Fonctions trigonométriques On enroule un fil vertical fixé au point E autour d’un cercle de rayon 1. Soit a un nombre réel quelconque. Le point A du fil de coordonnées (1 ; a ) vient se placer en M. Les coordonnées de M sont alors cos (a) et sin (a). Ces nombres peuvent être de signe + ou -. Figure 1 2 3 4 Signe de cos a Signe de sin a On a donc évidemment pour tout réel a : 1 cos a 1 et 1 sin a 1 . Le périmètre du cercle est 2 car c’est 2 R 2 .1 donc tous les points A d’ordonnées x , x 2 , x 4 , x 6 … …, mais aussi x 2 , x 4 … …viennent s’enrouler sur le même point du cercle. Exemples ci-contre : avec le point R et x 2 ou avec le point P et x ou x . avec le point en bas et x 3 / 2 ou x / 2 . On en déduit les formules : Pour tout nombre réel x : cos x cos x 2 sin x sin x 2 . On a aussi, en répétant cette formule : Pour tout nombre réel x et pour tout entier relatif (c'est-à-dire : de signe + ou -) k : cos x cos x k.2 sin x sin x k.2 Remplir le tableau de valeurs ci-dessous et tracer les courbes ci-contre en commençant par l’intervalle 0 ; 2 . x cos (x) sin (x) 0 /2 3 / 2 2 Correction : Exercice : montrer que pour 0 x / 2 le cosinus et le sinus de la longueur x de l’arc EM sont aussi le cosinus et le sinus de l’angle (orienté) EOM . Remplir le tableau de proportionnalité suivant : Longueur de l’arc EM / 6 / 4 / 3 / 2 Angle EOM en degrés 2 On peut montrer à l’aide du théorème de Pythagore les valeurs connues suivantes. On voit dans l’ordre : Longueur de 0 /6 /4 /3 l’arc 4 3 2 1 0 , , , , . Angle en 2 2 2 2 2 degrés Il y a un centre de symétrie dans ce 1 Cos ( ) 1 3 2 tableau…car pour tout x , 2 sin / 2 x cos x . 2 2 0 Sin ( ) 1 2 3 2 2 2 Deux dessins « différents » : 32 valeurs remarquables 14 formules des arcs associés /2 0 1