1 1.1 Notions de base -Le cas équiprobable : dénombrement Ensemble fondamental et événement L’ensemble fondamental est l’ensemble qui contient tout les résultats possibles d’une expérience. C’est un ensemble abstrait. On note par ! 2 ses éléments, les événements fondamentaux. Exemples L’ensemble fondamental pour un jet de dés peut être représenté par = f! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; ! 4 ; ! 5 ; ! 6 g où ! i représente l’événement "le dé montre la face i". On pourrait aussi le représenter par = f1; 2; 3; 4; 5; 6g mais cela provoque une confusion : le symbole 1 n’est pas un chi¤re, on ne peut pas les additionner ! L’ensemble fondamental pour le jet de deux dés distinguables sera donné par = f(i; j) : i; j = 1; :::; 6g : Un événement est sous-ensemble de , comme A = f2; 4; 6g = f1; 2; 3; 4; 5; 6g l’événement "obtenir un chi¤re pair au dé". C’est un ensemble, pas un élément ! L’événement "obtenir un 1" est donc A = f1g pas A = 1 La probabilité de l’événement A dénote la "proportion théorique" des fois où A se produit. Si on répétai la même expérience une in…nité de fois, on aurai nb. des fois où A se produit ! P(A) nb. total d’essais On peut aussi voir la probabilité comme une mesure de masse sur . Elle a¤ecte un poid (ou une densité de masse) à chaque élément de (événement fondamental). La probabilité de A n’est alors que la somme des poids des éléments de A. 1 1.2 Le cas équiprobable Dans le cas où tout chaque événement fondamental a la même probabilité d’arriver, la probabilité d’un événement A est proportionnelle à son cardinal jAj, son nombre d’éléments. On a alors jAj j j soit …ni ! P(A) = Attention : Il faut que Exemple: Jet d’un dé Soit = f! 1 ; ! 2 ; ! 3 ; ! 4 ; ! 5 ; ! 6 g. Si A est l’événement "obtenir 5 ou plus", A = f! 5 ; ! 6 g et P(A) = 62 = 13 . Exemple : Somme de deux dés Soit = f! 1 ; ! 2 ; :::; ! 12 g :Si A est l’événement "obtenir 11 ou plus", 2 . En e¤et, nous ne sommes pas dans un A = f! 11 ; ! 12 g mais P(A) 6= 12 cas équiprobable car s’il y a une seule façon d’obtenir 12 ((6; 6)) il y a deux façons d’obtenir 11 ((6; 5) et (5; 6)). Soit = f(i; j) : i; j = 1; :::; 6g. Si A est l’événement "obtenir une 3 = 14 . Nous somme de 11 ou plus", A = f(6; 5); (5; 6); (6; 6)g et P(A) = 12 sommes bien ici dans un cas équiprobable. 1.3 Théorème de décomposition : Soit une expérience se décompose en deux parties, que la première partie a N1 résultats possibles et que, pour chaque résultat de la première partie, la seconde partie à N2 résultats possibles, le nombre total de résultats possibles de l’expérience est de N1 :N2 . Si l’expérience se décompose en r parties telles que, pour chaque combinaison de résultats des parties 1 à j 1; la partie j a Nj résultats possibles, alors le nombre de résultats possibles de l’expérience est N1 :N2 :::Nr : 1.4 Dénombrement Factoriel : c’est le nombre de façon d’ordonner n objets. n! = n (n 1) (n 2) :::3:2:1 Remarque : 0! = 1! = 1 Permutation : Pkn , c’est le nombre de rangement ordonnés de k objets parmis n. n! (n k)! = n (n 1) (n 2 2) ::: (n k + 1) C’est aussi le nombre de k-uples ordonnés possibles avec n objets, ou encore le nombre de façon d’ordonner les k premiers objets d’une collection de n. | x1 x2 x3 " " " n n 1 ......... xk " n 2 n k+1 {z n(n 1)(n 2):::(n k+1) ......... }| {z (n k)! possibilités } n ou Cnk ; c’est le nomk bre de rangements non ordonnés (paquets) de k objets sur n. Combinaison ou coe¢ cient binomial : n k = Pkn n! = k! k! (n k)! C’est aussi le nombre de groupes de k objets possibles parmis n, ou encore le nombre de façon d’obtenir k objets d’une collection de n. x1 x2 .. . x2 x1 .. . x3 x3 .. . xk xk .. . x3 x5 x1 xk 9 > > > = k! ordres possibles .. . > > > ; .. . Propriétés : n k = n n k ; n X n k = 2n ; k=1 n 0 =1 n ; c’est le nombre de façon n1 n2 :::nr de regroupe n objets en r groupes de tailles respective n1 ; n2 ; :::; nr (avec n1 + n2 + ::: + nr = n). Coe¢ cient multinomial : n n1 n2 :::nr = n! n1 !n2 !:::nr ! Remarque : le coe¢ cient binomial est un coe¢ cient multinomial avec r = 2. Exemple : Calculer le nombre de façon d’arranger les lettres du mots MISSISSPPI. Il y a 11 lettres : 4S, 4I, 2P et 1M. 11 Pour placer les S, il y a 11 places libres, donc il y a possibilités. 4 3 Ensuite, pour placer les I, il reste 7 places de libres, donc il y a 7 4 possibilités. Ensuite, pour placer les P, il reste 3 places de libres, donc il y a 3 2 possibilités. En…n, pour placer le M, il reste 1 place de libre, donc il y a 1 1 possibilités. En tout, il y a donc 11 4 2 7 4 3 2 1 1 11 4 = 7 4 3 2 1 1 possibilités, cíest-à-dire 11! 11! 7! 3! 1! = = 4!7! 4!3! 2!1! 1!0! 4!4!2!1! 11 : 4421 Interprétation ensembliste des événements - Axiomes des probabilités Le diagramme de Venn est un moyen de représenter graphiquement les événements. On représente en général par un rectangle et les événements par des formes rondes ou rectangulaire à l’intérieur. 2.1 Interprétation des relations ensemblistes en termes d’événements Relation Interprétation ensembliste A B si ! 2 ; alors ! 2 A\B f! 2 : ! 2 A et ! 2 Bg A[B f! 2 : ! 2 A ou ! 2 Bg c A; A f! 2 : ! 2 =Ag AnB f! 2 : ! 2 A et ! 2 = Bg A4B (A [ B) n (A \ B) 4 Nomenclature Evénement A inclus dans B si A, alors B (A =) B) A inter B A et B A union B A ou B (ou les deux) A complémentaire non A A privé de B A mais pas B di¤érence symétrique A ou bien B mais pas les deux 2.2 Propriétés des événements A [ Ac = ; A n B = A \ Bc (A [ B) [ C = A [ (B [ C) = A [ B [ C (A \ B) \ C = A \ (B \ C) = A \ B \ C Les lois de Morgan (A [ B)c = Ac \ B c et (A \ B)c = Ac [ B c (A [ B) \ C = (A \ C) [ (B \ C) et (A \ B) [ C = (A [ C) \ (B [ C) Deux événements A et B sont incompatibles ou mutuellement disjoints si leur intersection est vide (A \ B = ). C’est-à-dire que A et B ne peuvent pas se produire en même temps. 2.3 Axiomes des probabilités Soit F l’ensemble des parties de , c’est-à-dire la collection des sousensembles de : Une probabilité sur est une fonction P : F ! [0; 1] telle que (1) P( ) = 1 (2) 0 P(A) 1 pour tout A 2 F 5 (3) Pour toute suite d’événements incompatibles E1 ; E2 ; ::: on a P 1 [ i=1 Propriétés : Ei ! = 1 X P (Ei ) : i=1 P( ) = 0; si A B alors P(A) P(B) P(Ac ) = 1 P(A) P(A [ B) = P(A) + P(B) P(A \ B) Attention : P(A n B) = P(A) 3 P(A \ B) pas P(A) P(B) !! Probabilité conditionnelle -Probabilités totales Théorème de Bayse 3.1 Probabilité conditionnelle La probabilité conditionnelle de A sachant B est P (A j B) = P (A \ B) ou également P(A j B) = P(A \ B)P(B): P (B) En termes fréquentistes, c’est la proportion de fois où A se produit quand B se produit aussi. Intuitivement, comme on a de l’information sur B (sait que B c’est produit), on recalcule la "chance" que A se soit produit aussi. Puisqu’on sait que B s’est produit, l’ensemble se réduit à B et l’événement A se réduit à A \ B. Exemple : La probabilité d’un événement est ici proportionelle à son aire (d’un facteur K1 ). 6 Dans ce cas l’aire doublement hachurée (c’est-à-dire A \ B) correspond à 13 de l’aire de B et 21 de l’aire de A, donc P (A j B) = 13 et P (B j A) = 12 . ; P(B) = 48 et P(A \ B) = 16 donc Par calcul on trouve P(A) = 32 K K K 16 16 K K P (A j B) = 48 = 13 et P (B j A) = 32 = 12 . K K Récurence du conditionnement : La formule se généralise au cas de plusieurs événements P(E1 \E2 \:::\En ) = P (E1 j E2 \ ::: \ En ) P(E2 j E3 \:::\En ):::P(En 3.2 1 j En )P (En ) Probabilités totales Puisqu’on peut décomposer l’événement A suivant que l’événement B se produise ou non (A = (A \ B) [ (A \ B c )), on a P(A) = P(A \ B) + P(A \ B c ) ou également P(A) = P (A j B) P(B) + P (A j B c ) P(B c ): La formule des probabilités totales est une généralisation de cela et s’écrit, pour E1 ; :::; En des événements disjoints deux à deux (Ei \ Ej = 8i; j) tels que E1 [ ::: [ En = (une partition de ) on a 7 P(A) = P(A\E1 )+:::+P(A\En ) = P(A j E1 )P(E1 )+:::+P(A j En )P(En ): On peut également la voir sous forme d’arbre, ici pour trois événements E1 ; E2 ; E3 ; Exemple : On dispose de trois pièces de monnaie, une avec deux faces, un avec deux piles et une régulière avec une face et un pile. On choisit une pièce au hasard et on la lance. L’arbre de probabilité est La probabilitÈ díobtenir un pile est donc P(P ) = P(P j F F )P(F F )+ P(P j P P )P(P P ) + P(P j P F )P(P F ) = 0: 13 + 1: 31 + 12 : 31 = 12 : 8 3.3 Algèbre Les axiomes de probabilité restent vrais pour l’événement à gauche mais pas pour celui à droite. Cíest-à-dire qu’on peut faire des opérations sur les événements à gauche de la barre de conditionnement "j" mais jamais à droite de la barre !! P (A j B) = 1 P (Ac j B) mais PAS 1 P (A j B c ) Cela marche aussi avec les probabilités conditionnelles P(A j B) = P(A\C j B)+P(A\C c j B) = P(A j C\B)P(C j B)+P(A j C c \B)P(C c j B): 3.4 Théorème de Bayse Ce résultat permet de "renverser le conditionnement" c’est-à-dire d’exprimer P(A j B) en fonction de P(B j A). P (A j B) = P(B j A)P(A) P (A \ B) = P (B) P(B j A)P(A) + P(B j Ac )P(Ac ) Il se généralise, si E1 ; :::; En forment une partition de 4 , en P(B j A)P(A) : P (A j B) = Pn i=1 P(B j Ei )P(Ei ) Indépendance Deux événements A et B (de probabilité non nulle) sont indépendants si P(A j B) = P(A) ou également si P(B j A) = P(B) ou encore si P(A \ B) = P(A)P(B). Intuitivement cela veut dire que l’information dont on dipose sur B ne change rien à la "chance" que A se soit produit ou non. L’événement A se produit donc sans lien avec l’événement B (souvent c’est parce que A et B sont basés sur deux choses sans lien entre elles comme, pour une carte tirée au hasard d’un jeu, sa couleur et sa hauteur). Exemple : La probabilité d’un événement est ici proportionelle à son aire. 9 Ici, P(A) = 1=4 et P(A j B) = 1=4 également, donc A et B sont indépendents. En e¤et, ici B dépends de la distance au centre, alors que A dépends de l’angle au centre. Propriété : Si A et B sont indépendents, alors A et B c , Ac et B, ainsi que Ac et B c le sont aussi. Plusieurs événements E1 ; :::; En sont indépendants si P(Eim ) = P(Ei1 ):::P(Eim ) pour tout choix de Ei1 ; :::; Eim parmis E1 ; :::; En . Attention : plusieurs événements peuvent être indépendents deux à deux sans être indépendants. Exemple : considérons le jet de deux pièces di¤érenciables et les événements A = "la première pièce tombe sur pile"; B = "la deuxième pièce tombe sur pile"; C = "les deux pièces ont un résultat di¤érent". Alors A est indépendant de B; C est indépendant de B; A est indépendant de C. Donc A, B et C sont indépendans deux à deux mais ils ne sont pas indépendants ensembles car, si l’on sait que C s’est produit, alors l’on sait que A \ B ne s’est pas produit. 10