Mécanique Mouvements de fluides Chapitre 5

Mécanique
Chapitre 5
Mouvements de fluides

PC⋆, Fabert (Metz)
Mouvements de fluides
Après avoir vu, dans le chapitre précédent, quelques généralités sur la mécanique des fluides, nous
allons pouvoir désormais nous intéresser à des évolutions particulières.
Nous commencerons par revoir la statique des fluides qui, il ne faut pas l’oublier, fait partie
de la mécanique des fluides même si cela reste un mouvement très particulier. Dans une deuxième
partie, nous nous intéresserons aux ondes sonores en général et à leur propagation dans un tuyau
de section constante en particulier. Enfin, dans la dernière partie, nous verrons qu’à l’aide de bilans,
nous pourrons prévoir et discuter de nombreuses situations.
©Matthieu Rigaut 2 / 85 Version du 10 mars 2014

PC⋆, Fabert (Metz) TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
Biographies succinctes 7
I Statique des fluides 8
I·1 Relation fondamentale de la statique des fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I·1·iforces au sein d’un fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
forcesàdistances ................................. 8
forcesdecontact.................................. 9
I·1·ii relation....................................... 11
énoncé ....................................... 11
démonstration................................... 11
I·1·iii conditionsauxlimites............................... 12
I·2 Exemples .......................................... 12
I·2·ifluideincompressible ............................... 12
relationàconnaître ................................ 13
résultatàconnaitre ................................ 13
démonstration de la relation fondamentale de la statique des fluides . . . . . 13
I·2·ii atmosphèreisotherme............................... 14
modèleutilisé ................................... 14
expression ..................................... 15
approximationusuelle............................... 16
facteur de Boltzmann .............................. 16
I·2·iii vasetournant ................................... 17
situation...................................... 17
analyse....................................... 17
champdepression................................. 17
formedelasurface ................................ 19
I·3 Poussée d’Archimède ................................... 20
I·3·iorigine ....................................... 20
I·3·ii expression ..................................... 20
une loi célèbre mais mal connue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
démonstration................................... 21
I·3·iii limites ....................................... 21
lamoinsrestrictive ................................ 21
restrictionoubliée................................. 22
limitelaplususuelle ............................... 23
II Ondes sonores 25
II·1 Basedel’étude ....................................... 25
II·1·iphénoménologie .................................. 25
II·1·ii approximation acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II·2 Propagation dans un tuyau de section constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
II·2·iprésentation .................................... 27
dispositif...................................... 27
plandebataille .................................. 28
II·2·ii équationsdecouplage............................... 28
lePFD....................................... 28
la conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
l’équation de comportement phénoménologique . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
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PC⋆, Fabert (Metz) TABLE DES MATIÈRES
de trois à deux équations de couplage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
II·2·iii équations de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
équation vérifiée par la surpression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
équation vérifiée par la vitesse particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
II·2·iv sondansungazparfait.............................. 35
célérité....................................... 35
vérification du caractère isentropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
lien avec la vitesse du son dans un solide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II·3 Ondeplaneprogressive................................... 38
II·3·iexpression ..................................... 38
II·3·ii impédanceacoustique............................... 38
pour une OPP vers les xcroissants ....................... 38
pour une OPP vers les xdécroissants ...................... 39
pour une OPP quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II·3·iii OPPM....................................... 40
II·4 Aspecténergétique ..................................... 40
II·4·idensité volumique d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
densité d’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
densité d’énergie potentielle de compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
densité totale d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II·4·ii équation de propagation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
II·4·iii vecteur de Poynting sonore........................... 44
expression ..................................... 44
justification .................................... 44
II·4·iv équation de conservation de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
unrésultatconnu ................................. 45
un résultat intéressant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
une simplification qui n’est pas une approximation . . . . . . . . . . . . . . . 46
II·4·vOPP ........................................ 46
cas d’une OPP vers les xcroissants ....................... 46
casgénéral..................................... 47
II·4·vi intensitésonore .................................. 47
une notion utilisée quotidiennement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
cas d’une OPPM au seuil de l’audibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
intensité sonore et audition humaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II·5 Coefficients de réflexion et transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II·5·iconditions aux limites pour un tuyau de section constante . . . . . . . . . . . 48
tuyauouvert.................................... 48
tuyaufermé .................................... 49
membrane ..................................... 49
II·5·ii réflexion et transmission au niveau d’une interface . . . . . . . . . . . . . . . 50
lasituation..................................... 50
traduction des conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
coefficients de réflexion et transmission en vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 51
coefficients de réflexion et transmission en surpression . . . . . . . . . . . . . 51
coefficients de réflexion et transmission en puissance . . . . . . . . . . . . . . 52
cas de deux milieux d’impédances très différentes . . . . . . . . . . . . . . . . 52
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PC⋆, Fabert (Metz) TABLE DES MATIÈRES
III Bilans macroscopiques 54
III·1Bilansénergétiques ..................................... 54
III·1·iidées ........................................ 54
III·1·ii une nouvelle loi : pression dans un jet libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
III·1·iii vidanged’untuyau ................................ 55
dispositf ...................................... 55
le théorème de l’énergie mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
réécrire la variation d’énergie en tenant compte de la conservation de la masse 57
travailfourni.................................... 58
rassemblement................................... 59
interprétation ................................... 60
III·1·iv puissance d’une pompe de fontaine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
dispositif...................................... 60
découpage ..................................... 61
variationd’énergie................................. 61
travailfourni.................................... 62
rassemblement................................... 63
III·1·vmachinethermique ................................ 63
dispositif similaire à celui de la détente de Joule – Thomson ........ 63
découpage ..................................... 64
variationd’énergie................................. 64
énergiereçue.................................... 65
rassemblement................................... 65
où nous retrouvons le cas connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
III·1·vi un résultat colatéral bien utile : une relation de Bernoulli ......... 66
relation....................................... 66
interprétation ................................... 66
III·2 Bilans de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
III·2·iidée......................................... 67
III·2·ii jetcylindrique................................... 67
présentation–analyse............................... 67
variation de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
forces........................................ 69
rassemblement................................... 69
III·2·iii fusée ........................................ 70
unmodèlesimple ................................. 70
variation de quantité de mouvement dans un référentiel bien choisi . . . . . . 70
forcesextérieures ................................. 71
rassemblement................................... 72
résolution?..................................... 72
pourquoi la fusée monte-t-elle ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
pourquoi la fusée ne tombe-t-elle pas ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
III·2·iv lanceincendie ................................... 73
description,analyse................................ 73
variation de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
lesforcesextérieures ............................... 75
rassemblement................................... 75
une interprétation bien cachée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III·3 Bilans de moment cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
III·3·iidée......................................... 77
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