chapitre 2 cinematique des fluides

A. ALMERS & T. ELRAFIKI/ Cours de mécanique des fluides/ Chapitre II : Cinématique des fluides
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Chapitre 2 : Cinématique des fluides
I- Introduction
IL s’agit d’étudier le mouvement des particules fluides sans faire intervenir les forces qui
entrent en jeu.
II- Description lagrangienne
Il existe en mécanique deux manière pour décrire le mouvement d’un système mécanique : la
description lagrangienne et la description eulérienne. Nous les étudierons successivement et
nous déterminons également les formules qui existent pour passer d’une description à l'autre.
Dans cette description, l'observateur suit chaque particule fluide à partir de l'instant initial.
Une particule fluide donnée occupe au cours du temps la position
 OMx
qui sera fonction
du temps et des paramètres permettant d’identifier cette particule parmi les autres. On prendra
comme paramètre la position
0
 OMa
de cette particule à t = 0
a
(a1, a2, a3, t). On écrira
donc que les composantes x1, x2, x3 de la position à l’instant t de la particule qui à t = 0 était
en
a
(a1, a2, a3, t) sont des fonctions de types :
taaafx ,,, 32111 
taaafx ,,, 32122 
taaafx ,,, 32133 
C'est-à-dire
tafx ji
i,
 taxx ,
y
x
z
t1
t2
t3
t0
M0
O
a

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En description lagrangienne les inconnues cinématiques sont des fonctions f1, f2, f3 et les
variables indépendantes sont a1, a2, a3 (variables de Lagrange).
 Trajectoire d’une particule fluide
La trajectoire est le lieu des positions successives d’une particule fluide au cours du temps.
Elles sont directement fournies par :
tafx ji
i,
 Vitesse et accélération
Pour une particule fluide donnée, ie pour
a
fixé, la vitesse est donnée par :
a
t
x
tav ,
Pour une particule fluide donnée, ie pour
a
fixé, l'accélération est donnée par :
a
t
v
ta,
 Cas d'une propriété physique quelconque
Dans cette description, les propriétés physiques se réfèrent aux particules fluides que l'on suit.
Par exemple, on notera
taT ,
la température à l'instant t de la particule fluide qui était
en
a
à l'instant initial, sans se soucier de la position qu'elle occupe effectivement.
III- Description eulérienne
y
x
z
t1
t2
t3
O
x

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Cette fois l'observateur est placé en un point M fixe du repère, et regarde passer les particules
fluides devant lui. Ainsi, à deux instants différents, ce n'est pas la même particule qui occupe
la position
Mx
.
On notera
txF ,
la valeur de la propriété F au point
x
à l'instant t.
Les variables permettant de décrire ainsi un tel système sont les trois coordonnées d'espace
(repérant l'observateur), et l'instant d'observation. (x1, x2, x3, t) sont appelées les variables
d'Euler.
On montre qu'on peut prendre comme inconnues du mouvement les 3 fonctions :
txxxv
txxxv
txxxv
txv
,,,
,,,
,,,
,
3213
3212
3211
IV- Lien entre les deux descriptions
Soit une propriété physique F du fluide (scalaire, vecteur, tenseur) représentée par :
- la description lagrangienne
taF ,
;
- la description eulérienne
txF ,
;
 ttaxFtaF ,,,
ttaaaxtaaaxtaaaxFtaaaF ,,,,,,,,,,,,,,, 321
2
321
2
321
1
321
 Conclusion
A cause des phénomènes de diffusion moléculaire, une particule fluide perd son individualité
rapidement. Donc l’observateur trouve des difficultés pour suivre une particule fluide pendant
longtemps. C’est pour cela la description Lagrangienne est assez délicate pour être appliquée
au cas de la mécanique des fluides. La description eulérienne reste la mieux adaptée au cas de
l’étude des fluides en mouvement.

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V- Trajectoire en description eulérienne et notion de ligne de courant à
un instant donné
 Trajectoire
Définition : Ensemble des positions
x
occupées par une particule fluide donnée.
Elle est donc solution de :
dttxvdxtxv
dt
xd ii 
,,
d'où :
dt
txv
xd
txv
xd
txv
xd 
 ,,, 3
3
2
2
1
1
On a trois équations du premier ordre, donc 3 constantes d'intégration. On obtient ainsi une
famille de courbes à 3 paramètres. Pour observer, au sens propre, des trajectoires, on peut
mettre en suspension dans le milieu quelques particules et faire une photographie avec un
temps de pose très long.
 Ligne de courant à un instant t0 fixé
Définition : Ligne dont la tangente en chacun de ses points est le vecteur vitesse de la
particule fluide en ce point à un instant t0 fixé.
Le long d'une telle ligne, à t0 on a :
xdMM '
parallèle à
0
,txv
, d’où :
0
3
3
0
2
2
0
1
1
,,, txv
xd
txv
xd
txv
xd
Ici, comme on a un système de deux équations différentielles du premier ordre, on obtient une
famille de fonctions à deux paramètres.
 Cas particulier des écoulements stationnaire
Définition : Un écoulement est stationnaire si en description eulérienne les grandeurs sont
indépendantes du temps. En particulier dans un tel écoulement,
 xvtxv ,
Equation des trajectoires est donnée par :
dt
xv
xd
xv
xd
xv
xd 
3
3
2
2
1
1

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Equation des lignes de courant :
On en déduit que dans un écoulement stationnaire les trajectoires et les lignes de courant sont
confondues.
VI- Accélération en variables d'Euler et Notion de dérivée particulaire
d'une propriété physique quelconque
Remarque préliminaire : si
 txv ,
est le champ eulérien de vitesse, et
 tx,
celui
d'accélération, en description eulérienne il est clair que :
t
txvttxv
t
v
tx t
 ,,
lim,0
Car
 ttxv
,
et
 txv ,
sont des vitesses de particules fluides différentes. Or on cherche
le taux de variation de la vitesse d'une même particule fluide au cours du temps.
Considérons la fonction scalaire
tzyxf ,,,
rendant compte d’une grandeur physique
caractéristique d’un fluide au point de coordonnées x, y, z à l’instant t et soit u, v et w les trois
composantes de la vitesse
v
en ce point.
La particule fluide sera à l’instant
dtt
au point
dtwzdtvydtux  ,,
La variation de la fonction f sera donc égale à :
tzyxfdttdzzdyydxxfdf ,,,,,, 
dt
t
f
dz
z
f
dy
y
f
dx
x
f
df 
D’où on a :
t
f
w
z
f
v
y
f
u
x
f
dt
df
 xv
xd
xv
xd
xv
xd
3
3
2
2
1
1