TD 6 : Arithmétique dans Z PCSI 2012 - 2013 L'anneau Z est muni de la somme et du produit usuels. I. Divisibilité. Dénition 1 Soient a, b ∈ Z. b On dit alors que divise b a lorsqu'il existe est un diviseur de a k ∈ Z tel que a = kb. a est divisible par b. et que On le note b|a 1) Montrer que pour tout n ∈ N, 32n+1 + 2n+2 est divisible par 7. 2) Soit x ∈ Z tel que x − 1|x + 3. Déterminer x. 3) Soit a ∈ Z. Montrer que : ∀n ∈ N, a − 1|an − 1 II. Division euclidienne. Proposition 1 Soit a, b ∈ Z. Il existe un unique couple (q, r) ∈ Z2 tel que 0 ≤ r < b. On dit euclidienne de a par b. a = bq + r respectivement le quotient et le reste de la division et que q et r sont 1) Démontrer l'unicité du couple (q, r). 2) Exprimer q en fonction de a et b. 3) Ecrire un algorithme prenant en entrées a et b et renvoyant q et r. III. Nombres premiers. Dénition 2 Soit p p ∈ N, p ≥ 2. est un nombre premier lorsque ses seuls diviseurs positifs sont nombres premiers sera noté P, et lui-même. L'ensemble des un nombre non premier sera dit composé. 1) Montrer que tout entier n ≥ 2 possède un diviseur premier. facteur premier de 1 On dit que ce diviseur est un n. 2) Montrer que l'ensemble des nombres premiers est inni. 3) Soit a et p deux entiers supérieurs à 2. Montrer que si ap − 1 est premier alors a = 2 et p est premier. IV. Décomposition en produit de facteurs premiers. Théorème. Soit n ∈ N, n ≥ 2. Il existe N ∈ N∗ , p1 , p2 , ..., pN ∈ P , α1 , α2 , ..., αN ∈ N tel que n = pα1 1 pα2 2 ...pαNN . Cette décomposition est appelée décomposition de n en produit de facteurs premiers. 1) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 3208. 2) Soit n ∈ N, n ≥ 2. Déterminer le nombre de diviseurs positifs de n. Lycée de l'Essouriau - Les Ulis