Chapitre 5 TRIANGLES et DROITES REMARQUABLES I/ CONSTRUCTIONS DE TRIANGLES Quand on connait les longueurs des trois côtés. Construction vue en 6ème. Quand on connait la longueur d’un côté et deux angles. Exemple : construire le triangle ADE tel que : AD = 5cm = 50° ;DAE = 30° 1. On trace le segment [AD]. 2. On construit avec la règle et le rapporteur une demi-droite d’origine A qui fait un angle de 30° avec la demi-droite [AD). 3. On construit avec la règle et le rapporteur une demi-droite d’origine D qui fait un angle de 50° avec la demi- droite [DA). 4. Le point d’intersection des deux demi- A droites est le point E. ;ADE E D Quand on connait un angle et deux longueurs Exemple : construire le triangle CFG tel que : CF = 6cm 40° 1. On trace le segment [CF]. 2. On construit avec la règle et le rapporteur une demi-droite d’origine F qui fait un angle de 40° avec la demi-droite [FC). 3. On place le point G sur cette demi-droite de sorte que : FG = 4cm. 4. On trace [CG]. FG = 4cm ;CFG = G C F II/ HAUTEUR D’UN TRIANGLE Définition : Dans un triangle, une hauteur est une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. AP est appelée la hauteur du triangle ABC. Sommet dont est issue la hauteur A (d) est appelée la hauteur issue de A. On peut également dire que (d) est la hauteur relative au côté [BC]. B C P P est appelé le Pied de la hauteur (d) Propriété (admise): Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point H, appelé l’orthocentre du triangle. A A H C B B H III/ MÉDIATRICE ET CERCLE CIRCONSCRIT 1°/ Médiatrice d’un segment Définition : On appelle médiatrice d’un segment, la droite qui coupe ce segment perpendiculairement en son milieu. C Construction de la médiatrice d’un segment I Soit [AB] un segment. 1. On trace deux arcs de cercles de même rayon (rayon supérieur à la moitié de AB) de centres A et B. Ils se coupent en deux points. 2. On trace (IJ). C’est la médiatrice de [AB]. A B J Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment Alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Autrement écrit : Si I (d) médiatrice de [AB] alors IA = IB (d) I A B Propriété réciproque Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors ce point appartient à la médiatrice de ce segment. Autrement écrit : Si IA = IB alors I appartient à la médiatrice de [AB]. 2°/ Cercle circonscrit (cercle qui passe par tous les sommets) Propriété : Les trois médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes en un point O, appelé le centre du cercle circonscrit au triangle. Démonstration : Soit O le point d’intersection de (d1) et (d2 ) D’après les propriétés des médiatrices, on a : OA = OB et OB = OC D’où OA = OC. Donc O (d3) médiatrice de [AC]. OA = OB = OC Donc O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC A (d2) (d1) (d3) C B O IV/ MÉDIANES A Définition : On appelle médiane d’un triangle, la droite qui passe par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet. C B Propriété (admise): Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point G, appelé le centre de gravité du triangle.