1 Chafa Azzedine- Faculté de Physique- USTHB

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1
Définition :
La dynamique est une branche de la mécanique qui étudie
les mouvements des corps dans l’espace en fonction du
temps en expliquant les causes qui les provoquent.
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Historiquement, l’étude des mouvements des planètes a permis d’établir
les lois cinématiques et dynamiques
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II – Principe d’inertie
Enoncé du principe
h
h
h
h

v
Conclusion:
Si une particule n’est soumise à aucune interaction:
-Soit elle reste au repos
-Soit elle continue à se déplacer suivant une droite et avec une vitesse
constante
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Référentiel d’inertie ou Galiléen
Les repères dans lesquels une particule libre se déplace à vitesse constante
sont appelés repères Galiléen ou d’inertie
Ces repères sont soit au repos, soit animés d’un mouvement de translation
uniforme
Exemple:
Le repère lié au sol satisfait à la définition et est donc un bon
repère d’inertie
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Quantité de mouvement :
Notion de masse :
Il faut analyser, d’une manière dynamique, le mouvement d’un corps.
La cause qui modifie la grandeur ou la direction de la vitesse d’un objet est:
La force
La masse est un coefficient qui distingue un objet d’un autre. Elle caractérise
l’inertie du corps.
C’est-à-dire sa résistance à s’opposer à tout changement provoqué par la
vitesse. Elle est très importante lors de l’étude dynamique.
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Quantité de mouvement
Elle est définie comme le :produit de la masse par la vitesse :


P  m v ( kgm / s )
 
P et v

v

P
: sont parallèles et dans le même sens
Le principe d’inertie s’écrit :
Une particule libre se déplace avec une quantité de mouvement constante
dans un repère Galiléen
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Au début les deux sont attachés
par une ficelle
La masse du disque O est double
de celle du disque x
Avant interaction
pendant interaction
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Aprés interaction
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On cherche la quantité de mouvement totale du système dans les trois phases
Mo = 2 Mx
Pour déterminer la vitesse on calcule les distances parcourues entre deux
positions successives de chaque masse
Avant interaction :
Po  m o v o  m 0
Pendant
do
t
Si do et dx sont les distances parcourues par
chaque disque respectivement pendant le temps
t :
Px  m x v x  m x
dx
t
interaction :
P 'o  m o v 'o  m 0
d 'o
t
Px '  m x v ' x  m x
d 'x
t

 
 PT  Po  Px

 
 PT '  Po ' Px '
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Aprés interaction :
P 'o  m o v 'o  m 0
mo=2mx
t=0.1 s
d 'o
t
Px '  m x v ' x  m x
d 'x
t



 PT "  Po "  Px "
Zones
Distances
(cm)
Vitesse
(cm/s)
Quantité de
mvt(kgm/s)
Avant
d0= 1cm
dx= 1cm
Vo= 10
Vx=10
Po=20mx
Px=10mx
Pendant
d0’= 1.1cm
dx’= 1.2cm
Vo’= 11
Vx’=12
Po’=22mx
Px’=12mx
aprés
d0’’= 1cm
dx’’= 1cm
Vo’’= 10
Vx’’=10
Po’’=20mx
Px’’=10mx
Echelle : 1 cm
10 mx (kgm/s)
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10
Conclusion :
La quantité de mouvement totale d’un système isolé est constante



PT  PT '  PT ''
dx

Px
do

PPT
o
Avant interaction

Px '

PT '

Po '
pendant interaction
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
Px ''

PT ''

Po ''
Aprés interaction
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Ce principe de conservation de la quantité de mouvement est très
important en physique.
On peut également l’écrire sous la forme:







PT  PT '  PT ''  Po  Px  Po ' Px '
En mettant les grandeurs de chaque disque d’un même côté on a:






Po  Po '  Px ' Px   Px    Po



Avec :  Po  Po ' Po
Et :



 Px  Px ' Px
Donc une interaction produit un échange de quantité de mouvement entre
particules
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Exemple:
Un camion et une 2 CV arrivent sur un croisement. Elles rentrent en collision
et se déplacent dans une direction de 45° en restant collées l’une à l’autre.
Un témoin affirme que le camion roulait à 80 km/h. Dit – il la vérité?

V '
Solution :
Le système est isolé donc il y conservation de la
quantité de mouvement totale

V





P

P

P

M
V

m
v
Avant la collision : T
c
v




Après la collision : PT '  Pc ' Pv '  ( M  m )V '
45
Camion M
2 C.V m

v





Conservation : PT  PT '  M V  m v  ( M  m )V '
On décompose sur ox et oy
 (2) /(1) 
mv
MV

sin 
cos 
 ox :

 oy :
 tg 45   1
M V  ( M  m )V ' cos     (1)
m v  ( M  m )V 'sin     (2)
 v
M
V  320 km / h
m
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impossible
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Notion de Force
Joueur
Ballon

F
Le tir du joueur sur le
ballon provoque sa mise
en mouvement.
1. La force permet de mettre en mouvement
un corps
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Tout corps qui n’est soumis à aucune force :
-Soit il reste au repos
-Soit il se déplace suivant une droite avec une vitesse constante
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
Si un corps
de masse m se déplace avec une vitesse v est soumis à une

force F alors :


 dP

dv
F 
m
 ma
dt
dt
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Nous avons vu que deux particules en interaction constituent un


système isolé tel que :
 P1    P2
Pendant un intervalle de temps t :

 P1
t


 P2
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t



F1   F2
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Remarques
•- Toutes ces lois sont valables dans tout repère Galiléen
Soient deux repères Galiléens R1 et R2 et soit un mobile se déplaçant
avec:
Une vitesse v1 dans R1 et v2 dans R2 à un instant t
Une vitesse v’1 dans R1 et v’2 dans R2 à un instant t’
Et soit v la vitesse de R2 par rapport à R1
En appliquant la loi de composition des vitesses on a :



A l’instant t : v1  v 2  v



A l’instant t’ : v '1  v '2  v
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


La variation de quantité de mouvement dans R1 est :  P  m ( v '1  v1 )




P
'

m
(
v
'

v
)
La variation de quantité de mouvement dans R2 est :
2
2
Donc on a:










 P  m ( v '1  v1 )  m  ( v '2  v )  ( v 2  v )   m  v ' 2  v 2    P '


P  P '
•- Dans le cas général un corps est soumis à plusieurs forces, la 2ème
loi de Newton s’ écrit:

F 



Ft  m a
Plus connue comme la relation fondamentale de la dynamique
R.F.D
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Applications des lois de Newton:
Poids au voisinage de la terre:
Le poids est la force exercée par la terre sur le corps, il s’ écrit donc :


P  m a (2ème loi de Newton)
On réalise pour cela deux expériences:
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1ère expérience :
Chute libre sans vitesse initiale

a

a
2ème expérience :
Chute avec vitesse initiale horizontale

v0
Après une étude cinématique
des mouvements on constate
que l’accélération est constante
dans les deux cas en sens et
direction.
Cette accélération est connue
sous le nom d’accélération de la
pesanteur notée g.

a

a
Exemple :
A Alger g = 9.80 m/s2
Au pôle nord g = 9.83 m/s2


P = mg
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Mouvement d’un projectile au voisinage de la terre:
Mouvement horizontal: MRU
ax  0

 v x  v 0 x  v 0 cos 
 x ( t )  v t cos 
0

y
v0 y
Mouvement vertical: MRUV

v0
vy

v

ay   g

 v y ( t )   gt  v 0 sin 

1
 y ( t )   gt 2  v t sin 
0

2

v
vy
vx

v
vy
vx
vy

O
vx

v
vx

v
vx
v0 x
y
g
2 v 0 cos 
2
2
vy
x 2  x tan 

v
Équation de la trajectoire
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y
2
La hauteur maximale: H 
v0
sin 
2
2g
2
La portée: D 
v0
sin 2
g

v0
H :hauteur maximale
x
v0 y

O
v0 x
portée
D
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y
La portée D varie avec
l’angle de tir  pour une
même vitesse initiale v0.
Elle est maximale pour
=45°:
  60
  45
2
  30
D m ax 
  15
v0
g
x
D1
D2
portée maximale Dmax
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Loi de gravitation universelle:
Corps en chute libre au voisinage du sol:


P = mg
Terre (M)
R
Lune qui tourne autour de la terre :


F = m la
r
Sachant que R = 6400 km
et r = 384 000 km donc :
corps (m)
Lune (ml)
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r
R
 60
25
P
En faisant le rapport des deux forces :
F

m g
ml a
Or pour la lune le mouvement circulaire uniforme donc:
a
v
2
 r  r
2
4
2
2
r
T
Sachant que g  10 m / s 2 et que la période de rotation de la lune autour
de la terre est T  24 heures on obtient :
g
Donc :
a
P
F
 3600   60 

m g
ml a

2
 r 
 
R
m  r 
 
ml  R 
2
2
Les forces sont donc proportionnelles à la masse et inversement
proportionnelles au carré du rayon :
m
F  2
r
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26
D’apres la loi de l’action et la réaction (3ème loi de Newton):


F1   F 2  F1  F 2
Comme

F1
Terre M
R
F1 
M
r
et F2 
2
r
2
Lune m
r
Alors : F1 
m

F2
Mm
r
2
Newton a rajouter une constante de
proportionnalité G  6.67 10  11 N .kg  2 .m 2
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27
G  6.67 10
 11
N .kg
2
2
.m : est appelée constante de gravitation
La force appliquée par la terre sur la lune est :

Mm 
F1   G 2 u
r
Lune m

u

F2
 
F1 u '
Terre M
La force appliquée par la lune sur la terre est :

Mm 
F2   G 2 u '
r
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- 3ème loi de Kepler (loi des périodes):
Si l’orbite est circulaire, pour chaque
planète on a:
F G
Mm
r
G
F1
F2
M m1
r1

G
M m2
r2
m 1 r1
2
2

m 2 r2
4
T1
2
m
v
2
r
 mr
4
T
2
2
2
2
4
T2

2
T1
2
T2
2
=
r1
3
r2
3
2
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- Satellite géostationnaire :
Corps au niveau du sol:
corps (m)
M m1
F2  G
M m2
2
 m1 g 0
R
Satellite à une hauteur h du niveau du sol:
Terre
(M)
R
F1  G
F1
 m2 g
r
En faisant le rapport des deux forces :
r
Satellite
(m’)
F2
2
G

M m2
2
m2 g
R
2
R
2
r

 g( h)
= 2 g0 =
g0
2
M m1
m1 g 0
r
( R + h)
G
2
R
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30
Forces de contact
C’est la force exercée entre deux corps qui sont en contact l’un avec l’autre.
Nous allons étudier ces forces à travers certains exemples.
Exemple 1: un objet de masse m au repos sur un plan horizontal

C
A l’équilibre :
  


P + C = 0  C = -P

P

C : Représente la somme de toutes les petites forces de contact entre le
corps et le sol (réaction du sol)
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31
Exemple 2: Démarrage d’une course sur un plan horizontal

a
En mouvement on écrit :
 


 
P + C = ma  C = ma - P

C

C

P

-P
Module de C:
C=
2
(m a ) + P
2

ma
Remarque: P est constant C dépend de ma
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32
Exemple 3: Démarrage d’une voiture ou moto sur un plan horizontal

a

C1
En mouvement on écrit :
 

 


 
P + C1 + C 2 = m a  C = C 1 + C 2 = m a - P

C2

C2

P

C1

C

ma

P
C (ou C2) est appelée force motrice
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Exemple 4: Voiture dans un virage avec une vitesse constante:
Relation fondamentale de la dynamique
 


 
P + C = ma  C = ma - P
 aT  0

v  cte  
2
a

v
/R
 N

C

man
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
C

-P

an

P
34
Forces de frottements:
On étudie ces forces à travers certains exemples:
Exemple 1: corps de masse m sur un plan horizontal au repos:

On tire un corps de masse m, au repos, avec une force F sans le déplacer






 

Cy

P + F + C = 0  C = -F - P
 C
C

-P
F

-F

Cx

On définit le coefficient de frottement statique par:
P


F
Cx
 ox : F - C x  0
C x  F


=
 
 
s =
s
oy
:
C
P
=
0
P
C
=
P
Cy


y

 y
Donc il faut une force F  F0 =  s P pour qu’il y ait mouvement.
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35
Exemple 2: corps de masse m sur un plan horizontal en mouvement :

Soit un corps en mouvement sur lequel on applique une force F

C

Cx

Cy

P

a

F





  
P + F + C = ma  C = ma - P - F

-F

C

ma

-P
On définit le coefficient de frottement dynamique (ou de glissements) par:
d 
Cx
Cy


 ox : F - C x = m a
C x = F - m a
 
 


 oy : C y - P = 0
C y = P
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 g 
F - ma
P
36


Si le mouvement est uniforme , la vitesse est constante donc a = 0





 
P + F + C = 0  C = -P - F
 g 
Cx
Cy

F
P

Cy

C

F

Cx

P
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37
Exemple 3: corps de masse m sur un plan incliné au repos:
y

C

Cx

Py


α0 C
 y v
Px
α0

P
On lève le plan incliné sans que le corps ne
bouge jusqu’à un angle limite  0





P + C = 0  C = -P
x
α0
On définit le coefficient de frottement statique par:
s =
 s 
Px
Py
Cx
Cy



 ox : P x - C x  0
 Px = C x
 
 


 oy : C y - P y = 0
C y = Py
m g sin  0
m g cos  0
  s  tg  0
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38
Remarques:
-On refait l’expérience avec différentes masses :
α0
α0
α0
on constate que s ne dépend pas de la masse
-On refait l’expérience avec différents corps de nature différentes :
α1
α2
α3
on constate que s dépend de la nature des corps en contact.
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39
Exemple 4: corps de masse m sur un plan incliné en mouvement:
Si on prend un angle  supérieur à 0 il y mouvement




 
P + C = ma  C = ma - P

C

C 

-P

Cx

ma

Py
y

Cy

v

Px
α

P
α
x
On définit le coefficient de frottement de glissements par:
d 
Cx
Cy

 ox : P x - C x  m a
 

 oy : C y - P y = 0
 g 
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g sin   a
g cos 
40
Exemple 5: corps de masse m dans un fluide
Quand un corps se déplace dans un fluide avec de petites vitesses,
il est

soumis à une force de frottement proportionnelle à la vitesse f = -kv


f = -kv

F

f

v
La relation fondamentale de la dynamique donne:




v
F + f = ma
En projetant dans le sens du mouvement on a :
dv
a=
F - f = ma
On obtient :
Avec:
dt
F - kv = m
dv
dt
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41
Cette relation s’écrit sous la forme :
m
dv
+ kv = F
dt
Résolution de cette équation, la solution s’écrit comme:
v(t) = v p ( t )  v s . s . m ( t )
Avec v p ( t ) est la solution particulière telle que v est constante donc
kv p = F  v p (t) =
F
m
dt
+ kv = 0
dt
k
et v S.S.m ( t ) est la solution sans second membre telle que
dv
dv
 v s . s . m ( t )  Ae
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
k
F = 0
t
m
42
0
Et enfin :
k
v (t ) 
 Ae

k
t
m
m
En prenant comme conditions aux limites t = 0 s
 A
, v(0) =0 m/s
k
m
La vitesse en fonction du temps s’écrit comme:
k
v (t ) 
Avec: v l 
k
m
et  
k
m
(1  e

k
t
m
m
)  v l (1  e

t

)
v(m / s)
vl
t(s)
5
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43
Forces élastiques:
Mouvement rectiligne sinusoidal
M
x

i
o
Dans ce type de mouvement sinusoïdal l’abscisse x du point M s’écrit:
x ( t )  A sin( t   )
Phase à l’origine
Amplitude
pulsation
T 

2
est la période
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44
Position: x ( t )  A sin( t   )
Vitesse : v ( t ) 
dx
 A cos( t   )
dt
Accélération : a ( t ) 
dv
2

dt
d x
dt
2
  A sin( t   )
2
On constate que
a ( t )   A  sin( t   )
2
x(t)
a (t )    x (t )
2
Ou encore :
2
d x
dt
2
 x  0
2
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45
Interprétation dynamique:

F
Si m est la masse du corps animé du mouvement
rectiligne sinusoïdal il est soumis à une force:



2
F  m a   m  xi
Cette force est opposée au déplacement x, elle
tend à ramener le corps au point O:
On l’appelle force de rappel




2
F  m a   m  xi   kxi
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
F
46
Mouvement d’un corps suspendu à un ressort
Position d’équilibre :
k
  
F P 0 P  F
0

F
O
Ressort à vide
 kx 0  m g  x 0 
mg
k
x0
x
Equilibre

P
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47
 

F  P  ma  P  F  ma
En mouvement :
m g  k ( x  x0 )  m a
  kx  m a
2
 a
d x
dt
k
2

k
x   x
2
m
0

F
O
Ressort à vide
C’est donc un
mouvement x
sinusoïdal

F
x0
x
Equilibre

P
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
P
48
Moment cinétique
Moment cinétique d’une particule
Soit une particule de masse m animée d’une vitesse v en
rotation par rapport à un point O.

L
Le moment cinétique de m par rapport à O est:

r
  
 
L = r  p = mr  v

v
Le module de L est:
 
L = r p sin (r, p) = m r v sin 
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

L  r et


L p
49
Remarque:

On rappelle que le moment d’un vecteur V par rapport à un point O est:
O

V
r


 v/o
 
= OA V
A
En regardant la définition du moment cinétique,
  
 
L = OM  p = r  p


On peut dire que L est le moment de p par rapport à O

  

L = r  p =  p/o
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50
Théorème du moment cinétique :
IL s’agit de trouver la dérivée du moment cinétique
  
L= r p



dL
dt

dL
dt
Donc:

=
 
d(r  p)
dt

=r

dL
dt

dp

dr

  dp

 pr
dt
dt
 
rF
dt

=  F /o
Théorème :
La dérivée du moment cinétique d’une particule, par rapport au
temps est égale au moment de la force qui lui est appliquée au même
point.
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51
Analogie avec la deuxième loi de Newton :
Rectiligne

L

F =

dp
dt
Rotation


 p/o

 F /o =

d  p /o
dt
Le théorème du moment cinétique est donc une traduction de la deuxième
loi de Newton en terme de moments
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52
Forces centrales :
Définition d’une force centrale :
Une force centrale est celle dont la direction passe toujours par un point
fixe O (centre de force).
Dans tout ces cas on a:

 
 

r//F  r  F = 0
F

r


dL


= 0  L = constante
dt
O
Sous l’action d’une force centrale, la moment cinétique par rapport au centre
de force est constant
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53
Applications:
- 2ème loi de Kepler (loi des aires):
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54