3ème loi de Kepler + Jupiter - SVT-EDU

TD : les lois de Kepler et la détermination
de la masse de Jupiter
Objectif : calculer la masse de Jupiter en observant le mouvement de ses
satellites et en utilisant la 3ème loi de Kepler
1. Les lois de la mécanique céleste dans le système solaire :
La masse de l'ensemble des planètes est très faible devant celle du Soleil. On peut donc
calculer en première approximation la trajectoire de ces astres en négligeant leurs
interactions mutuelles (approximation képlérienne). Il s'agit alors d'un problème à 2
corps, où la masse de l'un est négligeable devant la masse de l'autre (celle du Soleil).
La loi de gravitation universelle de Newton :
Les planètes sont soumises à la seule force de gravitation du Soleil, qui est inversement
proportionnelle au carré de la distance héliocentrique (distance entre la planète et le
Soleil) :
F = G m M / r2
F = force de gravitation
m = masse de la planète
M = masse du Soleil
r = distance héliocentrique
G = constante gravitationnelle, G = 6,67.10-11 m3Kg-1s-2
Les lois de Kepler :
Johannes Kepler (1571–1630) énonce 3 lois basées sur l’observation des planètes.
1ère loi (loi des orbites) : la trajectoire d'une planète est une ellipse dont le
centre du Soleil est l'un des foyers.
périhélie aphélie

2ème loi (loi des aires) : au cours du mouvement, le rayon vecteur (joignant le
centre du Soleil à la planète) décrit des aires égales en des temps égaux. La planète se
déplace d'autant plus vite qu'elle est proche du Soleil, avec une vitesse maximum au
périhélie et minimum à l’aphélie.
3ème loi (loi des périodes): il existe une relation entre la période de révolution
P des planètes et le demi grand-axe a de l’orbite :
a3/P2 = constante
La période de révolution d'une planète est d'autant plus grande que sa distance au Soleil
est grande.
Isaac Newton (1643-1727) acheva ce travail par sa démonstration mathématique :
a3/P2 = GM/(4π2)
Avec P en s, a en m, M la masse du Soleil en Kg (M = 2 x 1030 kg). Compléter le tableau :
Planètes
P (s)
a (m)
a3/P2 (m3s-2)
GM/(4π2)
Mercure
7,60 x 106
5,79 x 1010
3,4 x 1018
Venus
1,94 x 107
1,08 x 1011
Terre
3,16 x 107
1,49 x 1011
Mars
5,94 x 107
2,28 x 1011
Jupiter
3,74 x 108
7,78 x 1011
Saturne
9,30 x 108
1,42 x 1012
Uranus
2,66 x 109
2,87 x 1012
Neptune
5,20 x 109
4,50 x 1012

Cas des planètes autour du Soleil : dans le cas du mouvement des planètes autour du
Soleil, et dans ce cas seulement, on a :
a3/P2 = 1
si on exprime a en UA et P en année. Ceci vient de la définition de l’UA (demi grand-axe
de l’orbite de la Terre) et de l’année (période de révolution de la Terre). Compléter le
tableau :
Planètes
a (UA)
P (année)
a3/P2
(UA3année-2)
Mercure
0,4
Venus
0,7
Terre
1
1
1
Mars
1,5
Jupiter
5,2
Saturne
9,5
Uranus
19,2
Neptune
30,1
Cas des satellites de Jupiter :
Dans le cas d'un système satellite-planète, on se ramène aussi à un problème à 2 corps.
En première approximation, on néglige la masse du satellite devant celle de la planète
(ce qui n’est pas tout à fait vrai).
Pour tout satellite en rotation autour de Jupiter, on a":
a3/P2 = GMJ/(4π2)=constante
Avec P en s, a en m, MJ la masse de Jupiter en Kg (MJ = 2 x 1027 kg).
C'est donc cette loi que nous allons utiliser pour calculer la masse de Jupiter à partir du
mouvement de ses satellites.

2. Jupiter et ses satellites :
Jupiter est la plus grande et la 5ème planète du système solaire : son diamètre
est 11 fois supérieur à celui de la Terre et elle possède un système d'anneaux. Elle est
constituée principalement de gaz dont la composition est très semblable à celle d'une
étoile H et He (dans des proportions 90%, 10%). Cependant, même si sa température et
sa masse sont considérables, cela ne suffit pas à déclencher les réactions
thermonucléaires qui font briller les étoiles.
Jupiter se reconnaît aisément à ses bandes et à la Grande Tache rouge. Jupiter
fut pour la première fois observée à la lunette par Galiléequi découvrit les 4 satellites
les plus gros de Jupiter.
Jupiter et ces 4 satellite galiléens La grande tache rouge
La première fois que Galilée observa les satellites de Jupiter, il vit 4 points
lumineux dans un même plan.En les observant sur de longues périodes, il remarqua que
ces astres étaient en rotation autour de la planète. On les nomme aujourd’hui les
satellites galiléens : Io, Europe, Ganymède et Callisto (noms des filles ou amantes de
Zeus). On décompte aujourd'hui plus de 60 satellites qui gravitent autour de Jupiter.
Les satellites galiléens": Io, Europe, Ganymède, Callisto.

3. Détermination de la masse de Jupiter :
Avec des données théoriques :
Dans un premier temps, on utilise des données des éphémérides pour calculer la
masse de Jupiter. Compléter le tableau :
Satellite
Période
Distance moyenne
Masse de Jupiter
IO
1 j 18 h 14 min
422"000 Km
EUROPE
3 j 13 h 12 min
671 OOO Km
GANYMEDE
7 j 3 h 50 min
1 071"000 Km
CALLISTO
16 j 16 h 48 min
1 844 000 Km
En déduire la masse de Jupiter et comparer avec la vraie valeur MJ = 2 x 1027 kg.
Avec des données observées :
Dans un deuxième temps, on utilise des données d’observation de Jupiter et ses
satellites (images obtenues par des étudiants lors d’un stage de Licence 3).
Le rayon de Jupiter est RJ = 71 456 km. La distance Terre-Jupiter le soir des
observations était d = 681,9 millions de km.
En déduire le diamètre angulaire θ de Jupiter en secondes d’arc.