MODELISATION EXPERIMENTALE ET THEORIQUE D’UNE SUBSTANCE COMPLEXE M. Amoura

REVUE ALGERIENNE DE PHYSIQUE VOLUME 2, NUMERO 2 2015
(*)Corresponding author, [e-mail] 96 © 2015 Association Algérienne de Physique
MODELISATION EXPERIMENTALE ET THEORIQUE
D’UNE SUBSTANCE COMPLEXE
M. Amoura(1,*) , N. Zeraibi(2), M. Gareche(2) et A. Benzaoui(1)
1Université des Sciences et de la technologie Houari Boumedienne, Faculté de Physique, Dépt. Energétique. B.P. 32
El-Alia, 16111 Bab-Ezzouar, Alger, Algérie.
2Université de Boumerdes, Faculté des hydrocarbures, Dépt. Transport et Equipements, Avenue de l’indépendance,
35000 Boumerdes, Algérie.
(Reçu le 17 Avril 2015 ; accepté le 18 Octobre 2015 ; publié en ligne le 20 Octobre 2015)
RESUME:
Le comportement rhéologique d’un fluide modèle (solution de carboxymethylcellulose) ainsi que les modifications de ce
comportement avec la température sont analysés. En effet, la réussite des études sur les écoulements de fluides non
Newtoniens repose avant tout sur l’utilisation d’un matériau modèle correctement caractérisé rhéologiquement. Deux
approches différentes sont utilisées. La première, de type phénoménologique, utilise des modèles classiques de
comportement. La seconde approche est basée sur des modèles structuraux.
Dans le but de déduire les paramètres rhéologiques des modèles étudiés, nous avons élaboré un programme d’identification
utilisant la méthode de Levenberg-Marquardt. Cette méthode est l’une des plus robustes et des plus employée dans les
problèmes difficiles de modélisation non linéaire.
MOTS CLES: Fluide non-newtonien, Caractérisation, Rhéomètrie, Méthode de Levenberg-Marquardt.
I. INTRODUCTION
La caractérisation rhéologique d’un fluide
non-Newtonien est fondamentale pour la
réussite des études sur les écoulements de
ce type de fluide, en particulier, ceux
présentant un seuil de contrainte [1-4].
Dans ce travail nous nous proposons,
d’effectuer une caractérisation rhéologique
fine d’un matériau modèle (solution de
carboxymethylcellulose) [5] et les
modifications de ce comportement avec la
température. Pour cela, nous utiliserons
deux approches différentes. La première,
est phénoménologique, qui utilise des
modèles classiques de comportement. Ces
modèles intègrent un ou plusieurs
paramètres caractéristiques du fluide ou du
type de comportement. La seconde est une
approche se basant sur des modèles
structuraux. Ces modèles supposent que la
structure des fluides est stable, donc le
temps d’application de la contrainte ou du
cisaillement n’influe pas sur le modèle [6].
Pour déduire les paramètres rhéologiques
des modèles étudiés, nous avons élaboré
un programme d’identification utilisant la
méthode de Levenberg-Marquardt. Cette
méthode est l’une des plus robustes et la
plus employée dans les problèmes
difficiles de modélisation non linéaire [7-
10].
II. METHODE EXPERIMENTALE
Nous avons mesuré expérimentalement la
viscosité apparente d’une solution de
carboxymethylcellulose à différentes
concentrations.
Il est bien connu que, dans de nombreux
cas, la connaissance de la relation
contrainte de cisaillement – vitesse de
cisaillement suffit à caractériser
complètement le comportement d’un
fluide.
Les expériences ont été réalisées sur un
rhéomètre de la société Haake appelé
Rotovisco, constitué de deux cylindres
coaxiaux en acier inoxydable dont le

Amoura, Zeraibi, Gareche et Benzaoui Rev. Alg. Phy., Vol.2, N°2, 2015
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cylindre intérieur, de rayon Ri, tourne à
une vitesse définie. Le cylindre extérieur
de rayon Re, est fixe. Le couple résultant
permet de mesurer avec précision la
viscosité du fluide. Lorsque le régime est
permanent, la contrainte
r
en tout point
de l’espace annulaire est donnée par :
Lr
M
r2
2
où M est le moment du couple exercé sur
le cylindre tournant et L la longueur des
cylindres.
Figure 1 : Schéma d’un viscosimètre de
type Couette
Cependant, le calcul du gradient de vitesse,
dr
d
r
, nécessite la connaissance de la loi
de répartition de la vitesse angulaire. Or,
cette répartition est fonction des propriétés
rhéologiques du matériau. On est donc en
présence d’un cercle vicieux : pour
déterminer le comportement rhéologique,
il serait nécessaire de le connaître
préalablement. Il est possible de
contourner cette difficulté en utilisant un
entrefer très faible. En effet, le cisaillement
peut être considéré dans ce cas comme
constant en tout point du fluide. Les deux
hypothèses précédentes (cisaillement
constant, entrefer étroit) conduisent à :
ei
ii RRR
.
Il est ainsi possible, à partir de la mesure
du couple M et de la vitesse de rotation i
,
d’accéder à la contrainte et à la vitesse
de cisaillement 
̇. La représentation de
Log()en fonction de Log(
̇) permet de
déduire les caractéristiques rhéologiques
du fluide.
Une étude systématique de l’influence de
la concentration et de la température sur la
rhéologie du fluide a été menée.
III. ETUDE THEORIQUE
L’approximation de données numériques
par un modèle non linéaire : y = f (X,C)
conduit à minimiser la fonctionnelle :
= ou =
 (1)
où
Z : est la fonction scalaire
ei : est l’erreur commise en prédisant y par
f(X,C) défini par :
ei = yi – f (X,C)
f (X,C) est le modèle tel que f (X,C) = yi*
et C représente les paramètres du modèle à
calculer.
Wi : sont des coefficients de pondération
représentant le poids associé à chaque
mesure. Ils sont définis comme suit
N,1i,
N
1
i
*
i
y
i
y
*
yy
i
w (2)
Le principe de la méthode consiste à
minimiser la fonctionnelle Z et de résoudre
par la suite le système non linéaire
suivant :
Min (Z) = et w e
[ − (,)][ − (,)]= 0 (3)
Cette méthode d’optimisation présente
l’avantage de condenser les deux
algorithmes de Newton et du gradient en
un seul. En effet la méthode du gradient est
de convergence linéaire : elle est donc
lente relativement à la convergence
quadratique de la méthode de Newton.
Cependant la méthode de Newton
nécessite un très bon estimé X(0) de la
solution X*, alors que la méthode du
L
Ri
Re
i

Modélisation expérimentale et théorique … Rev. Alg. Phys., Vol. 2, N° 2, 2015
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gradient se contente généralement d’un
estimé moins précis.
IV. DETERMINATION DES
PARAMETRES DES MODELES
A partir des résultats expérimentaux
obtenus pour la solution de
carboxymethylcellulose à différentes
températures et à diverses concentrations
(figures 1, 2, 3 et 4), nous avons calculé les
paramètres des différentes lois
rhéologiques.
Figure 1 : Rhéogrammes en coordonnées
logarithmiques pour différentes concentrations de
solutions de carboxymeyhylcellulose à T=25°C
Figure 2 : Rhéogrammes en coordonnées
logarithmiques pour différentes concentrations de
solutions de carboxymeyhylcellulose à T=30°C
Figure 3 : Rhéogrammes en coordonnées
logarithmiques pour différentes concentrations de
solutions de carboxymeyhylcellulose à T=35°C
Figure 4 : Rhéogrammes en coordonnées
logarithmiques pour différentes concentrations de
solutions de carboxymeyhylcellulose à T=40°C
A partir du calcul de la dispersion, qui
représente la somme des erreurs relatives
quadratiques moyennes :
1/2
2 *
1
1
100
M
i
i
D H X
M
 (4)
le modèle pour lequel la dispersion est
faible est celui de Carreau [11]
21n
2
.
2
1
0
 (5)
où :
n est un paramètre caractéristique du fluide
étudié représentant le degré de
défloculation engendré par le cisaillement
et dépendant du degré de polydispersité,
 est la viscosité du fluide étudié, 0 est la
100 1000
1
10
100
Contrainte de cisaillement (Pa)
Vitesse de cisaillement (s-1)
C=1%
C=1.5%
C=2%
C=3%
100 1000
1
10
100
Contrainte de cisaillement (Pa)
Vitesse de cisaillement (s-1)
C=1%
C=1.5%
C=2%
C=3%
100 1000
1
10
100
Contrainte de cisaillement (Pa)
Vitesse de cisaillement (s-1)
C=1%
C=1.5%
C=2%
C=3%
100 1000
1
10
100
Contrainte de cisaillement (Pa)
Vitesse de cisaillement (s-1)
C=1%
C=1.5%
C=2%
C=3%

Amoura, Zeraibi, Gareche et Benzaoui Rev. Alg. Phy., Vol.2, N°2, 2015
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viscosité du fluide étudié à cisaillement
nul,  est la viscosité du fluide étudié à
cisaillement infini,
.
est la vitesse de
cisaillement et  le temps caractéristique
dépendant du rapport entre le taux de
déformation par le cisaillement et le
mouvement Brownien.
Dans les tableaux 1, 2 et 3, nous
présentons les valeurs des paramètres de la
loi de Carreau pour différentes
concentrations et différentes températures.
Tableau 1: Viscosité du fluide étudié à cisaillement
infini :
0
[C] %
masse
25°C
30°C
35°C
40°C
1
0.112
0.091
0.066
0.047
1.5
0.764
0.502
0.306
0.186
2
4.363
2.866
1.753
1.170
3
42.919
30.240
21.157
14.696
Tableau 2: Temps caractéristique :
[C] %
masse
25°C
30°C
35°C
40°C
1
100
100
100
100
1.5
100
100
100
100
2
98.980
100
100.010
100.010
3
98.085
101.523
102.660
103.190
Tableau 3: Valeurs de l’indice d’écoulement : n
[C] %
masse
25°C
30°C
35°C
40°C
1
0.888
0.907
0.926
0.943
1.5
0.788
0.814
0.847
0.881
2
0.687
0.713
0.745
0.772
3
0.569
0.592
0.615
0.639
L’effet de la température sur les paramètres
rhéologique de la loi de Carreau a été montré
en représentant leurs évolutions en fonction de
la température (figures 5, 6 et 7).
Figure 5: Evolution de la viscosité à cisaillement
infini en fonction de la température
pour différentes concentrations
Figure 6: Evolution du temps caractéristique
en fonction de la température
pour différentes concentrations
Figure 7: Evolution de l’indice de comportement
en fonction de la température
pour différentes concentrations
20 25 30 35 40 45
0,01
0,1
1
10
100
C=3%
C=2%
C=1.5%
C=1%
Viscosité à cisaillement infini
T(°C)
20 25 30 35 40 45
0
50
100
150
200
Temps caractéristique
T(°C)
C=1%
C=1.5%
C=2%
C=3%
20 25 30 35 40 45
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
C=1%
C=1.5%
C=2%
C=3%
Indice d'écoulement n
T(°C)
Viscosité à cisaillement infini

Modélisation expérimentale et théorique … Rev. Alg. Phys., Vol. 2, N° 2, 2015
100
V. CONCLUSION
Dans ce travail, nous avons effectué une
caractérisation rhéomètrique d’un fluide
modèle. Notre choix s’est porté sur une solution
de carboxymethylcellulose, viscosifiant très
utilisé dans l’industrie pharmaceutique et
l’industrie pétrolière. Cette caractérisation
rhéométrique a été effectuée sur un grand
domaine de vitesse de cisaillement, par
rhéomètre à cylindres coaxiaux.
A l’aide de cette étude, nous avons déterminé
les paramètres rhéologiques des différents
modèles étudiés : valeur du seuil de contrainte,
les propriétés visqueuses du fluide …etc.
L’évolution des paramètres rhéologiques en
fonction de la concentration a été étudiée. Les
relations des paramètres rhéologiques-
concentrations-températures obtenues peuvent
fournir un moyen très simple pour prédire le
comportement du fluide test considéré sans
passer par des essais viscosimétriques.
[1] K. Benyounes, A. Mellak et A. Benchabane,
European Journal of Scientific Research, 19,
121 (2007).
[2] V. Kelessidis, E. Poulakakis et V.
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[10] M.I.A.Lourakis, Technical Report; Institute
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