PCSI 01 Avril 2017 Evaluation n°1 d’ingénierie numérique et simulation def Newton(f,fPrime,x0,epsilon): 1) A quoi servent les méthodes de la dichotomie et de Newton? x1 = ……………………………… 2) Quels sont les avantages et les inconvénients de ces deux méthodes ? while(abs(x1-x0)>epsilon): ………………………………………………………… 3) On souhaite résoudre l’équation suivante : x3 + x + 1 = 0 ………………………………………………………… a) Démontrer que cette équation a une unique solution sur IR et qu’elle return(x1) appartient à l’intervalle [– 4 ; 0 ]. On appelle α cette solution. b) En appliquant à la main l’algorithme de dichotomie, déterminer une 5) Etant donnée une fonction f dérivable sur un intervalle [a ; b] valeur approchée de α à 0,2 près. expliquer comment approcher les valeurs prises par f ’ à Vous laisserez apparentes les étapes de calcul. l’aide des valeurs prises par f. 6) 4) Soit f une fonction continue et s’annulant une unique fois en sur un intervalle [a ; b]. On cherche à déterminer une valeur approchée de α. a) Quelle hypothèse supplémentaire faut-il avoir sur f pour pouvoir a) A quoi sert la méthode d’Euler ? b) Expliquer le principe de cette méthode (on pourra s’aider éventuellement d’un schéma) c) Ecrire (en pseudo-code ou en Python) la fonction b) Faire un schéma expliquant le principe de la méthode de Newton. 𝑦 ′ = 𝐹(𝑡 , 𝑦) correspondante pour un système du type { 𝑡 ∈ [𝑎 ; 𝑏] 𝑦(𝑎) = 𝑦0 c) Donner une suite (xn) permettant d’approcher par la méthode de Cette fonction renverra deux listes : appliquer la méthode de Newton. Newton. d) Recopier et compléter les lignes de code Python de la fonction cicontre, afin qu’elle renvoie l’approximation de obtenue par la méthode de Newton • • la première contenant les abscisses des points de la courbe obtenus par la méthode d’Euler. la deuxième contenant les ordonnées correspondantes. Elle débutera par def Euler (tDeb,tFin,yInit,n,F):