LE DIPOLE RC

LE DIPOLE RC
SYNTHESE
On se contentera donc de noter, pour alléger les
notations: qA= q et qB = – q
Condensateur
On dit que le condensateur est déchargé si q = 0.
Lors de la charge d'un condensateur, q augmente
progressivement de 0 a une valeur maximale Q. On
dit que le condensateur est chargé si q = Q.
Description d'un condensateur
Un condensateur est un dipôle constitué par deux
plaques conductrices en regard, les armatures,
séparées par un isolant, le diélectrique.
• Relation charge-intensité
Ce diélectrique peut être de l'air, du mica …
Dans un circuit, le courant électrique est dû à un
déplacement ordonné de porteurs de charges ; dans
les métaux, ces porteurs de charges sont des
électrons.
Les condensateurs diffèrent par leur géométrie.
Lorsque les armatures sont planes, on parle de
«condensateur plan». Dans un circuit électrique, un
condensateur plan est symbolisé par :
où les deux traits verticaux représentent ses armatures
A et B.
L'intensité i du courant électrique dans un fil
conducteur correspond au débit des charges
électriques transportées dans ce fil, c'est-à-dire à la
quantité de charge traversant une section de ce fil par
unité de temps.
Charge et intensité dans un circuit électrique
L'intensité d'un courant électrique s'exprime en
ampère (A).
A
B
Exemple :
Un circuit électrique est parcouru par un courant
d'intensité i = 1,0 A. Le nombre d'électrons (de
charge – e = – l,6.10–19 C) traversant chaque seconde
la section d'un fil conducteur est :
i
1,0
n= =
= 6,3.1018
e 1,6.10–19
On relie les armatures A et B d'un condensateur à un
générateur continu de fém E, qui délivre un courant
d'intensité i.
i
A B
+ E–
On choisit arbitrairement un sens positif pour le
courant électrique dans le circuit, représenté par une
flèche dirigée vers l'armature A du condensateur,
portant la charge q. On représente également par un
segment fléché la tension u = uAB aux bornes du
condensateur, différence de potentiel entre l'armature
positive et l'armature négative. Cette convention
d'orientation est appelée convention récepteur.
Dans la suite, un condensateur sera systématiquement
étudié en convention récepteur.
Ce courant ne peut être que transitoire, car le
diélectrique ne laissa pas le courant traverser le
condensateur.
• Charge des armatures
Le passage du courant provoque un excès de charges
négatives sur l'armature reliée au pôle négatif du
générateur, et un défaut de charges négatives
équivalent à un excès de charges positives sur
l'armature reliée au pôle positif du générateur.
i
armature A
+
+
+e– + +
+ +
+
+
+ +
+
charge qA
armature B
–
– –
–
–
– –
–
–
– –
–
charge qB
e–
Dans un circuit électrique, les électrons se déplacent
en sens opposé au sens conventionnel du courant
électrique.
À chaque instant, les armatures d'un condensateur
portent des charges électriques opposées : qA = – qB.
La grandeur positive |qA| = |qB| = q est appelée la
charge du condensateur ; elle s'exprime en coulomb
(C).
CLASSEUR Terminale
i A
S
B
qA
i
u = uAB
En convention récepteur, le sens de la flèche
représentant la tension uAB aux bornes du
condensateur est opposé au sens d'orientation du
courant i dans le circuit.
Le sens du courant dans le circuit étant choisi
arbitrairement, l'intensité i est algébrique:
– si le courant passe effectivement dans le sens de la
flèche, i est positif ;
– si le courant passe effectivement dans le sens
opposé à celui de la fléche i est négatif.
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LE DIPOLE RC
Le courant algébrique i est la dérivée par rapport
au temps t de la charge q du condensateur :
dq
i=
avec i en ampère (A) et q en coulomb (C).
dt
Le signe de l'intensité i est donc lié au sens
d’évolution de la charge q : si i > 0, q augmente ;
si i < 0, q diminue.
Capacité d'un condensateur
Le graphe expérimental des variations de la charge qA
portée par l'armature A d’un condensateur en
fonction de la tension uAB à ses bornes est une droite
de pente positive passant par l'origine.
À chaque instant, la charge qA de l'armature A du
condensateur est proportionnelle à la tension uAB
aux bornes du condensateur :
qA = C uAB, avec qA en coulomb (C), uAB en volt (V).
La grandeur positive C, caractéristique du
condensateur, est appelée capacité du condensateur,
elle s'exprime en farad (F).
On notera plus simplement q = Cu, en veillant à bien
utiliser la convention récepteur.
Les capacités usuelles sont généralement très
inférieures à 1 F, on utilisera donc souvent les sousmultiples du farad :
1 F = 10–6 F ; 1 nF = 10–9 F ; 1 pF =10–12 F.
Exemples :
– câble coaxial (de longueur l m) : 100 pF ;
– flash électronique (appareil photographique) : 10 F
– condensateur électrochimique : de 100 mF à 10 F.
METHODE
Déterminer la capacité d’un condensateur
On charge un condensateur de capacité C inconnue
dans un circuit où circule une intensité I constante.
On relève, grâce au voltmètre, la tension u aux bornes
du condensateur à différents instants.
Le voltmètre n’est pas traversé par le courant I dans
le circuit.
V
q
I
K
u
+ –
dq
• La relation I =
s’écrit dq = i dt soit q = It + Q0.
dt
où Q0 est la charge initiale du condensateur à t = 0.
• La relation q = Cu donne It + Q0 = Cu, soit
I
Q
u = t + 0 où C est la capacité du condensateur.
C
C
• On trace le graphe u(t) des variations de la tension u
en fonction du temps t. On obtient une droite de pente
positive dont on détermine graphiquement la valeur.
• On identifie la valeur précédente au rapport I/C et on
en déduit la valeur de la capacité C du condensateur.
CLASSEUR Terminale
S
SYNTHESE
Le dipôle RC
Un dipôle RC est constitué par l'association en série
d'un condensateur de capacité C et d'un conducleur
ohmique de résistance R.
Étude expérimentale d'un circuit RC
• Réponse à un échelon de tension
On considère le circuit schématisé ci-dessous. Le
condensateur est étudié en convention récepteur.
À t = 0, on bascule l’interrupteur K de la position (2)
à la position (1).
E
+
–
i
(1)
(2)
u
R
K
C
uR
uC
La tension u passe brusquement de la valeur 0 à la
valeur E : on dit que le dipôle RC est soumis à un
échelon de tension E.
i(A)
u(V)
u
I0 = E
R
E
uC
0,63 E
0,37I0
0
τ
5τ t (s)
0
τ
5τ t (s)
On peut suivre l'évolution du courant i en étudiant la
tension uR = Ri aux bornes du conducteur ohmique,
proportionnelle à i.
– L'intensité i du courant électrique dans le circuit
passe brusquement de 0 à une valeur positive I0, puis
décroît rapidement jusqu'à 0.
– La réponse du condensateur à l'échelon de tension
n'est pas immédiate : la tension uC aux bornes du
condensateur reste nulle juste après le basculement de
l'interrupteur, puis croît ensuite progressivement
jusqu'à la valeur limite E.
La tension uC aux bornes d'un condensateur ne subit
pas de discontinuité.
Le courant traverse le circuit pendant la charge du
condensateur, puis s'annule lorsque le condensateur
est chargé.
la charge du condensateur correspond à un régime
transitoire (uC et i varient) ; le régime permanent est
atteint lorsque le condensateur est chargé (uC = E et
i = 0).
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LE DIPOLE RC
SYNTHESE
• Décharge dans une résistance
Étude théorique du circuit RC
Le circuit précédent étant en régime permanent, on
bascule l’interrupteur K en position (2).
uC(V)
i(A)
5τ
τ
0
charge du condensadécharge du
teur sous une tension E condensateur
E
t (s)
-0,37I0
expression de
uC(t)
uC
0,37E
– I0
0
τ
5τ t (s)
– L'intensité i passe brusquement de 0 à une valeur
négative – I0, puis croît rapidement jusqu'à 0.
– La tension uC décroît progressivement de la
valeur E à la valeur 0.
Au cours de la décharge, le courant traverse le circuit
en sens opposé de celui qu' il avait durant la charge et
s'annule lorsque le condensateur est déchargé.
• Le condensateur joue alors le rôle d'un générateur.
• La décharge du condensateur correspond à un
régime transitoire (uC et i varient); le régime
permanent est atteint lorsque le condensateur est
déchargé (uC = 0 et i = 0).
Constante de temps
Le produit τ = RC, exprimé en seconde (s), est
appelé constante de temps du dipôle RC. La
constante de temps τ donne un ordre de grandeur de
la durée de la charge (ou de la décharge) du
condensateur.
La constante de temps τ ne dépend pas de l'amplitude
E de l'échelon de tension appliqué.
– Après une durée égale à τ, le condensateur est
chargé à 63 % de sa valeur maximale.
– Après une durée égale à 5τ, le condensateur est
chargé à 99 % de sa valeur maximale : on considère
alors que le régime permanent est atteint.
Les résultats sont analogues pour la décharge du
condensateur.
La constante de temps τ correspond à l'abscisse du
point d'intersection de la tangente à l'origine à la
courbe uC(t) et de l'asymptote horizontale
caractérisant le régime permanent.
uC(V)
u(V)
u
E
E
uC
0,63 E
uC
0,37E
0
τ
équation
différentielle
régissant
l’évolution de uC
charge
5τ t (s)
CLASSEUR Terminale
0
τ
S
décharge
5τ t (s)
expression de i(t)
τ
duC
+ uC = E
dt
t

 
uC(t) = E 1  e  




i(t) =
t
E 
e
R
τ
duC
+ uC = 0
dt

t
uC(t) = E e 
i(t) = –
t
E 
e
R
On obtient l'expression du courant i dans le circuit en
dérivant uC par rapport au temps :
t
t

duC
E 
= ± e  = ± I0 e 
dt
R
Ces résultats sont bien en accord avec les
phénomènes observés expérimentalement.
i(t) = C
Énergie emmagasinée dans un condensateur
Au cours de sa charge, un condensateur emmagasine
de l’énergie électrique qu'il restitue au circuit
lorsqu'il se décharge.
L'énergie électrique Econd emmagasinée par un
condensateur de capacité C soumis à la tension uC a
pour expression :
Econd énergie en joule (J)
1
1 q2C capacité en farad (F)
2
Econd = C uC =
2
2 C uC tension en volt(V)
q charge en coulomb (C)
Le stockage et le destockage de l'énergie ne peuvent
jamais s'effectuer instantanément ; par conséquent,
l'énergie Econd ne subit pas de variation brutale.
METHODE
Établir l’équation différentielle de la
charge
On considère le circuit électrique schématisé sur I RC
0’. Lors de la charge.du condensateur., l’interrupteur
K est en position (1): Le condensateur et le
conducteur ohmique sont étudiés en convention
récepteur.
• On applique la loi des mailles au circuit ;
u = uR + uC soit E = Ri + uC
• On écrit les relations charge-Intensité et chargetension pour le condensateur :
dq
i(t) =
et q(t) = C uC(t)
dt
du
• On en déduit une relation entre i et uC : i(t) = C C
dt
• On remplace i dans la loi des mailles :
d
du
E = RC uC + uC = τ C + uC
dt
dt
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