Travail complet - Gymnase Auguste Piccard
publicité
2002 Sébastien Boutinard Rouelle 3M2 Alexandre Bovet 3M4 Travail de maturité La géométrie non-euclidienne dans le modèle du disque de Poincaré Limite circulaire III, 1959, M.C. Escher Professeur responsable : Jean-Daniel Voelke Table des matières : Introduction aux géométries non-euclidiennes……………………………...……………………….p. 3 Les Eléments d’Euclide……………………………………………………………...……p. 3 Le premier livre des Eléments…………………………………………….…………..p. 3 Les fondateurs……………………………………………………………………………..p. 4 Les géométries non-euclidiennes………………………………………………………….p. 4 Les modèles………………………………………………………………………………..p. 4 Le modèle du disque de Poincaré…………………………………………………………………….p. 5 1. Les droites hyperboliques……………………………………………………………….p. 5 Préliminaire euclidien…………………………………………………………..p. 5 Théorème de l’inverse……………………………………………………p. 5 Rappel………………………………………...……………………..…...p. 6 Construction de l’inverse d’un point par rapport à un cercle…………….p. 6 Démonstration………………………………………………………..…..p. 6 Construction d’une droite passant par deux points………………………….….p. 6 Construction des parallèles à une droite par un point…………………………..p. 7 Construction des perpendiculaires……………………………………..…….…p. 7 Perpendiculaire à une droite passant par un point………………………..p. 7 Perpendiculaire commune à deux droites divergentes……………...……p. 7 Perpendiculaire commune à deux droites parallèles………………….….p. 8 2. Les triangles hyperboliques………………………………………………………….….p. 8 L’aire d’un triangle……………………………………………………………..p. 8 3. Les angles hyperboliques……...………………………………………………………..p. 9 Angle de parallélisme…………………………………………………..………p. 9 Angle de deux parallèles…………………………………………………....…p. 10 Angles alternes-internes égaux………………………………………..………p. 10 4. Les cercles………………………………………………………………………....…..p. 11 Faisceaux de cercles euclidiens…………………………………………….…p. 11 1 Le faisceau de cercles à points fondamentaux…………………….….p. 11 2 Le faisceau de cercles tangents…………………………………….…p. 11 3 Le faisceau à points limites……………………………………….…..p. 11 Cercles du faisceau à points limites passant par un point donné……….p. 12 Faisceaux de cercles conjugués……… …………………………………….…p. 12 1 Faisceau conjugué Γ d’un faisceau Φ à points limites I et I’….…....p. 13 2 Faisceau conjugué Γ d’un faisceau Φ à points fondamentaux A et B.p. 13 3 Faisceau conjugué Γ d’un faisceau Φ de cercles tangents…………...p. 13 Construction d’un cercle de centre C, passant par un point P……………....…p. 14 Horicycle…………………………………………………………………...….p. 14 Équidistantes…………………………………………………………..………p. 15 5. Les isométries……………………………………………………………………..…...p. 16 La symétrie…………………………………………………………...…p. 16 La rotation…………………………………………………………..…..p. 16 La translation……………………………………………………...….…p. 16 Le glissement…………………………………………………..………..p. 17 Les isométries dans le modèle du disque de Poincaré……………………...…p. 17 La symétrie……………………………………………………….….….p. 17 La rotation………………………………………………………………p. 18 Classification des isométries…………………………………………….…….p. 18 Faisceau de droites sécantes…………………………………………….p. 19 Faisceau de droites divergentes…………………………………………p. 20 Faisceau de droites parallèles………………………………………...…p. 21 Les glissements………………………………………………….……...p. 22 Conclusion……………………………………………………………………………………...…...p. 23 Bibliographie…………………………………………………………………………...…………...p. 24 2 Introduction aux géométries non-euclidiennes : Les Éléments d’Euclide : Euclide, un mathématicien grec qui vécut à Alexandrie au début du troisième siècle avant Jésus-Christ, écrivit un ouvrage, Les Eléments, qui fut la référence de la géométrie pendant plus de deux mille ans. Ils exposaient, pour la première fois, la géométrie comme une théorie axiomatique, c’est-à-dire contenant des notions fondamentales non définies et des axiomes non démontrés desquels découlent toutes les démonstrations des différents théorèmes constituant la géométrie « euclidienne ». Le premier livre des Eléments : Le premier livre des Eléments d’Euclide commence par 23 définitions fondamentales comme par exemple, les deux premières définissant le point et la ligne : « Un point est ce dont il n’y a aucune partie ». « Une ligne est une longueur sans largeur ». Et la dernière définissant les parallèles : « Des droites parallèles sont celles qui, étant dans le même plan et indéfiniment prolongées de part et d’autre, ne se rencontrent pas, ni d’un côté ni de l’autre ». Il se poursuit par cinq postulats formulés sous formes de demandes (postulat vient du latin postulare = demander) que l’on demande au lecteur d’accepter, permettant la réalisation de sa géométrie : 1. « Qu’il soit demandé de mener une ligne droite de tout point à tout point ». Plus tard énoncé sous la forme : « Par deux points ne passe qu’une et une seule droite ». 2. « Et de prolonger continûment en ligne une ligne droite limitée ». 3. « Et de décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle ». 4. « Et que tous les angles droits soient égaux entre eux ». 5. « Et que, si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits ». Par la suite énoncé sous la forme : « Par un point extérieur à une droite donnée, il passe une et une seule parallèle à cette droite donnée ». Et 9 axiomes appelés « notions communes » (du grec axioma = j'estime, je crois vrai, conduisant au sens d'irréfutable, d'évident) dont voilà par exemple la première : « Les choses égales à une même chose sont aussi égales entre elles ». Il se termine par 48 propositions s’appuyant sur les constats précédents pour démontrer par exemple les cas d’égalité des triangles ou encore le théorème des angles alternes-internes égaux. Les Éléments d’Euclide ont été de nombreuses fois traduits et commentés à travers les siècles. Le cinquième postulat, d’énoncé compliqué et peu évident et de caractère incertain pour nombres de mathématiciens qui pensaient qu’Euclide avait été trop timide en lui accordant une place à part, a suscité le plus d’intérêt et a mené, au fil du temps, les mathématiciens grecs, arabes puis européens à essayer de le déduire des autres postulats grâce à un raisonnement rigoureux. Beaucoup penseront avoir réussi mais en réalité toutes leurs preuves contiennent des erreurs car ils avaient utilisé des propriétés considérées comme 3 évidentes mais qui s’avéraient supposer le cinquième postulat sous la forme d’un de ces nombreux énoncés équivalents. C’est seulement vers 1820-1830 que quelques mathématiciens aboutissent à l’idée de prouver le cinquième postulat par l’absurde, c’est-à-dire de fonder une géométrie sur la négation du cinquième postulat afin de parvenir à une contradiction, mais à leur grande surprise il n’atteignirent aucune contradiction. Ils découvrirent une géométrie tout à fait cohérente, la géométrie non-euclidienne. Les fondateurs : C’est Nicolaï Ivanovitch Lobachevsky (1793-1855), professeur russe de mathématique et d'astronomie à l'université de Kazan, puis recteur de cette dernière, qui commence à faire connaître en premier, dès 1826, sa « Géométrie imaginaire » dans un communiqué : L'exposition succincte des principes de la géométrie, puis c’est en 1829 dans un exposé intitulé : Les fondations de la géométrie qu’il développe la géométrie non-euclidienne. En même temps, indépendamment, Janos Bolyai (1802-1860), fils d’un professeur hongrois de mathématiques, physique et chimie, publiait en 1832 un opuscule : la science absolument vraie de l'espace que son père fit imprimer en appendice d'un de ses propres ouvrages, sur sa découverte de la géométrie non-euclidienne. Le « prince des mathématiciens » allemand Karl Friedrich Gauss (1777-1855), ami du père de Janos Bolyai, avait également découvert l’existence d’une géométrie non-euclidienne à la même époque mais n’avait rien publié heureux d’apprendre que cette fatigue lui avait été épargnée par le fils de son ami. Les géométries non-euclidiennes : Par la négation ou la modification du « postulat des parallèles » on obtient les géométries non-euclidiennes : Si on le retire au profit de l'affirmation que deux droites parallèles sont sécantes à l'infini on obtient la géométrie projective. Si on le remplace par l'impossibilité, au contraire, de tracer une parallèle à une droite, on obtient par exemple la géométrie de la sphère (surface à courbure constante positive). Enfin, si on pose maintenant que par un point extérieur à une droite on peut mener une infinité de parallèles à cette droite, on obtient la géométrie de Lobatchevski, dite aussi hyperbolique dont une représentation est la géométrie de la pseudosphère (surface à courbure constante négative). C’est l’Italien Eugenio Beltrami (1835-1900), professeur à l’université de Bologne, puis de Pise, de Rome et de Pavie, qui fut le premier à trouver une surface où la géométrie de Lobachevsky s’applique sans contradiction, la pseudosphère. La pseudosphère est un modèle partiel, elle ne représente pas tout le plan non-euclidien. Sur cette surface les parallèles sont représentés par les méridiens. Pseudosphère en carton construite par Beltrami (conservée à l’Université de Pavie) Les modèles : La découverte de la géométrie non-euclidienne a donné naissance à la modélisation. Car la géométrie de Lobachevski n’était plus une représentation de l’espace sensible. C’est pour cela que les mathématiciens ont dû inventer des modèles, c’est-à-dire des interprétations euclidiennes de l’espace non-euclidien. 4 Le premier étant le modèle de Beltrami, découvert en 1868. Il fut suivit de plusieurs autres mathématiciens, comme Klein (1861) et Poincaré (1880). Le modèle du disque de Poincaré : Jules Henri Poincaré était un mathématicien français (1854-1912). Il est considéré comme l’un des plus grands mathématiciens à la charnière du 20ème siècle. Au cours de ses recherches sur la géométrie non-euclidienne il découvrit plusieurs modèles, dans le plan et dans l’espace. C’est en 1882 qu’il découvrit le modèle du disque. Ce modèle est, comme son nom l’indique, représenté par un cercle euclidien γ . L’intérieur de ce dernier représente le plan hyperbolique H, et son périmètre : l’horizon. Les points qui se trouvent sur l’horizon sont des points idéaux c’est-à-dire, des points qui sont à l’infini. Tout objet réel doit donc être représenté dans le cercle. Dans ce modèle les distances ne sont pas les mêmes que dans la géométrie euclidienne par-contre les angles sont conservés. Remarques : Pour une meilleure visibilité les figures traitant de géométrie non-euclidienne sont cadrées en couleur (bleu pour le modèle du disque de Poincaré, vert pour les autres) tandis que les figures traitant de géométrie euclidienne ont un cadre noir. Nous avons partagé notre étude du disque de Poincaré en cinq parties : les droites hyperboliques, les triangles hyperboliques, les angles hyperboliques, les cercles hyperboliques et les isométries. Nous avons introduit chaque partie par les théorèmes et les notions (que nous n’avons pas vu aux cours de mathématiques) nécessaire de connaître avant d’aborder le sujet nous concernant. 1. Les droites hyperboliques : Les droites sont représentées dans ce modèle par des arcs de cercles orthogonaux à l’horizon et se situent strictement à l’intérieur du cercle γ . Il peut exister des droites sécantes, parallèles ou divergentes ( cas impossible dans la géométrie euclidienne, fig.1). Elles se nomment droites hyperboliques. Dans le cas limite où une droite hyperbolique passe par le centre euclidien de γ , elle devient donc un diamètre du cercle plan. L’angle à l’intersection de deux droites hyperboliques se mesure entre les tangentes aux deux cercles à cette intersection. Préliminaire euclidien : Pour tracer une droite hyperbolique, c’est-à-dire un cercle orthogonal il est nécessaire de connaître le construction suivante : Rappel : Si O est le centre de γ et r son rayon, l’inverse de P par rapport à point P’ de la demi-droite OP tel que OP·OP’= r2. 5 γ est le Construction de l’inverse d’un point par rapport à un cercle (fig. 2): Comme OP·OP’= r2, P’ est sur la polaire p de P relativement à γ . Mener la perpendiculaire d, en P, au diamètre OP, elle coupe γ en T1 et T2. Les tangentes t1 et t2 issues de T1 et T2 coupent la droite OP en P’, le pôle de la droite T1T2. P’ est l’inverse de P relativement à γ . Théorème de l’inverse: Soit γ un cercle et P un point situé à l’intérieur de γ . Soit δ un cercle passant par P; δ coupe γ orthogonalement si et seulement si δ passe aussi par l’inverse P’ de P relativement à γ . Démonstration : Etant donné γ et δ deux cercles orthogonaux et P un point intérieur à γ . La puissance de O relativement à δ est égale à OP·OP’, et dans le cas limite de la tangente OT, à OT2. Donc : OP·OP’= OT2= r2 Ce qui implique d’après la définition de l’inverse que P et P’ sont inverses par rapport à γ . Construction d’une droite passant par deux points(fig. 3): Soit A et B deux points de H, il existe une est une seule droite hyperbolique passant par A et B, le premier postulat d’Euclide reste vrai. La droite hyperbolique doit passer par A, B, A’ et B’ selon le théorème de l’inverse. Il suffit donc de tracer la médiatrice au segment AA’ et celle de AB ou BB’ pour trouver le centre O’ de la droite hyperbolique h, qui se situe en leur intersection. 6 Construction des parallèles à une droite par un point (fig. 4) : Dans le modèle du disque de Poincaré, les parallèles sont des droites qui se coupent sur l’horizon, donc à l’infini. Etant donné d une droite hyperbolique, soit P un point de H extérieur à d et P’ son inverse relativement à l’horizon γ , soient les points idéaux A et B les extrémités de d. Les parallèles à d sont les deux droites hyperboliques AP et BP. Nous constatons que dans ce modèle, contrairement à la géométrie euclidienne, par un point passent deux parallèles à une droite. Construction des perpendiculaires : - Perpendiculaire à une droite passant par un point (fig. 5) : Etant donné d une droite hyperbolique et P un point de H. La perpendiculaire à d issue de P est le cercle euclidien orthogonal à d et γ passant par P. Son centre O’ se trouve donc à l’intersection de l’axe radical a de d et γ , et de celui de P et d, nommé b (en considérant P comme un cercle point), car l’axe radical de deux cercles est le lieu géométrique des centres des cercles orthogonaux aux deux cercles. - Perpendiculaire commune à deux droites divergentes (fig. 6) : Soit d et e deux droites de H. Le centre O’ de la perpendiculaire hyperbolique est situé sur le centre radical de d, e et γ , d’après le corollaire du théorème de la concourrance des axes radicaux, qui énonce : Si le centre radical de trois cercles est à l’extérieur de ces trois cercles, c’est le centre de l’unique cercle orthogonal aux trois cercles donnés. Le rayon est obtenu en traçant la tangente à γ issue de O’, ayant comme point de contact avec rayon est O’T. 7 γ T. Le - Perpendiculaire commune à deux droites parallèles (fig. 7) Lorsque les deux droites sont parallèles, le centre radical se situe à l’intersection des trois cercles d, e et γ , il est donc impossible de construire un cercle orthogonal aux trois cercles (d’après le corollaire cité ci-avant). Il n’existe donc pas de perpendiculaire commune à deux droites parallèles contrairement à la géométrie euclidienne 2. Les triangles hyperboliques : Dans la géométrie euclidienne nous savons que la somme des angles d’un triangle est égal à 180°. Par contre dans la géométrie non-euclidienne de notre modèle, la somme est toujours inférieure à 180°. En effet si nous traçons le triangle euclidien ABC, nous remarquons que ses côtés sont des cordes des cercles étant les côtés hyperboliques. Les côtés euclidiens forment donc des angles toujours supérieurs à ceux des cercles. L’aire d’un triangle : L’aire d’un triangle est proportionnelle à son déficit, c’est-à-dire à la différence entre 180° et la somme de ses angles. Par exemple dans la figure 9, il est évident que l’aire du triangle ABC est supérieure à celle du triangle DEF car il le contient. Fig. 9 Angle 1 Angle 2 Angle 3 Somme Déficit Triangle ABC ABC = 5° BAC = 6° ACB = 5° 16° 164 Triangle DEF DEF = 43° EDF = 57° DFE = 43° 143° 37 8 Nous remarquons que si l’aire augmente, la somme des angles diminue et donc le déficit augmente. On démontre que l’aire est proportionnelle au déficit. Nous remarquons également que lorsque les trois sommets sont des points idéaux, la somme des angles est nulle et le déficit vaut 180, le triangle a donc une aire maximale, alors qu’en géométrie euclidienne un triangle n’est pas limité par son aire. 3. Les angles hyperboliques : Comme nous l’avons dit plus haut, les angles sont conservés dans notre modèle. Angle de parallélisme : Etant donné une droite d et un point A extérieur à d, e et e’ sont les parallèles noneuclidiennes à d (fig. 10). p est la perpendiculaire à d issu de A. l’angle de parallélisme Π est l’angle formé par une des deux parallèles et la perpendiculaire p. En géométrie euclidienne l’angle est constant et droit. Nous n’avons pas pu mesurer la longueur p mais nous voyons que p est plus grand dans la figure 11 que dans la figure 11’ puis 11’’. Nous constatons sur ces figures que l’angle de parallélisme n’est pas constant et que lorsque p grandit l’angle diminue, ce qui n’est pas le cas dans la géométrie euclidienne. L’angle formé par e et p est le même que celui formé par e’ et p, il est une fonction de p. 9 Angle de deux parallèles (fig. 12): L’angle de deux parallèle est nul car c’est l’angle entre deux arcs de cercle tangents. Angles alternes-internes égaux : En géométrie euclidienne une droite qui coupe deux droites parallèles forme avec elles des angles alternes-internes égaux (fig. 13). Pour chercher l’équivalent dans notre modèle nous avons fait la construction suivante : Soit une droite hyperbolique d ainsi que deux points A et B se situant sur cette dernière ; A’ et B’ sont leur inverse relativement à l’horizon (fig. 14). Tracer deux droites a et b issues de A et B formant avec d un angle α . Tracer les perpendiculaires p et q à a et b, issues de A et B. L’intersection des médiatrices aux segments AA’ et BB’ avec p et q donnent les centres des droites hyperboliques e et f formant avec d des angles alternes-internes égaux. 10 Nous remarquons donc qu’il est possible de construire des angles alternes-internes égaux. Mais les droites e et f ne sont pas parallèles comme dans la géométrie euclidienne, elles sont divergentes. La démonstration du théorème des angles alternes-internes égaux de la géométrie euclidienne utilise donc le postulat des parallèles d’Euclide. 4. Les cercles : Pour tracer des cercles dans notre modèle, nous avons utilisé la propriété que la trajectoire orthogonale, passant par un point P, à un faisceau de droites de centre O est un cercle de centre O et de rayon OP (fig. 15). Puisque dans notre modèle les droites sont des arcs de cercles perpendiculaires à l’horizon, un faisceau de droites devient un faisceau de cercles euclidiens orthogonaux à l’horizon. Faisceaux de cercles euclidiens : Soit un cercle α et une droite d. Ces deux éléments définissent un faisceau de cercles Φ contenant tous les cercles ayant comme axe radical commun d. Tous les cercles du faisceau ont leur centre sur la perpendiculaire p à d menée par le centre de α . En définissant un faisceau par deux cercles de base et leur axe radical il existe trois cas de figures à différencier : 1) Le faisceau de cercles à points fondamentaux (fig. 16): Les deux cercles de base α et β sont sécants en deux points A et B, se situant sur l’axe radical d. Tous les cercles du faisceau passent par A et B d’après la définition de l’axe radical. 2) Le faisceau de cercles tangents (fig. 17): Ce faisceau est un faisceau de cercle à un seul point fondamental A situé à l’intersection de l’axe radical et de la droite des centres. Tous les cercles tangents à d en A font partie de ce faisceau. 3) Le faisceau à points limites (fig. 18) Les deux cercles de bases α et β sont non sécants, l’axe radical d est donc extérieur aux cercles. Soit H le point d’intersection de p et d. On appelle points limites les cerclespoints du faisceau. Comme l’axe radical de deux cercles est le lieu géométrique des points desquels on peut tracer des tangentes aux deux cercles de longueurs égales et que tous les cercles du faisceau ont leur centre sur p, pour trouver les points limites I et I’ du faisceau il suffit d’abaisser une tangente issue de H, à un cercle du faisceau, sur p. 11 Cercles du faisceau à points limites passant par un point donné (fig. 19): Etant donné Φ un faisceau de cercle défini par deux points limites I et I’, soit d leur médiatrice (l’axe radical de deux cercles points), p la droite passant par I et I’ (le lieu géométrique des centres des cercles du faisceau Φ ) et P un point extérieur à d. Pour construire un cercle α passant par P et appartenant au faisceau Φ il faut : Tracer une droite s passant par P et coupant d en A, s’il existe un cercle passant par P, s est alors une sécante de α qui le coupe également en un point P’. Puisque l’axe radical est le lieu géométrique des points de même puissance par rapport au cercle du faisceau, P’ doit obéir à la règle suivante : AP·AP’=AI2. Il suffit alors de tracer le cercle β de centre A et de rayon AI puis la perpendiculaire en P de s pour trouver T le sommet du triangle rectangle en T, ATP’. Dans ce triangle le théorème d’Euclide nous dit que AP·AP’=AT2, P étant le pied de la hauteur issue de T, donc que AP·AP’=AI2. P’ est donc le point recherché. Le cercle α doit passer par P et P’ et être centré sur p, il suffit donc de tracer l’intersection entre la médiatrice de P et P’ et d pour trouver le centre O de α . Si s est tangent à α alors P et P’ sont confondus et se situent sur β . Faisceaux de cercles conjugués : La trajectoire orthogonale à un faisceau de cercle est un cercle. Deux faisceaux de cercles sont dits conjugués lorsque les cercles de l’un sont orthogonaux aux cercles de l’autre. Comme l’axe radical d’un faisceau est le lieu géométrique des points desquels on peut tracer des segments tangents aux cercles du faisceau, de longueurs égales, il est également le lieu géométrique des centres des cercles orthogonaux aux cercles du faisceau. Etant donné Φ un faisceau de cercles d’axe radical d et de droite des centres p, il faut distinguer trois cas : 12 1) Faisceau conjugué Γ d’un faisceau Φ à points limites I et I’ (fig. 20): Dans ce cas tous les cercles du faisceau conjugué Γ doivent passer par I et I’ car I et I’ sont des cercles-points du faisceau Φ et les cercles du faisceau Γ doivent leur être orthogonaux. Comme tous les cercles se coupent en I et I’, la droite p est leur axe radical. Ils constituent donc un faisceau à points fondamentaux I , I’ et à droite des centres d. 2) Faisceau conjugué Γ d’un faisceau Φ à points fondamentaux A et B : Le faisceau conjugué d’un faisceau à points limites étant un faisceau à points fondamentaux, le faisceau conjugué Γ d’un faisceau Φ à points fondamentaux A et B est un faisceau à points limites A et B. 3) Faisceau conjugué Γ d’un faisceau Φ de cercles tangents : Etant donné un faisceau Φ de cercles tangents à point fondamental A, à axe radical d et à droite des centres p. Le faisceau conjugué Γ est un faisceau de cercles tangents à point fondamental A, à axe radical p et à droite des centres d. Remarque : Comme nous l’avons dit en page 11, un cercle de centre O et de rayon OP est la trajectoire orthogonale à un faisceau de droites passant par P et ayant O comme centre. Nous avons vu qu’il existe trois types de faisceau de cercles : à deux points de base (sécants), à un point de base (tangent) et à points limites (non-sécant). Ce qui correspond à trois types de faisceau de droites hyperboliques : sécantes, parallèles et divergentes. Nous allons maintenant construire la trajectoire orthogonale à ces trois faisceaux de droites. 13 Construction d’un cercle ω de centre C, passant par un point P (fig. 22) : Soit P et C deux points du plan et C’ l’inverse de C par rapport à l’horizon γ . Les droites hyperboliques passant par C constituent un faisceau Φ à points de base C et C’. Le cercleω est le cercle du faisceau conjugué à points limites C et C’, passant par P (cf. fig. 19). Son centre C ne correspond pas avec le centre euclidien O’. Horicycle (fig. 23) : En remplaçant le faisceau à points fondamentaux Φ par un faisceau de cercles tangents à point fondamental C, nous obtenons la construction suivante : Le cercle ω est tangent à γ car il fait partie du même faisceau de cercles tangents Γ , luimême, conjugué du faisceau de cercles tangents Φ contenant les droites hyperboliques. Comme γ fait partie du faisceau de cercles Γ , C est sur son périmètre. C est donc un point idéal. Et les droites hyperboliques sont des parallèles. ω n’est donc pas un cercle, c’est la trajectoire orthogonale à un faisceau de parallèles. 14 Etant donné d, d’, d’’,… un faisceau de droites parallèles (fig. 23’) et D un point de d. Soit D’ le point de d’ tel que DD’ fasse avec d et d’ des angles coaxiaux égaux. Le lieu des points D’ est une courbe appelée « horicycle ». La courbe que nous avons trouvée est donc un horicycle, nous remarquons que dans notre modèle il se dessine par un cercle. Ce qui est intéressant c’est que le centre non-euclidien de ce cercle est un point idéal, on peut dire qu’il est à l’ « infini » et donc que l’horicycle est un cercle de rayon infini. En géométrie euclidienne un horicycle est également un cercle de rayon infini, c’est-à-dire une droite (fig. 23’’). Équidistantes (fig. 24) : Il nous reste donc à voir le cas où le faisceau Φ de droites hyperboliques est un faisceau de cercles à points limites I et I’: Comme le cercle γ fait partie du faisceau conjugué Γ à points fondamentaux I , I’ , il doit passer par I et I’ ainsi que tous les cercles du faisceau Γ . Le faisceau Φ est un faisceau à points limites, les cercles de ce faisceau sont donc non-sécants. Les droites hyperboliques forment donc un faisceau de droites divergentes, elles ont ainsi une perpendiculaire commune. La trajectoire que nous trouvons dans ce cas n’est ni une droite ni un cercle ou un horicycle, c’est une courbe passant par I et I’, appelée équidistante car c’est le lieu géométrique des points à même distances non-euclidienne de la droite hyperbolique ayant comme extrémités I et I’. Cette droite hyperbolique est la perpendiculaire commune aux droites du faisceau Φ . Son centre O’se trouve à l’intersection de d et de l’axe radical a entre un des cercles du faisceau Φ et de γ . Il est intéressant de remarquer que les segments euclidiens II’ (les cordes de γ ) se traduisent dans notre modèle comme des équidistantes aux droites hyperboliques de points idéaux I,I’. 15 Par trois points non alignés hyperboliquement A, B et C il peut donc passer soit un cercle soit un horicycle soit une équidistante, suivant que le cercle euclidien qui passe par ces trois points soit contenu dans le plan, tangent ou sécant avec l’horizon (fig. 25), contrairement à la géométrie euclidienne où un cercle peut toujours passer par trois points nonalignés. Comme nous l’avons remarqué au paragraphe précédent lorsque trois points sont alignés euclidiennement la corde qui passe par ces trois points est une équidistante. 5. Les isométries : Les isométries sont des transformations géométriques qui conservent les distances et les angles. En géométrie euclidienne nous connaissons quatre isométries : la symétrie, la rotation, la translation et le glissement. Elles peuvent toutes être effectuées avec un certain nombre de symétries. La symétrie (fig. 26) : La symétrie est l’isométrie la plus fondamentale après l’identité. Cette transformation s’effectue à l’aide d’une droite qui sert d’axe de symétrie. L’image P’ de P est renvoyée par la symétrie d’axe d notée Sd. On a :δ (P,d) = δ (P’,d) La rotation (fig. 27) : Cette transformation est la composée de deux symétries d’axes sécants. Etant donné deux droites d et e sécantes en O formant un angleα en ce point, et un point P du plan. La rotation de P autour de O d’un angle 2α donne l’image P’’. Cette rotation est la composition des deux symétries successives Sd● Se=RO. Lorsque l’angle formé par les deux droites est droit, la rotation est de 180°, on l’appelle alors symétrie centrale ou demi-tour. La translation (fig. 28) : Cette transformation est également la composition de deux symétries mais d’axe ayant une perpendiculaire commune. Soit d et e deux droites ayant t comme perpendiculaire commune et P un point du plan. d et e coupent t en A et B. La translation de P le long de t de distance 2AB qui donne l’image P’’ est la composée des deux symétries Sd● Se=Tt . 16 Le glissement (fig. 29) : Le glissement est la succession d’une translation le long d’une droite t, suivie d’une symétrie relativement à cette même droite. Tt● St=Gt. C’est un glissement de longueur 2AB et d’axe t. Théorèmes : 1 Toute isométrie est obtenue en composant au plus trois symétries. 2 La composition de trois symétries selon des axes appartenant à un même faisceau est une symétrie. Si les axes n’appartiennent pas au même faisceau alors c’est un glissement. Les isométries dans le modèle du disque de Poincaré : La symétrie : Lorsque nous effectuons une symétrie axiale en géométrie euclidienne nous partageons le plan en deux espaces semi-infinis et n’importe quel point de l’un a son image dans l’autre. Dans notre modèle la transformation qui représente la symétrie est l’inversion. Ceci se remarque bien lorsque l’on divise un espace H (fig. 30) en deux par une droite hyperbolique quelconque, que l’on meut un point dans une des parties de l’espace et que l’on voit son inverse effectuer la même trajectoire non-euclidienne dans l’autre (fig. 30, 30’ et 30’’). Il ne parcourt pas la même distance au point de vue euclidien mais au point de vue non-euclidien les points remplissent des espaces égaux. Nous constatons que tout point de l’espace H’’ a un inverse dans H’ et donc que H’’ est symétrique à H’’. Les deux espaces H’ et H’’ sont égaux. Soit (fig. 31) un triangle hyperbolique ABC et une droite hyperbolique d .Si nous construisons le symétrique du triangle ABC par rapport à l’axe d nous obtenons un triangle A’B’C’, A’ étant l’inverse de A, B’ l’inverse de B et C’ l’inverse de C. Les triangles 17 ABC et A’B’C’ sont égaux leurs aires ainsi que leurs côtés et leurs angles sont égaux. Une transformation qui conserve les angles est appelée conforme, la symétrie ainsi que l’inversion sont des transformations conformes. La rotation (fig. 32) : La rotation dans notre modèle s’effectue de la même manière que dans la géométrie euclidienne. Etant donné deux droites hyperboliques sécantes formant un angle de 30 degrés en H et un triangle hyperbolique ABC, si nous construisons l’image de ce triangle par la composition d’une symétrie d’axe d et d’axe e, nous obtenons un triangle A’’B’’C’’. Ce dernier est l’image de ABC par une rotation de 60 degrés au tour de H. Sd● Se=RH. Lorsque l’angle formé par les deux droites est droit la rotation est de 180°. Sur la figure 33 nous constatons que un tour complet reste une rotation de 360 degrés. Classification des isométries : Suivant les théorèmes que nous avons énoncés précédemment, nous avons classifié la composition de trois symétries d’après l’appartenance de leur axe aux différents faisceaux. Puis nous avons vérifié la véracité du second théorème dans la géométrie non-euclidienne en cherchant l’axe de symétrie résumant les trois symétries. 18 Faisceau de droites sécantes (fig. 34): En prenant un triangle ABC et trois droites d, e, f se coupant en P et donc appartenant à un faisceau à points fondamentaux P et P’. Et en effectuant Sd● Se● Sf =RP du triangle ABC nous trouvons A’’’B’’’C’’’. L’axe résumant les symétries est la médiatrice de AA’’’, MP. En effet : Sd● Se● Sf =SMP. Pour trouver cette droite MP il faut trouver son centre N à l’intersection de la droite euclidienne AA’’’ et de la droite des centres des cercles du faisceau. Son rayon est NP. Nous pouvons également remarquer que si l’on déplace A sur la droite hyperbolique AA’’’, le point A’’’ reste sur la droite AA’’’. L’image de la demi-droite MA par une symétrie d’axe MP donne la demi-droite MA’’’. La droite AA’’’ est donc une droite qui ne varie pas avec la symétrie, c’est une invariante. Cette droite est perpendiculaire à MP. En géométrie euclidienne cette remarque est également valable, lors d’une symétrie, les droites perpendiculaires à l’axe sont invariantes. Nous pouvons donc dire que, comme en géométrie euclidienne, lors d’une transformation composée d’un nombre impair de symétries d’axes sécants il existe un axe, appartenant au faisceau formé par les axes sécants, qui résume toutes les symétries. Les droites appartenant au faisceau conjugué sont des invariantes car elles sont perpendiculaires à tous les axes de symétries. L’axe MP est aussi invariant. Si le nombre de symétries est pair il faut deux symétries pour remettre le triangle ABC dans l’ordre. 19 Faisceau de droites divergentes (fig. 35) : Si les axes d, e et f de symétrie forment un faisceau de droites divergentes, nous avons donc une perpendiculaire commune p. La transformation étant la composée de deux de ces symétries est donc une translation. L’axe résumant ces trois symétries est ML Sur cette figure Sd● Se● Sf =SML, L étant l’intersection de la médiatrice de AA’’’ avec p. Pour la tracer, il faut trouver son centre N, à l’intersection de la droite euclidienne AA’’’ avec la droite des centres du faisceau. Puis son rayon est trouvé en cherchant un cercle centré en N et perpendiculaire à p. Les mêmes remarques que pour le cas du faisceau de droites sécantes sont valables. 20 Faisceau de droites parallèles (fig. 36) : Dans la géométrie euclidienne un faisceau de droites parallèles a une perpendiculaire commune. La transformation étant une composée de symétries d’axes parallèles est donc une translation le long de cette perpendiculaire. Or dans la géométrie hyperbolique un faisceau de droites parallèles n’a pas de perpendiculaire commune, il existe alors une autre isométrie, c’est le déplacement parallèle autour d’un point idéal. Sur la figure 36 nous avons un déplacement parallèle du triangle ABC autour du point idéal P. Nous pouvons également faire les mêmes remarques que dans les deux exemples précédents : Sd● Se● Sf =SMP. Pour trouver MP, la médiatrice de AA’’’, il faut à nouveau tracer la droite AA’’’ pour trouver son centre. Son rayon est NP. 21 Les glissements (fig. 37) : Il reste un cas qui n’est pas réductible suivant le second théorème, c’est le glissement. Cette isométrie est obtenue par trois symétries, dont les axes n’appartiennent pas au même faisceau de cercles. L’axe du glissement p est la seule droite invariable de cette transformation, car il est invariant dans la translation (appartient au faisceau conjugué) et dans la symétrie. Remarque : Les isométries dans notre modèle restent donc semblables aux isométries en géométrie euclidienne à l’exception qu’elles se précisent dans notre modèle avec l’apparition d’un nouveau type d’isométrie : le déplacement parallèle. En géométrie euclidienne cette isométrie est confondue avec la translation. 22 Conclusion : Tout ce travail nous a permis de découvrir que la géométrie euclidienne étudiée à l’école est loin d’être l’unique Vérité, bien qu’elle s’applique très bien à notre espace de tous les jours. En effet il existe d’autres géométries parfaitement cohérentes qui ont permis d’approfondir et de remettre en question la géométrie et surtout notre espace. Ces nouvelles géométries ont permis également de modéliser des définitions impossibles à représenter auparavant, par exemple, et un exemple pas des moindres, celui des distances infinies (cf. illustration de couverture, la mosaïque est infinie). La géométrie non-euclidienne permet effectivement de reproduire des espaces sans limites et parfaitement finis. Nous pouvons faire tenir une longueur aussi grande que nous le voulons dans notre modèle. Cette géométrie a ouvert de grandes portes aux nouvelles interprétations du monde qui nous entoure. Einstein, par exemple, s’est servi de ce genre de modélisations pour rendre interprétable sa théorie de la relativité qui décrit l’espace comme un espace courbe, nous vivrions sur une partie tellement petite de cette espace que pour nous il serait euclidien. En effet, si nous faisons tendre le rayon du disque de Poincaré vers l’infini, sa géométrie devient euclidienne. 23 Bibliographie : Source : - EUCLIDE D’ALEXANDRIE, Les Éléments : volume1. Introduction générale ; Livre I à IV, trad. du texte de Heiberg ; trad. et commentaires par Bernard Vitrac, Paris : Presse Universitaire de France, 1990. Ouvrages généraux : - DELTHEIL Robert, CAIRE D., Géométrie et compléments, Sceaux : réédition Jacques Gabay, 1989. - FAVEZ Emmanuel, HEIMBERG Gérard, NICOLLERAT Marc, Compléments sur le cercle, cours de mathématique, Gymnases Cantonaux Vaudois, 1982. - GREENBERG M., Euclidean and Non-Euclidean Geometries, New-York : W. H. Freeman and Company, 1980. Ouvrages particuliers : - « Au-delà du visible l’infini? », in Science & Vie, n° 1009 (Octobre 2001), pp 66-68. - « La nouvelle géométrie », in Pour la Science, Hors série Les Génies de la Science n° 12 ( Août – Novembre 2002), pp 73-80. Sites internet : - http://www.cabri.net - http://chronomath.irem.univ-mrs.fr 24
