Travail complet - Gymnase Auguste Piccard

2002
Sébastien Boutinard Rouelle 3M2
Alexandre Bovet 3M4
Travail de maturité
La géométrie non-euclidienne
dans le modèle du disque de Poincaré
Limite circulaire III, 1959, M.C. Escher
Professeur responsable : Jean-Daniel Voelke

Table des matières :
Introduction aux géométries non-euclidiennes……………………………...……………………….p. 3
Les Eléments d’Euclide……………………………………………………………...……p. 3
Le premier livre des Eléments…………………………………………….…………..p. 3
Les fondateurs……………………………………………………………………………..p. 4
Les géométries non-euclidiennes………………………………………………………….p. 4
Les modèles………………………………………………………………………………..p. 4
Le modèle du disque de Poincaré…………………………………………………………………….p. 5
1. Les droites hyperboliques……………………………………………………………….p. 5
Préliminaire euclidien…………………………………………………………..p. 5
Théorème de l’inverse……………………………………………………p. 5
Rappel………………………………………...……………………..…...p. 6
Construction de l’inverse d’un point par rapport à un cercle…………….p. 6
Démonstration………………………………………………………..…..p. 6
Construction d’une droite passant par deux points………………………….….p. 6
Construction des parallèles à une droite par un point…………………………..p. 7
Construction des perpendiculaires……………………………………..…….…p. 7
Perpendiculaire à une droite passant par un point………………………..p. 7
Perpendiculaire commune à deux droites divergentes……………...……p. 7
Perpendiculaire commune à deux droites parallèles………………….….p. 8
2. Les triangles hyperboliques………………………………………………………….….p. 8
L’aire d’un triangle……………………………………………………………..p. 8
3. Les angles hyperboliques……...………………………………………………………..p. 9
Angle de parallélisme…………………………………………………..………p. 9
Angle de deux parallèles…………………………………………………....…p. 10
Angles alternes-internes égaux………………………………………..………p. 10
4. Les cercles………………………………………………………………………....…..p. 11
Faisceaux de cercles euclidiens…………………………………………….…p. 11
1 Le faisceau de cercles à points fondamentaux…………………….….p. 11
2 Le faisceau de cercles tangents…………………………………….…p. 11
3 Le faisceau à points limites……………………………………….…..p. 11
Cercles du faisceau à points limites passant par un point donné……….p. 12
Faisceaux de cercles conjugués……… …………………………………….…p. 12
1 Faisceau conjugué Γd’un faisceau à points limites I et I’….…....p. 13
Φ
2 Faisceau conjugué Γd’un faisceau Φà points fondamentaux A et B.p. 13
3 Faisceau conjugué d’un faisceau Φde cercles tangents…………...p. 13
Γ
Construction d’un cercle de centre C, passant par un point P……………....…p. 14
Horicycle…………………………………………………………………...….p. 14
Équidistantes…………………………………………………………..………p. 15
5. Les isométries……………………………………………………………………..…...p. 16
La symétrie…………………………………………………………...…p. 16
La rotation…………………………………………………………..…..p. 16
La translation……………………………………………………...….…p. 16
Le glissement…………………………………………………..………..p. 17
Les isométries dans le modèle du disque de Poincaré……………………...…p. 17
La symétrie……………………………………………………….….….p. 17
La rotation………………………………………………………………p. 18
Classification des isométries…………………………………………….…….p. 18
Faisceau de droites sécantes…………………………………………….p. 19
Faisceau de droites divergentes…………………………………………p. 20
Faisceau de droites parallèles………………………………………...…p. 21
Les glissements………………………………………………….……...p. 22
Conclusion……………………………………………………………………………………...…...p. 23
Bibliographie…………………………………………………………………………...…………...p. 24
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Introduction aux géométries non-euclidiennes :
Les Éléments d’Euclide :
Euclide, un mathématicien grec qui vécut à Alexandrie au début du troisième siècle avant
Jésus-Christ, écrivit un ouvrage, Les Eléments, qui fut la référence de la géométrie pendant
plus de deux mille ans. Ils exposaient, pour la première fois, la géométrie comme une théorie
axiomatique, c’est-à-dire contenant des notions fondamentales non définies et des axiomes
non démontrés desquels découlent toutes les démonstrations des différents théorèmes
constituant la géométrie « euclidienne ».
Le premier livre des Eléments :
Le premier livre des Eléments d’Euclide commence par 23 définitions
fondamentales comme par exemple, les deux premières définissant le point et la ligne :
« Un point est ce dont il n’y a aucune partie ».
« Une ligne est une longueur sans largeur ».
Et la dernière définissant les parallèles :
« Des droites parallèles sont celles qui, étant dans le même plan et indéfiniment
prolongées de part et d’autre, ne se rencontrent pas, ni d’un côté ni de l’autre ».
Il se poursuit par cinq postulats formulés sous formes de demandes (postulat vient du latin
postulare = demander) que l’on demande au lecteur d’accepter, permettant la réalisation de sa
géométrie :
1. « Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point ».
Plus tard énoncé sous la forme :
« Par deux points ne passe qu’une et une seule droite ».
2. « Et de prolonger continûment en ligne une ligne droite limitée ».
3. « Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle ».
4. « Et que tous les angles droits soient égaux entre eux ».
5. « Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du
même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées,
se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits ».
Par la suite énoncé sous la forme :
« Par un point extérieur à une droite donnée, il passe une et une seule parallèle à
cette droite donnée ».
Et 9 axiomes appelés « notions communes » (du grec axioma = j'estime, je crois vrai,
conduisant au sens d'irréfutable, d'évident) dont voilà par exemple la première :
« Les choses égales à une même chose sont aussi égales entre elles ».
Il se termine par 48 propositions s’appuyant sur les constats précédents pour démontrer
par exemple les cas d’égalité des triangles ou encore le théorème des angles alternes-internes
égaux.
Les Éléments d’Euclide ont été de nombreuses fois traduits et commentés à travers les
siècles. Le cinquième postulat, d’énoncé compliqué et peu évident et de caractère incertain
pour nombres de mathématiciens qui pensaient qu’Euclide avait été trop timide en lui
accordant une place à part, a suscité le plus d’intérêt et a mené, au fil du temps, les
mathématiciens grecs, arabes puis européens à essayer de le déduire des autres postulats
grâce à un raisonnement rigoureux. Beaucoup penseront avoir réussi mais en réalité toutes
leurs preuves contiennent des erreurs car ils avaient utilisé des propriétés considérées comme
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évidentes mais qui s’avéraient supposer le cinquième postulat sous la forme d’un de ces
nombreux énoncés équivalents.
C’est seulement vers 1820-1830 que quelques mathématiciens aboutissent à l’idée de
prouver le cinquième postulat par l’absurde, c’est-à-dire de fonder une géométrie sur la
négation du cinquième postulat afin de parvenir à une contradiction, mais à leur grande
surprise il n’atteignirent aucune contradiction. Ils découvrirent une géométrie tout à fait
cohérente, la géométrie non-euclidienne.
Les fondateurs :
C’est Nicolaï Ivanovitch Lobachevsky (1793-1855), professeur russe de mathématique et
d'astronomie à l'université de Kazan, puis recteur de cette dernière, qui commence à faire
connaître en premier, dès 1826, sa « Géométrie imaginaire » dans un communiqué :
L'exposition succincte des principes de la géométrie, puis c’est en 1829 dans un exposé
intitulé : Les fondations de la géométrie qu’il développe la géométrie non-euclidienne.
En même temps, indépendamment, Janos Bolyai (1802-1860), fils d’un professeur
hongrois de mathématiques, physique et chimie, publiait en 1832 un opuscule : la science
absolument vraie de l'espace que son père fit imprimer en appendice d'un de ses propres
ouvrages, sur sa découverte de la géométrie non-euclidienne. Le « prince des
mathématiciens » allemand Karl Friedrich Gauss (1777-1855), ami du père de Janos Bolyai,
avait également découvert l’existence d’une géométrie non-euclidienne à la même époque
mais n’avait rien publié heureux d’apprendre que cette fatigue lui avait été épargnée par le fils
de son ami.
Les géométries non-euclidiennes :
Par la négation ou la modification du « postulat des parallèles » on obtient les géométries
non-euclidiennes :
Si on le retire au profit de l'affirmation que deux droites parallèles sont sécantes à l'infini
on obtient la géométrie projective.
Si on le remplace par l'impossibilité, au contraire, de tracer une parallèle à une droite, on
obtient par exemple la géométrie de la sphère (surface à courbure constante positive).
Enfin, si on pose maintenant que par un point extérieur à une droite on peut mener une
infinité de parallèles à cette droite, on obtient la géométrie de Lobatchevski, dite aussi
hyperbolique dont une représentation est la géométrie de la
pseudosphère (surface à courbure constante négative).
C’est l’Italien Eugenio Beltrami (1835-1900), professeur à
l’université de Bologne, puis de Pise, de Rome et de Pavie, qui fut le
premier à trouver une surface où la géométrie de Lobachevsky
s’applique sans contradiction, la pseudosphère. La
pseudosphère est un modèle partiel, elle ne représente pas
tout le plan non-euclidien. Sur cette surface les parallèles
sont représentés par les méridiens.
Pseudosphère en carton construite
par Beltrami (conservée à l’Université de Pavie)
Les modèles :
La découverte de la géométrie non-euclidienne a donné naissance à la
modélisation. Car la géométrie de Lobachevski n’était plus une
représentation de l’espace sensible. C’est pour cela que les
mathématiciens ont dû inventer des modèles, c’est-à-dire des
interprétations euclidiennes de l’espace non-euclidien.
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Le premier étant le modèle de Beltrami, découvert en 1868. Il fut suivit de plusieurs autres
mathématiciens, comme Klein (1861) et Poincaré (1880).
Le modèle du disque de Poincaré :
Jules Henri Poincaré était un mathématicien français (1854-1912). Il est considéré comme
l’un des plus grands mathématiciens à la charnière du 20ème siècle. Au cours de ses recherches
sur la géométrie non-euclidienne il découvrit plusieurs modèles, dans le plan et dans l’espace.
C’est en 1882 qu’il découvrit le modèle du disque.
Ce modèle est, comme son nom l’indique, représenté par un cercle euclidien γ.
L’intérieur de ce dernier représente le plan hyperbolique H, et son périmètre : l’horizon. Les
points qui se trouvent sur l’horizon sont des points idéaux c’est-à-dire, des points qui sont à
l’infini. Tout objet réel doit donc être représenté dans le cercle. Dans ce modèle les distances
ne sont pas les mêmes que dans la géométrie euclidienne par-contre les angles sont conservés.
Remarques :
Pour une meilleure visibilité les figures traitant de géométrie non-euclidienne sont
cadrées en couleur (bleu pour le modèle du disque de Poincaré, vert pour les autres) tandis
que les figures traitant de géométrie euclidienne ont un cadre noir.
Nous avons partagé notre étude du disque de Poincaré en cinq parties : les droites
hyperboliques, les triangles hyperboliques, les angles hyperboliques, les cercles
hyperboliques et les isométries. Nous avons introduit chaque partie par les théorèmes et les
notions (que nous n’avons pas vu aux cours de mathématiques) nécessaire de connaître
avant d’aborder le sujet nous concernant.
1. Les droites hyperboliques :
Les droites sont représentées dans ce modèle par des arcs
de cercles orthogonaux à l’horizon et se situent strictement à
l’intérieur du cercle γ. Il peut exister des droites sécantes,
parallèles ou divergentes ( cas impossible dans la géométrie
euclidienne, fig.1). Elles se nomment droites hyperboliques.
Dans le cas limite où une droite hyperbolique passe par le
centre euclidien de γ, elle devient donc un diamètre du
cercle plan. L’angle à l’intersection de deux droites
hyperboliques se mesure entre les tangentes aux deux cercles
à cette intersection.
Préliminaire euclidien :
Pour tracer une droite hyperbolique, c’est-à-dire un cercle orthogonal il est nécessaire de
connaître le construction suivante :
Rappel : Si O est le centre de γet r son rayon, l’inverse de P par rapport à γest le
point P’ de la demi-droite OP tel que OP·OP’= r2.
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