2eme année Master Mathématiques Module: Topologie générale et applications Par : Habita Khaled. 2013-14 Université d’El-Oued Institut de technologie Département de Maths et Informatiques Série d’exercices n 3 Exercice n 1: (Homéomorphisme). Soit f : R ! C n f (x) = 4x 3ix: 1) Montrer que f une application linéaire. 2) f est-elle injective ? est-elle surjective ? 3) Dé…nir l’ensemble f (R) et montrer que g : R ! f (R) est une homéomorphisme. 4) Calculer kgkL(R;C) et kg 1 kL(C;R) : Exercice n 2: (Continuité de la fonction distance) Montrer que, si E est un espace métrique alors, la distance est une fonction Lipschitziènne de E E dans R. Exercice n 3 : (Topologie co…nie) Soit E un ensemble. On pose E : Ac est …nig : = f?g [ fA 1) Montrer que (E; ) est un espace topologique quasi-compact. 2) Montrer que si E est …nie alors = P (E) ( est la topologie discrète). 3) En déduire que (E; ) est un espace compact. 4) Montrer que : (E; P (E)) est compact () E est …ni. Exercice n 4 : (convergence faible) Soit (E; k:k) un espace vectoriel normé. Montrer que : xn ! x ) xn * x: 1 Exercice n 5 : (Continuité par rapport à une topologie) Soit R la topologie naturelle de R: On pose 0 = P (N) [ fR; R g : 1) Montrer que 0 est une topologie sur R: 2) Comparer les topologies R et 0 (i.e, quelle est la moins …ne que l’autre). 3) Montrer que l’espace topologique (R; 4) Est ce que l’espace topologique (R; 0) R) n’est pas compact. est quasi-compact ? Est-il compact ? 5) Montrer que l’application f : (R; 0) ! (R; R) n f (x) = sin x n’est pas continue. 6) Est ce que l’application f : (R; 0) ! (R; R) n f (x) = 3; 5; x=0 x 6= 0: est continue ? 7) Quelle est la topologie est continue ? la moins …ne telle que l’application f : (R; ) ! (R; 2 R)