur électrostatique de Van de Graaff
Deux poulies de matériaux d'électronégativité différentes sont reliées par une
courroie électro-négativement neutre. Le frottement de la courroie provoque un
transfert de charge négative vers le haut, causant une accumulation d'électrons
dans la poulie haute. Le surplus d'électrons migre alors grâce au peigne dans la
sphère métallique pouvant accepter une très grande charge, avec possibilité de
créer un éclair.
Les éclairs fonctionnent de la même façon, il s'agit de frottement entre les nuages et l'atmosphère, ...
les éclairs ne sont la qu'en guise de "décharge".
2. La force électrique
2.1 Loi de Coulomb
C'est grâce à la balance à torsion que Coulomb étudia l'effet de la distance sur la
force électrique. Le but est d'accrocher une bille électrisé à un fil et d'en rapprocher
une seconde bille et d'observer l'angle de torsion du fil. En
mesurant cet angle, il pu calculer la force électrique. En relevant les
résultats expérimentaux, il conclu que la force est inversement
proportionnelle au carré de la distance. En multipliant le nombre de billes pour
diminuer la charge, il observa également que la force est directement proportionnelle à la charge.
Ces deux observations ensembles ajouté à une constante donne la loi de Coulomb :
= °
°.
²
ù ° = 8,987 . 10
²
²
2.2 Principe de superposition
Si les deux charges q1 et q2 ont le même signe, il y aura répulsion sinon il y aura attraction.
Pour la suite, on considèrera des masses ponctuelles, c'est à dire n'occupant aucun volume.
Rappelons que les charges sont fixe, on est bien dans le cadre de l'électrostatique, sans quoi il serait
possible de créer de l'énergie infinie, ce qui n'est pas possible.
Le principe de superposition nous informe que la
présence d'autres charges n'a pas d'interaction
avec la charge déjà en
place et cela nous
permettra de
déterminer une force
"résultante".
Notons que F12 signifie "La force exercée sur la charge q1 par la charge
q2".Nous pouvons ainsi généraliser ce principe à un nombre N de charge.
2.3 Illustration du principe de superposition
Il n'existe que deux charges possible : L'électron et le noyau. Sur ce
schéma, les atomes rouges (charge négative) possèdent un
électrons supplémentaires. Par répulsion, les électrons négatif ont
tendance à s'éloigner tandis que les noyaux subissent une force attractive. Ce déplacement de
charge s'appelle le phénomène d'influence électrostatique.
Notons que la force répulsive est plus faible que la force attractive, la différence des forces étant > 0,
la force sera dirigée vers le haut.
Il faut que l'objet soit léger et que la force électrique soit supérieure à la force gravitationnelle .
Comme ra peut tendre vers 0, on trouvera toujours une distance crique ou FE > FG.
3. Le champ électrique
Rappelons que la seule différence entre le champ gravitationnel et électrique et que dans ce dernier la
charge peut être positive ou négative.
3.1 Champ de force
Ensemble des forces que l'on pourrait mesurer dans l'environnement de cette charge sur une
deuxième charge mobile.
Le vecteur unitaire radial est parallèle à l'axe passant par la charge fixe q et la charge d'essai q0.
3.2 Champ électrique
On va préférer travailler avec une grandeur physique qui caractérise l'environnement de la charge q
indépendamment de la charge d'essai, c'est à dire le champ électrique :
≡
°
= °
²
1
,
= °.
=
On peut également voir le champ électrique comme étant la force de Coulomb exercé sur une charge
unitaire, se référer à la page 17 de la section 3.2 pour plus de détails.
La force électrique n'a pas forcément le même sens que le champ électrique. Si q0 est négative ce ne
sera pas le cas, la force ira dans le sens contraire du champ.
3.3-4 Les lignes de champ & Exemples de ligne de champ
Introduites par Faraday vers 1820, elles sont des courbes qui
sont en tout point tangentes au champ électrique. Si la charge
est positive, les flèches des lignes de champ s'éloignent de la
charge et inversement.
On remarque facilement sur le schéma ci-contre que les lignes
sont parallèles au champ électrique.
L e principe de superposition s'applique également ici.
/ ! \ Lire et comprendre les pages 20 à 22 !
3.5 Champ électrique dans les conducteurs
Les substances conductrices sont appelées "conducteurs". Leur répartitions des charges sont
uniformes et neutres dans l'espace, les e- ne subissent pas de force car la charge est nulle partout. Si
on apporte des électrons à un conducteur, les charges n'étant plus compensée elle subiront une
force répulsive qui tendra à les éloigner de la charge excédentaire jusqu'à arriver à une situation
d'équilibre ou plus rien n'évolue. Les différentes forces vont aller se placer perpendiculairement à la
surface (si ce n'était pas le cas, il y aurait effet Joule, ce qui n'est pas possible car
de l'énergie ne peut être créée à partir de rien).
Le charges se placent ainsi à un endroit ou elles ne savent plus bouger de façon à se répartir de façon
uniforme sur la surface de telle sorte à ce que les deux charges se compensent exactement.
Il n'y aura ainsi plus de force de Coulomb au sein même du conducteur.
La répartition des charges est difficile à calculer, mais généralement les charges se regroupent aux
endroits de la surfaces présentant de fortes courbures qui cause un champ électrique très important.
S'il y a beaucoup de charges excédentaires, les champs peuvent repousser des électrons hors du
conducteur et créer un "effet de pointe" grâce à une ionisation locale.
Quoi qu'il en soit, pour des situations d'équilibre ou les charges sont statiques, le
champ est toujours nul dans un conducteur creux, ce qui peut créer une enceinte
insensible aux champs électriques extérieurs tel la cage de Faraday.
3.6 Distribution de charge continues
3.6.1 Charges de volume
Le champ des charges individuelles est donnée par la loi de Coulomb pour le champ :
La distance rn qui sépare les charges individuelles 'n' se calculent grâce à l'expression suivante, ou les
n' sont les coordonnées du point où se trouve la charge 'n'.
Mais calculer ça individuellement n'est pas possible, on va ainsi travailler avec la notion de "densité
de la charge". On va décomposer l'espace en petites boîtes cubiques de volume élémentaire ΔVm ou
'm' est un indice qui permet de repérer les boîtes. On appelle ΔEm le champ généré par la boîte m,
qui est proportionnel à la charge infinitésimale contenue dans la boite m, soit Δqm. Si ΔNm est le
nombre d'électrons contenus dans la boîte, la charge Δqm vaut ΔNmqe, le champ total est donc :
Notons que rm est la distance qui sépare la boîte m du point de calcul du
champ. Ajoutons à ça la notion de densité de charge (qui est une valeur
physique locale). Remplaçons maintenant Δqm après l'avoir isolé et il suffit d'intégrer le tout (Cf. page 29)
3.6.2-3 Charge de surface & charge de ligne
Le principe est toujours le même, rho est juste remplacer par sigma et gamma. Une lecture attentive
des pages 31 à 34 devraient suffire !
4. Dipôle électrique et moment de force
Structure possédant possédant en des positions distinctes deux charges électriques opposée, mais
identique en valeur absolue.
L'anglé téta représente l'orientation du dipôle par rapport à son axe.
L'opposition des forces égales en module provoque une force de torsion pure que l'on appelle un
"moment de force".
4.1 Moment dipolaire électrique
Plus l'angle est proche de 90°, plus la force causant la rotation du dipôle sera grande. C'est du à ce
que le mouvement est uniquement la composante de la force électrique du à la rigidité du dipôle.
A FAIRE
5. Loi de Gauss
5.1 Analogie entre champ électrique et flux de particules
La charge ponctuelle projette des photos virtuels (Que l'on nommera particules, car
il ne s'agit pas ici de la théorie quantique de l'électromagnétisme) dans l'espace de
façon permanente et isotrope. Nous allons nous intéresser à la densité des
particules en fonction de la distance de la source, r.
Cette densité se notera ETA(r) qui sera une fonction croissante du au 1/r²
5.1.1 Densité de particules
On va calculer le flux total de particules au travers d'une surface
sphérique S de rayon r centrée sur la charge.
Sur le temps DELTAt, les particules ont avancé dans l'espace à la vitesse v,
elles ont ainsi parcouru une distance vDELTAt, qui occupe un volume
DELTAv
∆ = 4" ² . #∆$
Le nombre DELTAN de particules est donné par la densité de particules ETA (Nombre de particules
par unité de volume :
∆
∆
= %&' (∆
= %&' ( 4" ² . #∆$
En faisant passer DELTAt dans le membre de gauche, on observe le nombre de particules passant par
la surface S par unité de temps
)*+ ,- ./ $0 *)-1 ∶ 345 ≡
∆
= %&' (4" ²#
∆$
Le flux de particules est indépendant de la distance r. Notons que comme la vitesse est constante, il
n'y a nulle part accélération.
En réorganisant l'équation, on peut voir apparaître la formule suivante, sous sa
forme vectorielle :
Cela correspond à la notion de densité de flux de particules, c'est à dire le nombre de particules qui
traversent une surface par unité de temps et de surface.
5.1.2 Densité de flux
On appelle le vecteur densité de flux de la façon suivante :
Il permet de caractériser localement un flux de particule (Informe sur la densité et la direction)
Elle diminue quand on s'éloigne de la source ponctuelle de façon inversement proportionnelle au
carré de la distance, de même manière que la loi de Coulomb => On peut les assimiler.
La densité des lignes de champ représente en quelque sorte le module du champ électrique.
5.2 La permittivité
Heaviside introduit une nouvelle constante dans le but de simplifier les expressions mathématiques.
Cela permet de voir une analogie entre la densité d'un flux et un champ, voir page 49. Notons aussi
que cette constante correspond aux forces de Coulomb mesurées entre particules chargée dans vide.
5.3 Intégrale de flux
La surface n'est pas toujours considérée comme fermée autour des particules. Prenons une surface
infinitésimale. Il faudra en calculer la surface m, la hauteur h et la largeur l, sans oublier de tenir
compte de l'angle TETA entre F et la normale à la surface (Vecteur unitaire perpendiculaire à S).
Au bout d'un certain temps, elles
occupent un volume DeltaV
d'épaisseur vDeltat au delà de la
surface.
le flux de particules au travers de la surface est
Le flux de particules est donné par
Le produit ETAv est le module de la densité de flux de particules F, on a donc
Pour ne pas devoir discuter de l'angle TETA, on utilise la notation vectorielle élémentaire à l'aide du
produit scalaire F par le "vecteur de surface", qui est le vecteur perpendiculaire à la surface et dont la
norme est égale à la surface infinitésimale elle-même.
Un flux de 90° aura un flux nul car cela voudrait dire que la surface est parallèle à la vitesse.
En sommant les surfaces élémentaires et en les intégrant, on peut obtient l'intégrale suivante
dS est un vecteur de norme infinitésimale égale à la surface élémentaire dS et perpendiculaire à la
surface S en tout point de celle-ci. x est le vecteur parcourant toute la surface, il suffit de connaitre la
densité de flux F en tout point x de la surface pour pouvoir calculer l'intégrale de flux.
5.4 Flux du champ électrique
On eut procédé exactement de la même façon pour un flux de champ électrique
5.4.1 Flux au travers d'une surface fermée
Considérons d'abord le surface S. Comme la charge est au centre de la
sphère, dS est perpendiculaire à la surface de celle-ci, on peut le considérer
comme radial, ce qui vaut un cosinus de
1. Il ne faudra ainsi prendre compte que
de la surface de la sphère, ce qui une
fois intégré donnera :
On peut généraliser ceci à toute surface S' de forme quelconque, la v constante empêche
l'accumulation.
Le raisonnement est analogue pour le champ électrique E :
E ne dépend que de r qui est constant, donc E l'est également et peu sortir de l'intégrale, peu
importe la surface. Cette analogie est rendue possible grâce à la décroissance en 1/r².
5.4.2 Flux dû à plusieurs charges
Il suffit de prendre les charges séparément.
Ensuite, grâce à la règle de superposition il
suffira de les additionné pour avoir le flux total.
On peut utiliser un raisonnement analogue avec
des charges à l'intérieur d'une surface. Ce
même raisonnement peut être généralisé à
toute surface.
Ce n'est pas encore le Th. de Gauss final car il ne tient pas
compte de la polarité des charges.
5.4.3 Flux dû à des charges externes
Pour la sortie des charges de la surface, il n'y aura pas de
problème, les conventions étant respectée. Par contre
pour ce qui est de l'entrée le flux sera négatif car il s'agit
d'un flux entrant. L'addition des deux flux est donc nul.
Par convention, DeltaS est extérieur à la surface.
5.4.4 Charges négatives
La différence sera que les charges vont ici être attirée. Posons q = -|q|
(Voir illustrations page 62)
La densité des lignes de champ est
proportionnelle à l'amplitude du champ.
5.5 Distributions de charge continues
Observons la modification du théorème de Gauss en introduisant la densité volumique pour décrire
un grand nombre de charge ponctuelles. On va utiliser la notion de densité volumique (Cf. 3.6)
En faisant tendre DeltaVm vers 0, on obtient la
forme intégrale de la loi de Gauss qui dit que le
flxu du champ
électrique au travers d'une surface S est égal à la charge totale
contenue dans le volume V enfermé par cette surface divisé par la
permittivité du vide.
5.6 Application de la loi de Gauss : calcul de champs
Dans certains cas, l'intégrale de la loi de Coulomb est trop difficile à calculer : Loi de Gauss
5.6.1 Calcul du champ dû à un plan chargé
Considérons le problème d'une distribution de charge de surface X sur un plan
infini. Calculer son flux ne sera pas évident, il faut essayer d'éliminer le caractère
vectoriel c'est à dire en considérant un vecteur perpendiculaire à la surface.
Si l'on considère une surface cylindrique, on pourra trouver un produit scalaire
nul pour tout points (E.dS = 0). Le flux passant par une des bases du cylindre vaut E∆S, qu'il faudra
donc considérer deux fois. Nous pouvons égaler ce résultat avec la loi de Gauss, ce qui nous donnera:
5.6.2 Calcul du champ dû à un fil rectiligne chargé
Le développement pour un fil rectiligne est identique, si ce n'est la surface de la "base" qui sera
différente.
6. Le potentiel électrique
6.1 L'énergie potentielle gravitationnelle
Grace à Newton, on sait que tout objet massique crée un champ gravitationnel, qui varie en 1/r². Si
l'on veut effectuer un déplacement d'un objet vers le haut, il faudra fournir un travail qui vaudra :
6=
. 7. ∆ℎ
*
. 7. 9 ù 9 -1$ )/ 7é é /)01/$0
à $ *$- ℎ/*$-*
En libérant l'énergie potentielle, je vais créer de l'énergie cinétique (=1/2mv²)par conservation de
l'énergie (Voir cours de connaissances fondamentales.)
La force de gravitation est donnée par l'opposé de la dérivée de l'énergie potentielle par rapport à z
(Trivial (:p) dans le sens ou l'EP est l'intégrale de la force appliquée.
6.2 Energie potentielle électrique
Cette notion est grandement
semblable à la précédente : On peut
définir l'énergie potentielle de la
charge comme le
travail nécessaire
à fournir pour
éloigner la charge
du plan.
Il faut cependant tenir compte qu'ici la charge peut avoir deux signes. Lorsque q0 est positive,
l'énergie potentielle croît avec z et quand q0 est négative, l'EP diminue avec z.
6.3 Potentiel électrique
Pour évité d'être dépendant de la charge d'essai et de son signe, on définit le potentiel électrique V :
≡
6.
<= =< 9 + 1$0
? @=
.
=
A
≡
' B. ? @ =
(
La différence de potentiel est simplement la différence d'énergie
potentielle électrique d'une charge d'essai divisée par la valeur de sa
charge.
Lorsque la charge d'essai considérée est positive, une différence de potentiel positive entre deux
points donne une différence d'énergie potentielle positive et inversement.
Deux charges négatives se repousseront ce qui provoquera un accroissement de l'énergie potentielle.
6.4 Potentiel des champs non-uniformes
Pour se faire il faut calculer le travail le long d'une trajectoire
quelconque en travaillant avec des valeurs infinitésimales. On
va considérer un déplacement élémentaire dl dont le travail
élémentaire sera donné par le produit scalaire de la force appliquée sur la charge Fa par le vecteur
déplacement dl
,6 =
/. ,) = − 0 . ,)
On obtient ainsi l'intégrale de circulation, car celle-ci se
fait le long d'un trajet. Pour retrouver le potentiel
électrique, il suffit de diviser le résultat obtenu par q0 (Cf. Schéma page 75):
∆ ≡
6.D − 6 .0
1 0$ ∆ = − E
. ,)
0
F→H
6.5 Potentiel coulombien
Appliquons la formule à un champ électrique émis par une charge
ponctuelle (donc un champ non uniforme : donné par la loi de Coulomb)
Calculons la DDP entre deux points situés sur un même rayon: dl = dr1r
Si le déplacement se fait vers la charge comme sur le schéma, alors dr
sera négatif, ce vecteur aura un sens opposé à celui du champ (Dans le
cas d'une charge négative).
Par convention, on va définir le potentiel coulombien comme étant un potentiel électrique "absolu",
c'est à dire que le potentiel électrique d'un point situé à l'infini est toujours nul.
Notons qu'il s'agit d'un champ scalaire, qui joue
un rôle fondamental puisque c'est celui qui lie
les électrons du noyau
Relire la page n° 78, c'est une grosse révision d'un sujet déjà abordé dans le cadre du CFS.
6.5.1 Energie "nucléaire"
Dans un noyau, les charges positives se repoussent
mutuellement. L'énergie potentielle d'un proton par rapport à
un autre est donnée par le potentiel coulombien de la charge
ponctuelle * q0.
La faible distance entre les
protons est la cause d'une
énorme force de Coulomb de tel sorte que si l'on rajoute de
l'énergie nucléaire, la courbe redescend très vite. Parfois cette force
l'emporte sur l'interaction nucléaire, ce qui provoque l'expulsions
des protons à l'extérieur du noyau avec une grande énergie
cinétique. Cette énergie cinétique est utilisée dans les centrales
pour faire chauffer de l'eau par conduction thermique.
6.5.2 Chemin quelconque
Considérons les points initial et final à des distances ri et rf.
Nous allons décomposer la trajectoire en déplacements
élémentaires. Après avoir observé la projection, on se rend
compte que l'intégrale à calculer est identique à un
déplacement rectiligne, le champ est ainsi "conservateur".
Remplaçons le champ coulombien par sa forme analytique
et procédons à l'intégrations. On obtient :
Cela montre que le résultat ne dépend
que des distance initiale et finale par
rapport à la charge. (Cf. CFS pour le reste)
6.6 Potentiel dû à plusieurs charges (Relire page 83)
Dans le cas ou l'on aurait plusieurs charges, il suffit de faire la somme de chacune d'entre elles :
On obtient le potentiel en effectuant l'intégrale de circulation du champ :
Le travail nécessaire pour déplacer une charge d'un point à un autre est égal à la somme des travaux
nécessaires au même déplacement en présence de chacune des charges prise individuellement.
6.6.1 Potentiel du dipôle
Pour calculer le potentiel total d'un dipôle, il covient de faire la
somme des potentiels coulombien individuels. Notons r+ la distance à
une charge positive et r- à une charge négative. Grace au principe de
superposition, on peut écire que :
Les distances peuvent être donné grâce au
fait que l'axe x passe par les deux charge et
que l'origine se situe à égale distance des
charges :
Ce qui nous donne :
Comme le potentiel est partout le même, on dit que le plan x=0 est un plan équipotentiel
6.7 Potentiel d'une distribution de charge continue
On va utiliser la notion de densité volumique ainsi que le résultat obtenu pour une distribution de
charge ponctuelle pour calculer le potentiel d'une distribution de charge continue :
6.8 Détermination du champ à partir du potentiel
Non vu au cours, sera rédigé après le TP (Partie fort "pratique").
7. Capacité électrique