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Etudier une machine thermique en utilisant un
diagramme (P,h)
I - Travail des forces de pression pour un fluide en écoulement
Dans le cas d’un fluide en écoulement, on ne peut pas utiliser l’expression habituelle
pour calculer le travail des forces de pression parce que la pression extérieure a ici
deux valeurs différentes sur la surface du système. Il faut revenir à la définition du
travail d'une force vue en mécanique. On étudie le cas où le système est un volume de
fluide en écoulement dans une conduite.
Soit un fluide s'écoulant dans une conduite dont la section a une surface S. Dans ce
fluide, on isole par l'esprit un système fermé Σ constitué par le fluide contenu dans la
surface comprise entre les sections A
1
et A
2
de la conduite à l'instant t (voir figure
précédente). A l'instant t' = t + dt le système Σ (donc le même fluide) est contenu
dans la surface comprise entre les sections A’
1
et A’
2
.
On appelle
1 1 1
'
dl A A
= et
2 2 2
'
dl A A
= les déplacement élémentaires entre t et t + dt
des deux sections délimitant le système (voir figure précédente).

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La pression en A
1
est égale à P
1
et elle est égale à P
2
en A
2
.
On note S la surface de la section de la conduite. La force de pression exercée
appliquée à Σ sur la section A
1
s'écrit :
1 1
F PSu
= est le vecteur unitaire dans le sens
de l'écoulement. Elle fournit dans le déplacement considéré le travail :
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . .dl u P
W F dl PSu dl PSu dV
δ = = = =
où dV
1
est le volume compris entre les section A
1
et A’
1
, volume balayé par la surface
limitant le système. Ce travail est positif : le fluide en amont pousse le fluide de Σ.
La force de pression exercée appliquée à Σ sur la section A
2
s'écrit :
2 2
F P Su
= − . Elle
fournit dans le déplacement considéré le travail :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
. . .dl u P
W F dl P Su dl P Su dV
δ = = − = − = −
où dV
2
est le volume compris entre les section A
2
et A’
2
, volume balayé par la surface
limitant le système. Ce travail est négatif : le fluide en aval repousse le fluide de Σ.
Au total, le travail des forces de pressions est dans ce cas :
1 1 2 2
P P
W dV dV
δ = −
Remarque : La variation de volume du système est dV = dV
2
- dV
1
. Ainsi, si on avait
P
1
=P
2
= P
ext
, on aurait
1 2
P ( ) P
ext ext
W dV dV dV
δ = − = − et on retrouverait bien la
formule habituelle.
II - Premier principe pour un fluide en écoulement
Lorsque le fluide s’écoule dans une machine thermique, il traverse plusieurs éléments
qui permettent de réaliser les échanges énergétiques considérés.
Afin de pouvoir obtenir une relation faisant apparaitre les échanges énergétiques dans
l’un des éléments du circuit, on utilise le premier principe pour un fluide en
écoulement.

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On considère, de manière générale, un fluide en écoulement lent, passant dans un
élément actif à l’intérieur duquel il peut échanger un travail et/ou un transfert
thermique.
Entre l’entrée et la sortie de cet élément, les grandeurs thermodynamique massiques
du fluide (enthalpie massique
h
, énergie interne massique
u
, volume massique
v
)
changent.
Soient
w
et
q
le travail et le transfert thermique massiques reçus par le fluide qui
traverse l’élément actif. Le travail
w
est échangé par le fluide avec les pièces mobiles,
à l’intérieur de l’élément actif.
On considère le système
Σ
fermé. Dans l’état initial,
Σ
contient une masse
m
de fluide située devant l’entrée de l’élément actif ainsi que le fluide qui remplit
l’élément actif. Dans l’état final,
Σ
contient le fluide qui remplit l’élément actif
ainsi que la masse
m
de fluide à la sortie.
On suppose l’écoulement stationnaire : l’état du fluide en un point donné de la
canalisation est le même à chaque instant (même si, à deux instants différents, ce
n’est pas le même fluide qui s’y trouve). Ainsi, à l’instant final, le fluide à l’intérieur
de l’élément actif a exactement les mêmes propriétés que celui qui se trouve au même
endroit à l’instant initial.
La variation d’énergie interne de
Σ
entre l’état initial et l’état final provient de la
masse
m
de fluide qui, dans l’état initial, a une énergie interne massique
e
u
, et dans
l’état final, une énergie interne massique
s
u
:
s e
U mu mu
∆ = −
.

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Pour simplifier, on fait l’hypothèse que le fluide s’écoule lentement et que la variation
d’énergie cinétique est négligeable devant la variation d’énergie interne :
c
U
∆ ∆
E
≪
. On fait donc l'approximation
c
0
∆ =
E
.
Au cours de la transformation, le système
Σ
reçoit un travail de la part des forces de
pression, qui le poussent à l’entrée et le repoussent à la sortie. On note
e
P
et
s
P
les
pressions à l’entrée et à la sortie. Elles sont supposées uniformes sur les volumes
occupés par
m
à l’entrée et à la sortie.
1
On a donc
e s s
e
P
W PV PV
= −
avec
e e
V mv
=
et
s s
V mv
=
.
e e s s
P
W mP v mP v
= −
.
De plus,
Σ
reçoit dans l’élément actif un travail appelé travail utile
u
W
. On utilisera
dans la suite le travail utile massique
u u u
w W mw
⇒ =
.
Σ
reçoit aussi un transfert thermique
Q mq
=
.
Premier principe :
c u s e e e s s u
P
U W W Q u u P v P v w q
∆ + ∆ = + + ⇒ − = − + +
E
.
On peut réécrire cette équation
(
)
s s s e e e u s e u
u P v u P v w q h h w q
+ − + = + ⇒ − = +
.
Pour un fluide en écoulement stationnaire lent, traversant un élément actif à
l’intérieur duquel il reçoit un travail utile massique
u
w
et un transfert thermique
massique
q
, le premier principe s’écrit, en négligeant la variation d’énergie cinétique
u
h w q
∆ = +
, où
h
∆
est la variation d’enthalpie massique entre l’entrée et la
sortie de l’élément actif.
L’intérêt de cette formulation du premier principe est qu’elle ne fait pas intervenir
directement le travail des forces de pression, travail interne au fluide, mais
uniquement le travail utile, travail échangé par le fluide avec les parties mobiles de
l'élément actif.
Exemples
 dans le compresseur, le fluide reçoit des pièces mobiles un travail massique
comp
w
et ne reçoit aucun transfert thermique :
1 comp
h w
∆ =
;
 dans le condenseur, il n’y a pas de pièce mobile et le fluide reçoit un transfert
thermique massique
c
0
q
<
de la source chaude
2
:
2 c
h q
∆ =
;
1
On choisit
m
suffisamment petite pour que cela soit le cas.
2
Il lui cède donc le transfert thermique massique
c
0
q
− >
.

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 dans le détendeur il n’y a pas de pièce mobile et le fluide ne reçoit aucun transfert
thermique :
3
0
h
∆ =
;
 dans l’évaporateur il n’a pas de pièce mobile et le fluide reçoit un transfert
thermique massique
f
q
de la source froide :
4 f
h q
∆ =
.
III - Diagramme (p,h) ou diagramme des frigoristes
Présentation
Afin d’étudier le fonctionnement de machines thermiques dans lesquelles se
produisent des changements d’état, on utilise souvent des diagrammes
(
)
,
p h
.
Diagramme (p,h) de l’isobutane
En abscisse est portée l’enthalpie massique
h
, et en ordonnée la pression
p
. Cette
dernière est fréquemment indiquée en échelle logarithmique, car la gamme de pression
usuelle s’étend sur plusieurs ordres de grandeur.
On distingue trois zones, séparées par une frontière (trait gras) qui correspond au lieu
d’apparition d’un changement état. Au sommet de la frontière figure le point critique
C
.
Sous la frontière se situent les états d’équilibre liquide-vapeur.
Sur la partie gauche de la frontière, le fluide est à l’état liquide.
La partie droite du diagramme correspond à la vapeur sèche.