Algorithmique Avancée

Algorithmique Avancée
Master Informatique M1-STL
Enseignants de cours :
Maryse Pelletier, Maryse.P[email protected]
Olivier Bodini, Olivier[email protected]
Supports de cours : Michèle Soria
Année 2007-2008
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Présentation Organisation
Contenu
Organisation
Le site : http ://www-master.ufr-info-p6.jussieu.fr/2007
L’équipe pédagogique :
Cours : Maryse Pelletier et Olivier Bodini
TD-TME : G1 : Maryse Pelletier ; G2 : Olivier Bodini ;
G3 : Guénaël Renault et Safia Kedad ;
G4 : Phliippe Trébuchet
Les séances :
10 semaines (TDs décalés d’une semaine vs cours)
des séances de TME
partiel semaine du 29 octobre
fin des enseignements le 7 décembre
examen session 1 semaine du 17 décembre
examen session 2 semaine du 21 janvier
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Contenu
Organisation
La note :
0.4 CC + 0.6 Exam
CC = 0.25 TME1 + 0.25 TME2 + 0.5 Partiel
L’évaluation des TME :
un rapport écrit
une soutenance orale (semaine du 5 novembre pour TME1)
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Contenu
Plan du cours
Structures de données avancées
Files Binomiales et Fibonacci
Arbres-B et Hachage
Algorithmique géométrique
Enveloppe convexe
triangulations de Delaunay
Algorithmes sur les graphes
Composantes fortement connexes
Chemins minimaux et flots maximaux
NP-complétude et réduction entre problèmes
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Contenu
Bibliographie
T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, C. Stein
Introduction à l’algorithmique,
C. Froidevaux, M-C. Gaudel, M. Soria
Types de données et algorithmes
D. Beauquier, J. Berstel, P. Chrétienne
Eléments d’algorithmique
Algorithmique Avancée
Files de Priorités
Arbres binômiaux
Files binomiales
Algorithme d’union
Autres opérations
Plan du Cours 1
CHAPITRE 1 : Union de Files de Priorités
Files Binomiales et Files de Fibonacci (TD)
Opérations sur les files de priorités
Arbres binomiaux : définition et propriétés
Files binomiales : définition et propriétés
Union de 2 files binomiales : algorithme, complexité
logarithmique
Autres opérations sur les files binomiales (complexité
logarithmique)
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Files de Priorités
Arbres binômiaux
Files binomiales
Algorithme d’union
Autres opérations
Définition
Applications
Opérations sur les files de priorités
Ensemble d’éléments
Chaque élément a une clé
Ordre total sur les clés
Opérations
Ajouter un élément
Supprimer l’élément de clé minimale
Union de 2 files de priorités
Construction
Modification d’une clé
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Files de Priorités
Arbres binômiaux
Files binomiales
Algorithme d’union
Autres opérations
Définition
Applications
Représentations et Efficacité
Nombre de comparaisons dans le pire des cas
Liste triée Tas (Heap) File Binomiale
Supp Min (n) O(1)O(log n)O(log n)
Ajout (n) O(n)O(log n)O(log n)
Construction (n) O(n2)O(n)O(n)
Union (n, m) O(n+m)O(n+m)O(log(n+m))
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Files binomiales
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Autres opérations
Définition
Applications
Applications des Files de priorité
Tri heapsort
Sur les graphes
plus court chemin à partir d’une source (Dijkstra)
plus court chemin entre tous les couples de sommets
(Johnson)
arbre couvrant minimal (Prim)
Interclassement de listes triées
Code de Huffmann (compression)
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Autres opérations
Définition – Propriétes
Arbre binomial- Définition
Un arbre binomial pour chaque entier positif.
Définition par récurrence
B0est l’arbre réduit à un seul nœud,
Étant donnés 2 arbres binomiaux Bk, on obtient Bk+1en
faisant de l’un des Bkle premier fils à la racine de l’autre
Bk.
Exemples : dessiner B0,B1,B2,B3,B4
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Files binomiales
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Autres opérations
Définition – Propriétes
Arbre binomial - Propriétés
Propriétés de Bk, (k≥0)
1Bka 2knœuds
2Bka 2k−1 arêtes
3Bka hauteur k
4Le degré à la racine est k
5Le nombre de nœuds à profondeur iest !k
i"
6La forêt à la racine de Bkest <Bk−1,Bk−2, . . . , B1,B0>
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Autres opérations
Définition – Propriétes
Arbre binomial - Preuves
1n0=1 et nk=2nk−1
2arbre : xnœuds ⇒x−1 arêtes
3h0=0 et hk=1+hk−1
4d0=0 et dk=1+dk−1
5nk,0=1, nk,l=0 pour l>k, et nk,i=nk−1,i+nk−1,i−1,
pour i=1, . . . , k
6propriété de décomposition, par récurrence sur k
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Arbres binômiaux
Files binomiales
Algorithme d’union
Autres opérations
Définition
Propriétes
Principe de l’union
File Binomiale
Tournoi Binomial
Un tournoi binomial est un arbre binomial étiqueté croissant
(croissance sur tout chemin de la racine aux feuilles)
File Binomiale
Une file binomiale est une suite de tournois binomiaux de
tailles strictement décroissantes
Exemples :
FB12 =<TB3,TB2>,
FB7=<TB2,TB1,TB0>
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Définition
Propriétes
Principe de l’union
Représentation d’une file de priorité
Représentation d’une file de priorité Pde néléments
si n=2k,Ptournoi binomial
sinon Pfile binomiale, suite de tournois correspondants
aux bits égaux à 1 dans la représentation binaire de n.
Représentation binaire de n
n=
"log2n#
$
i=0
bi2i,avec bi∈{0,1},b"log2n#=1
ν(n) = #ibi: # bits à 1 dans représentation binaire de n.
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Autres opérations
Définition
Propriétes
Principe de l’union
File binomiale - Propriétes
Propriétés de FBn
1FBnannœuds
2FBnan−ν(n)arêtes
3Le plus grand arbre de la file est B"log2n#
(hauteur $log2n%et nombre de nœuds 2"log2n#)
4Le nombre d’arbres de la file est ν(n)(avec
ν(n)≤1+$log2n%)
5Le minimum de la file est à la racine de l’un des arbres
1n=#bi2i,
2n−ν(n) = #bi(2i−1),
3ν(n) = #ibi
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Autres opérations
Définition
Propriétes
Principe de l’union
Union de files binomiales
1Union de 2 tournois de tailles différentes :
TBk1∪TBk2−→ F2k1+2k2=<TBk1,TBk2>
Exemple : TB1∪TB2
2Union de 2 tournois de même taille :
TBk∪TBk!−→ TBk+1,
avec rac(TBk+1) = min(rac(TBk),(rac(TBk!)))
Exemple : TB2∪TB$
2
3Union de 2 files binomiales ≡≡ addition binaire
Exemple : FB5∪FB7
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Files binomiales
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Autres opérations
Définition
Propriétes
Principe de l’union
Union de deux files
1interclasser les 2 files en partant des tournois de poids
minimum
2lorsque 2 tournois de taille kon engendre un tournoi de
taille k+1
3à chaque étape au plus 3 tournois de même taille à
fusionner (1 dans chacune des files + 1 retenue de la
fusion à l’étape précédente)
4lorsque 3 tournois de taille kon en retient 2 pour
engendrer un tournoi de taille k+1, et l’on garde le
troisième comme tournoi de taille k.
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Files de Priorités
Arbres binômiaux
Files binomiales
Algorithme d’union
Autres opérations
Primitives
Algorithme
Complexité
Primitives sur les tournois binomiaux
EstVide : TournoiB →booleen
renvoie vrai ssi le tournoi est vide
Degre : TournoiB →entier
renvoie le dégré du tournoi
UTid : TournoiB * TournoiB →TournoiB
renvoie l’union de 2 tournois de même taille Tk∗Tk,→ Tk+1
Decapite : TournoiB →FileB
renvoie la file binomiale obtenue en enlèvant la racine du
tournoi Tk,→<Tk−1,Tk−2, ..., T1,T0>
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Files de Priorités
Arbres binômiaux
Files binomiales
Algorithme d’union
Autres opérations
Primitives
Algorithme
Complexité
Primitives sur les files binomiales
EstVide : FileB →booleen
renvoie vrai ssi la file est vide
Min : FileB →TournoiB
renvoie le tournoi de poids minimal de la file
Reste : FileB →FileB
renvoie la file privée de son tournoi de poids minimal
AjoutMin : TournoiB * FileB →FileB
hypothèse : le tournoi est de poids inférieur au Min de la file
renvoie la file obtenue en ajoutant le tournoi comme
tournoi de poids minimal de la file initiale
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Autres opérations
Primitives
Algorithme
Complexité
Algorithme d’Union
UnionFile : FileB * FileB −→ FileB
renvoie la file binomiale union des deux files F1 et F2
Fonction UnionFile(F1, F2)
Retourne UFret(F1, F2, Ø)
FinFonction UnionFile
UFret : FileB * FileB * TournoiB −→ FileB
renvoie la file binomiale union de deux files et d’un tournoi
Fonction UFret(F1, F2, T)
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