Table des matières

Table des matières
I Rappels de probabilités 4
I.1 Espacedeprobabilité............................. 4
I.2 Variablealéatoire............................... 5
I.2.1 Loi d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
I.2.2 Espérance d’une variable aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
I.2.3 Variance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.3 Indépendance................................. 7
I.3.1 Indépendance d’évenements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I.3.2 Indépendance de tribus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.3.3 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.4.1 Conditionnement par rapport à un événement . . . . . . . . . . . . 8
I.4.2 Conditionnement par rapport à une variable aléatoire discrète Y . . 9
I.4.3 Conditionnement par rapport à une v.a. Y continue . . . . . . . . . 9
I.4.4 Conditionnement par rapport à une tribu G............. 9
I.5 Convergences de suites de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II Généralités 12
II.1 Processus stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.2 Classification de Processus stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1

II.2.1 Processus à accroissements indépendants et stationnaires . . . . . . 13
II.2.2 Processus stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III Processus de Poisson 15
III.1 Processus ponctuels et fonction de comptage . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
III.2Processusdepoisson ............................. 16
III.3Lestempsd’arrivées ............................. 17
III.4 Superposition de Processus de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
III.5 Décomposition d’un processus de poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
III.5.1 paradoxe de l’autobus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
IV Chaînes de Markov 20
IV.1 Définition et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
IV.2 Proprièté forte de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
IV.2.1 Tempsd’arrêt............................. 23
IV.2.2 Propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
IV.3 Classification des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
IV.3.1 Etat récurrent et état transitoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
IV.3.2 Classes ................................ 26
IV.3.3 Période ................................ 27
IV.4 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV.4.1 Cas récurrent irréductible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
IV.4.2 Chaînes apériodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
V Processus Markovien de saut 30
V.1 Définition et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
V.2 propriété de Markov forte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
V.2.1 Tempsd’arrêt............................. 32
2

V.3 Générateur infinitésimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
V.3.1 Temps passé dans un état . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
V.3.2 Chaîne de Markov incluse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
V.3.3 Equations de Kolmogorov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
V.4 Mesures invariantes et Théorèmes limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
V.4.1 Classification des états . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
V.4.2 Le cas irréductible récurrent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
V.4.3 Théorèmeslimites .......................... 36
3

Chapitre I
Rappels de probabilités
I.1 Espace de probabilité
Un espace de probabilité est un triplet (Ω,F,P )où:
–Ωest l’ensemble de tout les résultats associés à une expérience.
–Fest une tribu sur Ω, i.e. Fest un ensemble de sous ensemble de Ω, appelés événe-
ments, tel que:
(i) ∅ ∈ F et Ω∈ F,
(ii) A∈ F ⇒ Ac∈ F,
(iii) Si An∈ F pour n= 1,2,..., alors +∞
[
n=1
An∈ F
– P est une mesure de probabilité sur (Ω,F), c’est-à-dire, P est une application de F
dans [0,1] telle que:
(a) P(∅) = 0 et P(Ω) = 1,
(b) P(
+∞
[
n=1
An) =
∞
X
n=1
P(An), pour toute famille {An,n ∈N}d’événements disjoints
deux à deux.
Les axiomes (i) et (ii) impliquent que +∞
\
n=1
An∈ F.
Les axiomes (a) et (b) entrainent, pour tous événements Aet B,
–P(A) = 1 −P(Ac),
–A⊂B⇒P(A)≤P(B),
4

CHAPITRE I RAPPELS
–P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B).
Exemple: L’expérience consiste à lancer un dé. Alors
Ω = {1,2,3,4,5,6}
A={1,3,5}est l’événement avoir un nombre impaire.
Si le dé est équilibré, la mesure de probabilité sur (Ω,F=P(Ω)) est définie par P({i}) =
1
6,∀i. Et donc P(A) = 1 2.
I.2 Variable aléatoire
Définition I.2.1 Soit (Ω,F,P )un espace de probabilité. Une variable aléatoire (v.a.) est
une application X: Ω →Rtelle que,
{ω∈Ω : X(ω)∈B}={X∈B} ∈ F,∀B∈ B(R).
Proposition I.2.2 Xest une v.a. si et seulement si {ω∈Ω : X(ω)≤x} ∈ F,∀x∈R
Définition I.2.3 La tribu engendrée par une famille de v.a. {Xi,i ∈I}sur (Ω,F,P )est
définie par
σ(Xi,i ∈I) = σ({Xi∈B},i ∈I,B ∈ B(R)) = σ({Xi≤x},i ∈I,x ∈R).
I.2.1 Loi d’une variable aléatoire
Définition I.2.4 La loi d’une v.a. X est l’application µ:B(R)→[0,1] définie par
µ(B) = P({X∈B}), B ∈ B(R).
Définition I.2.5 La fonction de répartition d’une v.a. X est l’application F:B(R)→[0,1]
définie par
F(x) = P(X≤x) = µ(] − ∞,x]), x ∈R
Fvérifie les propriétés suivantes,
–lim
x→+∞F(x) = 1,
–lim
x→−∞ F(x) = 0,
–Fest croissante.
S. SAADI 5