Calculabilité, décidabilité, thèse de Church

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CALCULABILITE
DECIDABILITE
THESE DE CHURCH
PRINCIPAUX RESULTATS
Patrick Bellot
Télécom ParisTech
Plan
• La calculabilité effective
• Les fonctions processus

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La calculabilité effective
• La notion de calculabilité effective est
fondamentale en informatique et en
mathématiques modernes.
• On dit que « quelque chose » est effectivement
calculable s’il existe un procédé quelconque
mais automatisable permettant de l’obtenir.
• C’est une notion intuitive.
Exemples
• Etant donné un entier n strictement positif,
le n-ième nombre premier est effectivement
calculable (crible d’Erastosthène).
• Soit deux entiers x et y, décider si x est divisible
par y est effectivement calculable.
• Soit n strictement positif, décider s’il existe une
suite de n chiffres 7 consécutifs dans le
développement décimal de π n’est pas
effectivement calculable.

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Codage de Gödel
• Le codage de Gödel est une technique qui
consiste à coder tous les éléments d’un domaine
D (dénombrable) par des entiers naturels:
σ : D #→ Ν
σ-1 : Ν #→ D
• La fonction de codage σ et la fonction de
décodage σ-1 doivent être effectivement
calculables.
Exemples de codage
• Codage de N2:
σ : N x N #→ Ν
σ(x,y) = 2x 3y
• Codage de Z:
σ : Z #→ Ν
σ(x) = &2x si x > 0
'-2x-1 si x < 0

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Exemples de codage
• Codage des chaînes de caractères:
σ("ABC …") = A3A2A1B3B2B1C3C2C1…
Chaque lettre X est codée par X3X2X1 où
X3X2X1 est le code ASCII de la lettre en base
10 sur 3 chiffres (0 ≤ codage < 256).
Le codage de la chaîne est obtenu en
concaténant les codages des lettres.
Se ramener aux entiers naturels
• En supposant que l’on peut définir un codage
de Gödel σ pour un domaine D étudié, on peut
se restreindre à étudier les fonctions
effectivement calculables sur les entiers
naturels.
• Une fonction f : Dk #→ D est dite
effectivement calculable si la fonction
ϕ : Nk #→ N définie par
ϕ(x1,…,xk) = σ(f(σ -1(x1),…, σ -1(xk))
est effectivement calculable.

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Se ramener aux entiers naturels
• Une fonction f : Dk #→ D est dite
effectivement calculable si la fonction
ϕ : Nk #→ N définie par
ϕ(x1,…,xk) = σ (f(σ-1(x1),…, σ-1(xk))
est effectivement calculable.
• Si ϕ est effectivement calculable, il existe un
processus de calcul pour calculer f :
f(d1,…,dk) = σ(ϕ(σ-1(d1),…, σ-1(dk))
Les entiers naturels
• Une fonction f : Nk #→ N est dite
effectivement calculable s’il existe un procédé
automatisable permettant de calculer le résultat
f(x1,…,xk) pour tous les entiers x1,…,xk.
• On choisit de s’intéresser aux fonctions
partielles sur les entiers naturels, c’est-à-dire
que l’on autorise que la fonction ne soit pas
définie pour certains arguments.